Tìm phần thực, phần ảo của z.. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z = 5và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó... BÀI TẬP ÔN TẬP SỐ PHỨC D
Trang 1CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
z
10 11
7 8
8 7
i
z
i
−
=
+
3 ( ) (3 )3
z= +i − −i
z= +i + −i
z
=
13
12
1 2
2
i
z
i
−
=
+
( ) ( ( ) )
z
8 ( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
10 z i (2 4i)(3 2i)= + − +
z ( 1 i)= − + −(2i)
1 i
−
13 (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
14 (2 + i)3 – (3 – i)3
15
−
1
2 3i
16.(2 3i) − 3
17.(1 + i)2 – (1 – i)2
18.( 3 i + ) (2− 3 i − )2 19.(2 + i)3 – (3 – i)3
(1 2i) (1 i) (3 2i) (2 i)
21 ( )2 4 5
3 2
2
−
+
i i
i
22 ( 1- 2 i ) +
i
i
+
+
2 1
23 3 2i −
i
24
3 + 2i 2 − − − i (5 2i)
+
1
i i
26
i
i i
+
1 3
3 2i 1 i
28.
(1 4 )( 2 3 )
4 3
i i
i
+
−
−
i
2 1
3
+
29.
i
i
−
+
1 1
30.
m i m
31.
a i a
a i a
− +
32.
) 1 )(
2 1 (
3
i i
i
+
− +
33. 2i(3 + i)(2 + 4i)
34. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) 35.
a i
b i
a+
36. (2 – i)4
37.
i
2
3 2 1
1
−
38.
i
i i
6 3
4 5 3 4
+
+ +
−
39. ( ) ( )
i
i i
+
−
+
2
2
40. (3 – 2i)(2 – 3i)
41. (2 + 3i)2
42. (2 – 3i)3 43.
i
i
+
+
1
2 4
44. 2 i (1 i)(4 3i)
3 2i
+
45. (3 4i)(1 2i)
4 3i
1 2i
−
46. 3 i i
−
+ (5 – i)2
47. 2 2i 1 2i
48. 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3
+ … + (1+i)20
− +
i 3
(2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 )
50 2012 (1 i)+
Bài 2: Tìm các sô x, y thoả mãn :
a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i
b (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i
c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i
d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i
e 2x yi 3 2i x yi 2 4i+ − + = − + +
Bài 3 : Tìm m∈Rsao cho :
1
z
mi
=
− là số thực
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn: 2 1
1
z z
− + là số thực Chứng minh z là số thực
Bài 5: Xác định tập hợp số phức thỏa mãn:
1
z
z i− =
−
3 z+ 2z= − 2 4i
4 z2 + =z 0
Trang 25 z z i− = − +z z 2i
6 z− − =2 i 1
7 3 i 4 4
z
− − =
8 z+ − = − +1 i z 3 i
9 z− − + =4 z 4 4 3
10 (1−i z) − =4 2
11 z−(3−4i) =2
12 2 z i− = − +z z 2i
2
z− + i =
14 z i+ = − −z 2 3i ;
15 z+z+3 =4
16 2|z – i| = z−z+2i
17 z = − +z 3 4i
18 z i 1
z i− = +
19 z− + =1 i 2
20 z + 2 z = 2 – 4i
21 z2 −z=0
22 z2 + z =0
23 z 3 1+ ≤
24 2 z+ = −i z
25 z = 1
26 z = z−3+4i
27 z−(2_i) = 10 và z = 25 .z'
28 z ≤ 1
29 z =1 và phần ảo của z là 1
30 z−(3−4i) =2
4
=
−
+
i z
i z
+
−
i z
i z
33 1< z ≤2
34 2i−2z = 2z−1
35 z+2z=2−4i
36 z2 + z2 =0
Bài 6: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8; 3; 9− ; 11− ; -i; -2i; 2i; 4i; 5 12i− + ; 8 6i+ ; 33 56i− ; 3 4i− + ; 3+4i; 5 – 12i
Bài 7: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1 z2 + 2z+ = 5 0
2 (z i z− )( 2 + 1)(z3 + =i) 0
3 (z2 +z) 2 + 4(z2 + − =z) 12 0
4 z4 + 6z3 + 9z2 + 100 0 =
i
z
i z
2 7
3
4
−
=
−
−
−
6
4
1
z i
z i
+
7 z2+ =z 0
8 z2+ =z 0
9 4 3 2 1 0
2
z
z −z + + z + =
10 z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
11
i
i z
i
i
+
+
−
=
−
+
2
3 1 1
2
12 2iz + 1 – i = 0
13 (1 – i )z + 2 – i = 2z + i
14 ( iz –1 )( z + 3i )( z – 2 + 3i) =
0
15 ( 2 i) z – 4 = 0
16 (4 5i z 2 i− ) = +
17 ( ) (2 )
3 2i− z i+ =3i
