• Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức... Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện: z− −.
Trang 1SỐ PHỨC A_TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan :
1.1 Định nghĩa :
Số phức là một biểu thức có dạng a bi+ ; trong đó a b, ∈ ¡ và i2 = − 1
1.2 Các khái niệm liên quan :
Cho số phức z a bi= + Khi đó :
• a gọi là phần thực và b là phần ảo của số phức z
• Số phức zđược biểu diễn bởi điểm M a b( ); trên mặt phẳng tọa độ Oxy
• z = OMuuuur = a2 +b2 gọi là modun của số phức z
• Số phức z = −a bi gọi là số phức liên hợp của số phức z
1.3 Hai số phức bằng nhau :
Cho số phức z a bi= + và z′= +a b i′ ′ Khi đó : z z a a
b b
′
=
′
= ⇔ = ′
Các phép toán trên tập hợp số phức :
1.4 Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :
+ + + = + + + + − + = − + −
Chú ý :
• Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số thông thường với chú ý rằng 2
1
i = −
• Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức
• Cho z a bi= + Khi đó : z z =a2 +b2
1.5 Phép chia hai số phức :
.
0
z z z
z
z z z
′= ′ ≠
Phương trình bậc hai :
1.6 Căn bậc hai của số thực âm :
Cho a là số thực âm Khi đó a có hai căn bậc hai là : i a và −i a
1.7 Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :
(az2 + + =bz c 0; , ,a b c∈ ¡ ;a≠ 0) Tính ∆ =b2 − 4ac
Trang 2Kết luận :
• Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 1,2
2
b z
a
− ± ∆
• Nếu ∆ =0 thì phương trình có một nghiệm kép thực 1 2
2
b
a
−
• Nếu ∆ <0 thì ∆ có hai căn bậc hai là i ∆ và − ∆i Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là 1
2
b i z
a
− + ∆
2
b i z
a
− − ∆
B_BÀI TẬP:
Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau đây :
(1 2− i) (3 5+ i); 3 2
1
i i
−
1 2 + i + − 3 i ; (4 ) ( 3 2 ) 5
1
i
+ − + +
(2 9 13) (3 )
i
+
− + ; ( ) (3 ) ( )
2i 3 2 − i − − + 2 i ; 17 5
1 2i+ 3 4i
− + ; (17 ) ( 1 2 )
5 5
i
− − +
23 14
3 6
3 4
i i
i
+
− −
+ ; (3 2− i) (− + −4 i) 3 2i i( −3); ( ) (2 )2
2 +i − + 3 2i
Bài 2 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :
4 2
i
+
7 2 3 2
2
i
i
−
7 3 1 5
z
Bài 3 : Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây :
3 4
z= − i; z= +(4 i) (2 3− i).
Bài 4 : Cho z= + 2 3 ,i z′ = + 1 i Tìm z z ′2 và z z− ′.
Bài 5 : Cho z= −3 i, z′ = −1 2i Tìm z
z′ và
z z
÷′
.
Bài 6 : Cho z= +2 3i Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức 7
5
iz
+ + .
Bài 7 : Giải các phương trình sau :
3iz+ − = +3 2i 6 7i; (5 2+ i z) − + = −2 i 7 3i; ( )2
4 2 − − −i 1 i z= 0; (3−i z) + − = + −2 i 5 (2 3i z) ; ( )2
2 +i z− − = − 6 6i 4 i; 2 3− − +i (1 i z) = − −2 i; (5 3− i z) = − + −7 i (3 2i z) ; (3 2− i z) (− −3 8i) = + +1 2i 3z; ( ) ( )2
2 +i z+ − 1 i z= + 11 2i; (2−i) (3 2+ i z) = − +2 16i; 1 i z 4 2i
i
3 i z= − +i
Bài 8 : Tìm số phức z, biết rằng :
z+ z = + i; iz+3z = +7 5i; 3z +2z= +5 2i; i z +2z= −2 5i;
Bài 9 : Cho số phức z m= +(m−1) (i m∈¡ ) và số phức z′ =2n+ −(2 3n i n) ( ∈¡ ) Tìm zvà z′ biết rằng z z+ = +′ 1 7i
Bài 10 : Cho số phức z m= +(m+1) (i m∈¡ ) Tìm z biết rằng z =5
Bài 11 : Cho số phức z=(m− +1) (m+1) (i m∈¡ ) Tìm z biết rằng z z =10
Bài 12 : Cho số phức z=2m+(m+2) (i m∈¡ ) Tìm z biết rằng z2là một số phức có phần thực bằng −5
Bài 13 : Cho số phức z m= +(2m−1) (i m∈¡ ) Tìm zbiết rằng z2 − 12i là số thực
Trang 3Bài 14 : Tỡm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa món điều kiện sau.
1) |z – 1 – i| = 1 2) |z + 3i + 4| < 2
3) | z - 2 z + i| = 2 4) |z + z + 3 – i| > 3
5) |z - z + 1 + i| = 2 6) 2|z – i| = |z - z + 2i|
7) |2i - 2 z | = | 2z – 1| 8) |2iz – 1| = 2|z + 3|
9) |z2 - z2 | = 4 10) |z + 2| + |z – 2| = 6
11) |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20 12) |z – 2| = x + 3
13) | z – 2| - | z + 2| = 6 14) | z + 4| = y – 5
15) (2 – z)(i + z ) là 1 số thực tựy ý 16) (2 – z)(i + z ) là 1 số ảo tựy ý
17)
i
z
i
z
+
+
i z
z
=
− , k là 1 số thực dương ?
