De thi HSG 11 + Dap an

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

MÔN: TOÁN LỚP 11

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I.(5đ)

Giải các phương trình sau:

1) x6 5 x2  ; 2) 2 0 312  x 314  x  2

Câu II.(5đ)

Cho tam  ABC thỏa mãn:

2( ) 2( ) 2( ) sin A cos A a p a b p b c p c

abc

Chứng minh  ABC vuông:

Câu III.(4đ)

Tìm k   sao cho: C14k  C14k2  2 C14k1

Câu IV.(3đ)

Cho , , a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2 p

Chứng minh: 1 1 1 2 1 1 1

Câu V.(3đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4 x  y  14 0; 2  x  5 y  2 0  Tìm tọa độ các

đỉnh A, B, C?

……… Hết………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm

I

(5đ)

1) x6 - 5x2 + 2 = 0  x6 - 4x2 - x2 + 2 = 0 x2(x4 - 4) - (x2 - 2) = 0

 x2(x2 + 2)(x2 - 2) - (x2 - 2) = 0 (x2 - 2)(x4 + 2x2 - 1) =0



2

4 2

2 0

2 1 0

x

  



  



+) x2 - 2 = 0  x2 = 2  x =  2

+) x4 + 2x2 - 1 = 0 

2 2

x



 



x2 = 1  2  x  1 2

Kết luận: PT đã cho có 4 nghiệm: x =  2;  x  1 2.

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

2) 312 x314x2

Đặt u =312 x ; v = 314 x

Ta có:

3 1 2

3

u v

u v

v



 







 





 



 

 +) u = 3  312 x = 3  12 - x = 27  x = - 15

+) u = - 1  312 x = - 1  12 - x = - 1  x = 13

Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm: x = - 15, x = 13

0,25đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,25đ

II

(5đ)

2

VT

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

abc

2 2 2

2

bc

 

2 2 2

2

ac

 



2 2 2

2

ab

 

= cosA + cosB + cosC Khi đó dẳng thức đã cho

 sinA c osA = cosA+cosB+cosCsinA= cosB+cosC

2

B

ABCvu

C















0,5 1 1 0.5 1 1

(4đ)

§iÒu kiÖn k N , 1 k 12 Ta cã :

14 14 14

2

    (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn k N , 1 k 12)

1 1 1 1

IV

(3đ)

x y

x y x y

Áp dụng (1) ta có: p a1  p b1 2p a b4 4c

;

p b  p c  p b c  a p c  p a  p c a  b

Dấu dẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

1 1

1

V

(3đ)

Tọa độ A là nghiệm của hệ 4x y 14 02x 5y 2 0    xy 2 4  A(–4, 2)

Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ABC nên



































2 y y

2 x x y y y y

x x x x

C B C B C B A G

C B A G

(1)

Vì B(xB, yB)  AB  yB = –4xB – 14 (2)

C(xC, yC)  AC 

5

2 5

x 2

C   ( 3) Thế (2) và (3) vào (1) ta có













































0 y 1 x 2 y 3 x 2 5 5 14

x

2 x

x

C C B B C B

C

B

Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)

0,25

0,75 1

1

……… Hết………