Tuyển tập đề thi toán luyện thi ĐH năm 2009

2 Chứng minh rằng trên đồ thị C tồn tại vô số cặp điểm tại đó các tiếp tuyến của đồ thị song song với nhau.. b Chứng minh rằng parabol P có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ tiếp xúc với

Đề số 61

Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y =

1 2

2





 x

x x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại vô số cặp điểm tại đó các tiếp tuyến của đồ thị song song với nhau

Câu2: (2 điểm) 1) Giải phơng trình: 













3 3

cos

x cos 2) Giải hệ phơng trình:  













3 14

11

3 14

11

x y

log

y x

log

y x

Câu3: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm F(3; 0) và đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x - 4y + 16 = 0

a) Viết phơng trình đờng tròn tâm F và tiếp xúc với (d)

b) Chứng minh rằng parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ tiếp xúc với (d)

2) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) và S, S1, S2, S3 lần lợt là diện tích của các mặt (BCD), (ABC), (ACD), (ABD) Chứng minh rằng:

a) 12 12 12 12

AD AC

AB AH





 b) S2 S12 S22S23

Câu4: (2 điểm)

1) Tính tích phân: I =   

 e

dx x ln cos 1

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số F(t) xác định bởi:

F(t) = 

t

dx x cos x

0

2

Câu5: (1 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, mỗi

số có 5 chữ số phân biệt

2) Giải phơng trình: sin4x + cos4x - cos2x +

4

1 sin22x = 0

Đề số 62

Câu1: (3,5 điểm)

Cho hàm số: y = x3 - 3x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và trục hoành

3) Xét đờng thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m Tìm m để đờng thẳng (D) cắt đờng cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dơng

Câu2: (2 điểm)

Tính các tích phân sau đây:

1) I = 

 0

xdx sin



 2

0

3 2

xdx cos x

Câu3: (2,5 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hypebol (H): 1

9 16

2 2



 y

x Gọi F là một tiêu

điểm của hypebol (H) (xF < 0) và I là trung điểm của đoạn OF Viết phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với hypebol (H) và đi qua I

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(3; -3; 4) và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z

- 7 = 0 Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P)

Câu4: (2 điểm) Giải hệ phơng trình:









 9

3 4 1 1

xy

y x

Đề số 63

Câu1: (2 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =

1 1

2





 x

x x

2) Tìm m để đờng thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Khi đó chứng minh rằng cả hai giao điểm cùng thuộc một nhành của (C)

Câu2: (2,5 điểm)

1) Giải phơng trình:  2  3x  2  3x  4

2) Cho ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = tgA + tgB + tgC

Câu3: (1,5 điểm)

Chứng minh rằng nếu: y = ln x  x2 4  thì đạo hàm y' =

4

1 2

 x

Sử dụng kết quả này tính tích phân: I =  

2 0

2 4dx x

Câu4: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho parabol (P): y2 = 4x Từ điểm M bất kỳ trên đ-ờng chuẩn của (P) vẽ hai tiếp tuyến đến (P), gọi T1, T2 là các tiếp điểm Chứng minh rằng T1, T2 và tiêu

điểm F của (P) thẳng hàng

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng

(): x + y + z + 10 = 0 và đờng thẳng : 











t z

t y

t x

3 2

(t  R)) Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng ' là hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng () 3) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một, sao cho OA = a; OB = b;

OC = 6 (a, b > 0) Tính thể tích tứ diện OABC theo a và b Với giá trị nào của a và b thì thể tích ấy đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó khi a + b = 1

Câu5: (1 điểm)

Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x)2n, với n là số nguyên dơng Từ đó chứng minh rằng: 1

n

C12  3 32   2  1 22 1 2 22  4 42   2 22

Đề số 64

Câu1: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =

1

2

 x

x Gọi đồ thị là (C) 2) Tìm trên đờng thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 450

Câu2: (3 điểm) Giải các phơng trình sau đây:







x 2) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

3) PxAx2 726Ax2 2Px trong đó Px là số hoán vị của x phần tử, A2x là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử (x là số nguyên dơng)

Câu3: (2 điểm)

1) Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm GTNN của biểu thức:

P = (x + my - 2)2 + 4 x  2m  2y  12









 











x cotg x dx tg

6 3

Câu4: (2 điểm)

Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB = AC = 3a, BC = 2a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 600 Kẻ đờng cao SH của hình chóp 1) Chứng tỏ rằng H là tâm đờng tròn nội tiếp ABC và SA  BC

2) Tính thể tích hình chóp

Câu5: (1 điểm) Chứng minh rằng với x  0 và với  > 1 ta luôn có: x 1x Từ đó chứng minh rằng với ba số dơng a, b, c bất kỳ thì:

a

c c

b b

a a

c c

b b

a











3

3 3

3 3

3

Đề số 65

Câu1: (2,5 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)2(x - 2)

2) Cho đờng thẳng  đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k Hãy xác định tất cả giá trị của k để

đờng thẳng  cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt:

y = x3 3 x  2

Câu2: (2 điểm) Giải các phơng trình:

1)

2

5 1 2 2 1

2

x

1 2

2 3

2











x sin

x sin x sin x

sin x cos x

Câu3: (2,5 điểm) 1) Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số a: a 2 x  a 2 x a

2) Giải phơng trình:

  2 2

2 2















x log x log x

log x log x

C©u4: (2 ®iÓm) Cho tø diÖn SPQR) víi SP  SQ, SQ  SR), SR)  SP Gäi A, B, C theo thø tù lµ trung ®iÓm

cña c¸c ®o¹n PQ, QR), R)P

1) Chøng minh r»ng c¸c mÆt cña khèi tø diÖn SABC lµ c¸c tam gi¸c b»ng nhau

2) TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn SABC khi cho SP = a, SQ = b, SR) = c

C©u5: (1 ®iÓm)

TÝnh tÝch ph©n: I = 



 4

2

dx x cos x sin

x