Nếu bậc của Px lớn hơn hoặc bằng bậc của Qx thì dùng phép chia đa thức... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:.
Trang 1Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
an = a n
1
; a0 = 1 ; amn nam
( m; n nguyên dương , n > 1)
Các quy tắc:
ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx
axy ax y
a
x
a x y a y x a x.y
Hàm số mũ : y = a x với a > 0 ; a 1
* a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 a x1 > a x2
* 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 a x1 < a x2
* Hàm số logarit:
= logaN a = N logax = b x= ab
Đặc biệt : aloga x = x ; loga a x = x ; loga1 = 0
Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a 1 ta có:
loga (B.C) = loga B + loga C
loga B
C
= logaB loga C loga B =
Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c 1 ta có :
logca.logab = logc b log ba log bc
log ac
0 < a, b 1 : logab = log a1
b
Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x
Hàm số Logarit: y = logax với a > 0 ; a 1
* a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 logax1 > loga x2
* 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 loga x1 <logax2
Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit :
Dạng cơ bản:
* a f(x) = g(x) a f(x) = g(x)
* a f(x) = b ( với b > 0 ) f(x) = logab
f (x) g(x)
* dạng: log f (x)a b
hoặc
Trang 2* log u(x) v(x) = b
b
ẹaởt aồn phuù :
* a 2f (x) + f(x) a + = 0 ; ẹaởt : t = a f(x) ẹk t > 0
* b f (x)
a + a b f (x) + = 0 ; ẹaởt : t = f(x) a ẹk t > 0
* . f (x)
a +.bf (x)+ = 0 vaứ a.b = 1; ẹaởt: t = af (x); 1t=bf (x)
* .a2f (x)+ a.b f (x)+ .b2f (x) = 0 ; ẹaởt t = a f (x)
b
Logarit hoaự hai veỏ :
Bài tập
1 2x 3 5x
Đs: 1 3log 5
2
x
2 2 2 2 3 1 , 5
x x
x Đs: x = 1, x 1 log23
3 4x 6x 9x Đs: )
2
5 1 ( log
3 2
x
4 3x 4x 5x Đs: x = 2
5 2 32 1
x
x
6 8 3 4 3 2 1 8 0
x
7 log ( 1) log ( 1) log 12(7 ) 1
2
1 2
1 x x x Đs: x = 3
4 1 3 4
1 2
4
1 ( 2 ) 3 log ( 4 ) log ( 6 )
log
2
3
9 log ( 3 1 ) log ( 3 1 3 ) 6
3
3 x x Đs: x log3 2728, x log310
10. ( 2 3 )x ( 2 3 )x 4 Đs: x = - 2, x = 2
11 ( 7 3 5 ) 7 ( 7 3 5 ) 2 3
x x x Đs: x = 0, xlog7 32 5 7
I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du thì
( )
( )
u b b
I f x dx g u du Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du thì
( )
( )
u b b
I f x dx g u du B
ài tập
Trang 31
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4
0
tgxdx
4 4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
8
1
0
1
9
3
x dx
x
10
1
0
1
11
2 3 1
1
1dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2
sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22 2
1
2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25 2
0
sin
1 3
x dx cosx
26 4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28 6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
0
1
32
3
x dx
x
33
1
0
1
Trang 434
2
3 1
1
1dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln
e
dx x
38
2ln 1
1
e
dx x
39
21 ln2
ln
e
e
x dx
40
1
sin(ln )
e
x dx x
41
1
1 3ln ln
e
dx x
4
2ln 1
1
e
dx x
43
21 ln2
ln
e
e
x dx
44
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
1
0
5
2
4 0
sin 1 cos
47
4
2 0
4 x dx
2/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng a2 x2, a2 x2 và x2 a2 (trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
2 2
x a t t
hoặc x a cos , t t 0;
2 2
x atgt t
hoặc x acotgt t , 0;
a
t
hoặc ;
cos
a x
t
2
t
B
ài tập : Hãy tính các tích sau:
a)
4
2 0
4 x dx
b)
1
2
0 1
dx x
c)
9
2 0
9 x dx
2
2
0 4
dx x
e)
2 2 2
2 0
1 x
f)
3 2
dx
g)
1
2 0
1 x dx
h)
3
0
1
Trang 5II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cụng thức tớch phõn từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phõn các hàm sụ́ dờ̃ phát hiợ̀n u và dv
@ D ng 1 ạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
Đặt t
cos
@ D ng 2 ạng 1 : f x( ) ln( )ax dx
Đặt t ln( )
dx du
@ D ng 3 ạng 1 : sin
cos
bx
Đặt:
1
ax
u e
b
Bài tập
1)
1
0
3
2)
2
0
cos ) 1 (
xdx
x 3)
6
0
3 sin ) 2 (
xdx
x 4)
2
0
2 sin
xdx
x
5)
e
xdx
x
1
ln 6)
e
dx x x
1
2).ln 1
3
1
ln
4x x dx 8)
1
0
2 ).
3 ln(
9)
2
1
10)
0
cos
2
0
2.cos
dx x
2
0
(
dx x x x
13)
2
5
1
ln xdx
x
0
x cos xdx
1 x 0
e sin xdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e
2
1
x ln xdx
18) 3
2 0
x sin xdx cos x
19) 0xsin x cos xdx2
0
x(2 cos x 1)dx
III.Tích phân một số hàm số thờng gặp
1 Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
I 2 dx a 0
(trong đó ax2 bx c 0 với mọi x ; )
Trang 6Xét b2 4 ac.
2
dx I
b
a x
a
+)Nếu 0 thì
1 2
I
(trong đó
1
1
ln x x
I
2
I
1
1
b) Tính tích phân: I 2mx n dx , a 0
(trong đó
2
f x
ax bx c
liên tục trên đoạn ; ) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
c bx ax
B c
bx ax
b ax A c bx ax
n mx
2 2
2
) 2 (
+)Ta có I=
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
2
) 2
Tích phân dx
c bx ax
b ax A
) 2 (
= Aln ax2 bxc
Tích phân
2
dx
c) Tính tích phân ( )
( )
b
a
P x
Q x
với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức
Trang 7 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1, , ,2 nthì đặt
( )
( )
n n
A
P x
Q x x x x .
+ Khi Q x ( ) x x2 px q , p2 4 q 0thì đặt
2
( )
( )
+ Khi Q x ( ) x x 2 với thì đặt
2
( ) ( )
A
Q x x x x .
Bài tập
a/
1
2 0
x
dx
1 2
dx
x x
1
2
x dx
x
0
2
2 2
x x
x
e/
1
1 x2 2x 5
dx
5
3
1 2
dx x x
x
b a
dx b x a
(
1
h/ 1
0
3
1
1
dx x
x x
i/
1
0
2 4x 3
x
dx
k/
3
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
l/
3
2
dx x
x
x
x x
1
0
2
3
3 2
IV.Tích phân hàm vô tỉ
.Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ : Tính tích phân:
1
dx I
.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác
Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng
Ví dụ :Tính
1
0
2
3 1 x dx x
I
Bài tập:
a/
x 2 5
2
dx
2
11 x 1dx
x
c/
1
01 1 3x
dx
d/
2
1
x 4 x dx
2 2 2
2 0
1 x
3
2
dx
V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Trang 81
3
3
2 1dx
2
0
2 4x 3dx
2 0
4 2 1
x 3x 2dx
3
1
2
x dx
6
2
2
2
1