Đề HSG toán 9 Thành Phố Huế 11-12

b Tìm x để biểu thức A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.. Gọi E, F tương ứng là hình chiếu của H trên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD.. Tính diện tích tam g

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HUẾ

MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC: 2011 - 2012

ĐỀ: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Cho biểu thức: A =

với x 0

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để biểu thức A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: 2 1 2 2

x

x

 

b) Xác định mZ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là số nguyên:

m x y







Bài 3: (1,5 điểm)

Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a2 + b2 = ab

Chứng minh a + b  4ab Khi nào thì dấu bằng xãy ra ?

Bài 4: (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Chứng minh: sinA = 2 sinB.cosC

Bài 5: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC ( 0

A = 90 ) nội tiếp đường tròn (O;R), đường cao AH Gọi E, F tương ứng là hình chiếu của H trên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD Chứng minh:

a) AD  EF

b) AH2 = AJ.AD

c) Biết tam giác ABC có  0

B  60 và cạnh AB = 4cm Tính diện tích tam giác HJD

-HẾT -

GỢI Ý GIẢI

(Gợi ý này chỉ dùng để tham khảo)

Bài 1: A =

với x 0 a) Đặt

2 2

x

  

= y

Ta có: 4 2  2 2 2 2 2 2

4



2

=  

2 2

x

  

=



A

2

- x + 2 > 0

b) A có GTLN khi x2 - x + 2 có GTNN

Mà x2 + x + 2 = (x + 1)2 + 1  1 dấu "=" xãy ra khi x = -1

 GTLN A = 1

1 = 1khi x = -1 Bài 2:

a) Giải phương trình: 2 1 2 2

x

x

 

Giải: Đặt 2x 1   y

2

2x 1 1

 





b) Xác định mZ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là số nguyên: 3 ( 1) 1

m x y







2

3x m 1 y m 1

m 4 x 2m 4(*)

m 1 x m 1 y 3m 3







Hệ có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất

2

Khi m  2: (*) x 2m2 4 2



 

2

m 2

m 1 y

m 1 m 4 1 m 4

y

Để x, y

2

m 2 1; 2 Z

m 2

m 2

m 1; 3; 4



   

 

Vậy với m= -1;-3;-4 (thỏa m   2) thì hệ có nghiệm duy nhất thuộc Z

Bài 3: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a2 + b2 = ab

Chứng minh a + b  4ab Khi nào thì dấu bằng xãy ra ?

Giải:

Ta có: a2 + b2  2ab 2 2

2(a b ) 4ab

Theo đề bài: a2 + b2  2 2

Vì  a  b2  0    a b 2 ab

Suy ra a + b  2(a2 + b2)  4ab

Vậy a + b  4ab Dấu "=" xãy ra khi a b a b











Bài 4:

Ta có: CH HB a

2

  ;

AH a.

sinB = AH

b , cosC = CH a

b 2b

2

AH a a.AH

2 sin B.cos C 2

b 2b b

Từ (1), (2) suy ra sinA = 2sinB.cosC

Bài 5:

a) Ta có: AEHF là hình chữ nhật

a

b b

D

B

A

  

E  H

mà     0

E  E  H  H  90

EAJ  ABO ( OABcân tại O)

b)  AJE ∽  ABD (A chung,  0

J  B  90

AJ AE

AJ.AD AB.AE

AB AD

ABH

 có HE là đường cao

 AB.AE = AH2 (2)

Từ (1), (2)  AH2 = AJ AD

c)  0

B = 60  ΔABO đều

 OH = BH = 2

HKO

  có: HK = OH sinO = 2 sin600 = 2 3 3

2

ABC

  có AB = 4; BC = 8  AC 4 3

 AH AB AC. 2 3

BC

ABH

  có: 2 2 32

3 4

AH AE AB

AEJ

  có: AJ = AE cos600 = 3 1

2 = 1,5

 JD = AD – AJ = 8 – 1,5 = 6,5

3, 25 3

HJD

HK JD S