b/ Rút gọn biểu thức M.. Chứng minh rằng: a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.. b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương diện tích
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
(Thời gian 90’)
Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – 5x3 + 4x
b/ Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức: A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c ≠0, a + b + c =1 và
c b a
1 1
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1
b/ Giải phương trình:
1994
15 1993
16 1992
17 1991
x
Bài 3: (2đ) Cho biểu thức: M =
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
( ) 1 )(
(
2 2 2
2
y x
y x x
y x
y y
y x
x
− +
− + +
−
− +
a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M
b/ Rút gọn biểu thức M
c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3
Bài 4: (3đ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC,
BD Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC
b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương diện tích tam giác BOC
- Hết
-ĐÁP ÁN:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x5 – 5x3 + 4x = x(x4 -5x2 + 4) (0,25)
= x[x 2 ( x 2 -1)-4(x 2 -1)] (0,5)
= x( x2-1)(x2-4) (0,25)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5)
b/ (1đ) A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
= 2(a3+b3)-3(a2+b2) (0,25)
= 2(a+b)(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (0,25)
= 2(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (vì a+b=1) (0,25)
= -2ab-a2-b2 = -(a+b)2 = -1 (0,25)
Bài 2: (2,5đ)
a/ (1đ) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25)
c
b
a
1
1
1
+
abc
bc ac
ab+ +
⇒ = 0 (0,25) ⇒ ab + ac + bc = 0 (0,25)
⇒ 2ab + 2ac + 2bc = 0
⇒ a2 + b2 + c2 = 1 (0,25)
1994
15 1993
16 1992
17 1991
18
−
=
+ +
+ +
+ +
x
1994
2009 1993
2009 1992
2009 1991
+
1
ĐỀ 1
Trang 2⇔(x+2009) ) 0
1994
1 1993
1 1992
1 1991
1 ( + + + = (0,25)
⇔(x+2009) = 0 (vì 0 )
1994
1 1993
1 1992
1 1991
1
≠ +
+
⇔ x =-2009 (0,25)
Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x ≠ -1, y≠1, x≠y (Thiếu, sai 1ĐK trừ 0,25đ)
b/ (1đ) M =
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
( ) 1 )(
(
2 2 2
2
y x
y x x
y x
y y
y x
x
− +
− + +
−
− +
=
) 1 )(
1 )(
(
) ( )
1 ( ) 1
2
x y y x
y x y x y y x x
+
− +
+
−
−
− +
(0,25)
= [ ]
) 1 )(
1 )(
(
) 1 ( ) 1 ( ) 1 )(
1
x y y x
x y y x y x
+
− +
− +
+
− +
(0,25)
= (1+x)((1x−+y y)()(1x−+y y)()(1x+−x y)+xy) (0,25)
= x – y + xy (0,25)
c/ (0,5đ) M = 3 ⇔ x – y + xy = 3
⇔ (x –1) (y+1) = 2 (0,25)
=
=
⇔
= +
=
−
⇒
1
2 2
1
1 1
y
x y
x
(loại)
Hoặc
−
=
=
⇔
−
= +
−
=
−
3
0 2
1
1 1
y
x y
x
(thỏa mãn) Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25)
Bài 4: (3đ)
Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25)) a/ (1,25đ) Vẽ AH⊥DC, BK⊥DC (H,K∈DC)
) 25 , 0 (
) 25 , 0 (
) 25 , 0 )(
(
) 25 , 0 (
2
1
) 25 , 0 (
2
1
BOC
AOD
DOC BOC
DOC
AOD
BDC
ADC
BDC
ADC
S
S
S S
S
S
BK doAH S
S
DC BK
S
DC AH
S
=
⇒
+
= +
⇒
=
=
⇒
=
=
b/ (1,25đ) Vẽ DM⊥AC (M∈AC), BN⊥AC (N∈AC)
Ta có: AOB
BOC
1 BN.AO
1
2
= = (0,25)
AOD
DOC
1 DN.AO
1
2
= = (0,25)
COD
AOD BOC
AOB
S
S S
S
=
⇒ (0,25)
BOC AOD COD
⇒ (0,25)
) (
) (.
BOC AOD
BOC COD
2