Bài 15 : Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập Ê
2
9 0
4z + 25 0 = ; 2
4 5 0
5z − 6z+ = 5 0; 2
2z 6z 29 0
2
5z − 2z+ = 1 0; z4 + 5z2 + = 4 0; z4 + 5z2 − 36 0 = ; z3 + 2z2 + 10z= 0
Bài 16 : Tỡm số phức zbiết rằng :
( )2 ( )
z− + z+ = ; 5(z−1) (z+ +1) (2 4z+ =5) 0; ( )2 ( )
2 2z− 1 +z 17z+ = 6 0
Một số đề thi tuyển sinh ĐH_CĐ
1) Cho số phức z thỏa món: ( ) (2 ) ( )
1 +i 2 −i z= + + + 8 i 1 2i z Tỡm phần thực và phần ảo của z
CĐ A,B,D 2009
2) Cho số phức z thỏa món: ( ) ( ) ( )2
2 3 − i z+ + 4 i z= − + 1 3i Tỡm phần thực và phần ảo của z
CĐ A,B,D 2010
3) Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trỡnh: z2+2z+10=0 Tớnh giỏ trị của biểu thức
A = z12 + z22 ĐHA_2010
4) Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
a) z− −(3 4 )i =2 D_2009 b) z i− = +(1 )i z B_2010
5) Tỡm số phức z thỏa món:biết z− +(2 i) = 10 và z z =25 B_2009
6) Tỡm phần thực, phần ảo của số phức z biết ( )2
z= +i − i ĐHA_2010 _CTC 7) Cho số phức z thỏa món : ( )3
1
i z
i
−
=
− Tỡm mụđun của số phức z iz+ ĐHA_2010 _CTNC
Một số đề kiểm tra tự luyện
Đề 01:
Cõu 1 (2 điểm) Thực hiện phộp tớnh sau: A = (2 3 ) (4 3 ) (1 2 )
4 5
− + − +
−
i
Cõu 2 (2 điểm) Tỡm cỏc số thực x và y, biết:
a) (2x+ + = − +1) 5i 4 (3y−2)i
b) 2x−1+ 1-2y( )i= − + −2 x ( y 2)i
Cõu 3 : (2,5 điểm) Tỡm số phức z biết z =2 5 và phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của nú
Trang 4Câu 4.(2,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z3+ =8 0 b) z4+ − =z2 12 0
Câu 5 : (1 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện: z−2i =1
Đề 02:
Câu 1 (2 điểm) Thực hiện các phép tính sau: A = (2 3 1 2) ( ) 4
3 2
i
i
−
+
Câu 2 (2 điểm) Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x+ + = − +3) 4i 4 (3y−2)i
b) 2 +3+ 1-2yx ( )i= − + +2 x ( y 2)i.
Câu 3 : (2,5 điểm) Tìm số phức z biết z =5 2 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó
Câu 4 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) 3
64 0
b) 4 2
Câu 5 : (1 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện: z− =3i 1
Đề 03:
Câu 1 (2 điểm) Thực hiện các phép tính sau: A = (1 43 4) (2 3)
i
−
Câu 2 (2 điểm) Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x+ − = +1) 7i 4 (3y−4)i
b) 2 +1+ 1-2yx ( )i= − +3 x (3y−4)i.
Câu 3 : (2,5 điểm) Tìm số phức z biết z =3 5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó
Câu 4.(2,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z3+125 0= b) z4+14z2 −32 0=
Câu 5 : (1 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện: z−4i =1
Đề 04:
Câu 1 (2 điểm) Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x+ + = − +1) 5i 4 (3y−2)i
b) 2x−1+ 1-2y( )i= − + −2 x ( y 2)i
Câu 2 : (2,5 điểm) Tìm số phức z biết z =2 5 và phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của nó
Câu 3: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z3+ =8 0 b) z4+ − =z2 12 0
Trang 5Câu 4 : (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện: 1 1
1
z
−
Câu 5 : (1 điểm) Tính A = ( 1 + i )6 + ( 1– i )6
Đề 05:
Câu 1 (2 điểm) Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x+ + = − +3) 4i 4 (3y−2)i
b) 2 +3+ 1-2yx ( )i= − + +2 x ( y 2)i.
Câu 2 : (2,5 điểm) Tìm số phức z biết z =5 2 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó
Câu 3 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z3+64 0= b) z4+7z2− =18 0
Câu 4 : (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện: z− − <1 i 1
Câu 5 : (1 điểm) Tính A = ( 1 + i )5 + ( 1 – i )5
Đề 06:
Câu 1 (2 điểm) Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x+ − = +1) 7i 4 (3y−4)i
b) 2 +1+ 1-2yx ( )i= − +3 x (3y−4)i.
Câu 2 : (2,5 điểm) Tìm số phức z biết z =3 5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó
Câu 3.(2,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z3+125 0= b) z4+14z2 −32 0=
Câu 4 : (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện: z i− = +z 3
Câu 5 : (1 điểm) Tính A = ( 1 – i )6 + ( 1 + i )6