18 (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
19 (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
20 3 5i 2 4i z
+
= −
4 3
−
22 (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i)
23 (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i
24 (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i
25 z 3 1i 3 1i
2
1 ](
3 ) 2
i iz i z i
Bài 8: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a x2 − 3.x+1=0
b 3 2.x2 −2 3.x+ 2 =0
c 2
3x − + =x 2 0
d 3x2 + + =x 2 0
e x2+ + =x 1 0
f z4–8 = 0
g x3 – 1 = 0
h z3 + 1 = 0
i z4 + 4 = 0
j 5z2 – 7z + 11 = 0
k z2 - 2 3 z + 7 = 0
l z3 – 8 = 0
m z2 + z +7 = 0
n z2 – z + 1 = 0
o z2 + 2z + 5 = 0
p 8z2 – 4z + 1 = 0
q x2 + 7 = 0
r x2 – 3x + 3 = 0
s x2 –5x +7=0
t x2 –4x + 11 = 0
u z2 – 3z + 11 = 0
Bài 9: Giải phương trình sau trên tập số phức
a z4 – 5z2 – 6 = 0
b z4 +7z2 – 8 = 0
c z4 – 8z2 – 9 = 0
d z4 + 6z2 + 25 = 0
e z4 + 4z – 77 = 0
g z4 + z3 +
2
1
z2 + z + 1 = 0
h z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0
i 4z 3 7i z 2i
z i
−
Trang 3f 8z4 + 8z3 = z + 1 j. 3 1 2 1 1
0
z + z + z− =
Bài 10: Giải phương trình sau trên tập số phức
a x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0
b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0
c x2+ +(1 i x) − − =2 i 0
d 2z2 – iz + 1 = 0
e z2 + (-2 + i)z – 2i = 0
f z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
g z2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
h x2 − +(2 8i x) +14i−23 0=
i z2 − −(5 14i z) −2 12 5( + i) =0
j 2
z −2iz 2i 1 0+ − =
k z2 −80z+4099 100− i=0
m z2 −(cosϕ+isinϕ)z i+ cos sinϕ ϕ =0
n z4−8 1( −i z) 2+63 16− i=0
o z4−24 1( −i z) 2+308 144− i=0
p ( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0
q ( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
r z2 + 18z + 1681 = 0
s x2− +(3 4i)x 5i 1 0+ − =
Bài 11: Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Bài 12: Giải hệ phương trình sau trên tập số phức:
a
−
=
+
+
=
+
i z
z
i z
z
2 5
4 2
2
2
1
2
1
b
+
−
=
+
−
−
=
i z
z
i z
z
2 5
5 5
2
2
2
1
2
1
c
2 2
1 2
1 2
5 2 4
+ = +
d
2
+ =
1
− = −
Bài 13:
1 Tìm m và n sao cho: 2z3 − 9z2 + 14z− = 5 (2z− 1)(z2 +mz n+ ) 2 Giải phương trình: 2z3 − 9z2 + 14z− = 5 0
Bài 14: Tìm một acgumen sau:
a −2+2 3i.
b 4 – 4i
c 1 – 3i.
d z 2 2i= −
e
4 sin 4 cosπ −i π
f
8 cos 8 sinπ −i π
−
g z= − −1 3.i
h (1−i 3)(1+i)
i 1 3 1
− +
i i
Bài 15: Thực hiện phép tính
4 sin 4 (cos 3 )
6 sin 6
b
) 15 sin 15
(cos
3
) 45 sin 45
(cos
2
0 0
0 0
i
i
+ +
c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o)
d
) 2 sin 2 (cos 2
) 3
2 sin 3
2 (cos 2
π π
π π
i
i
+ +
Bài 16: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác:
a 1 i− 3
b 1 + i
c (1−i 3)(1+i)
(1 i)− 3 i+
e
i
i
+
−
1
3 1
f 2.i.( 3−i)
10 9
(1 i)
3 i
+ +
h
i
2 2
1
+
i z = sinϕ+i.cosϕ
Bài 17: Tính :
a. [ 2(cos300 +isin300)]7
b. ( 3−i)6
c.
33
1
1
−
+
i
i
e.
2010
i 1 i
+
h.
280 3
1
+
−
+
i i
i. ( )25
1 i+
Trang 412
2
3
2
1
21
3 2 1
3 3 5
−
+
i i
g. cos sin 5(1 3 )7
j. ( )
( )49
50
3
1
i
i
+ +
k. (cos12o + isin12o)5
Bài 18: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a –1 + 4 3i.
b 4 + 6 5i.
c –1 – 2 6i.
d 1+4 3i
e ( 3 - i)6
f
2004
+i i
g −11+4 3i
h ( )1−i
2 2
i
4
sin 4 cosπ −i π
j
3
sin 3 cosπ −i π
k 4 6 5i+
l − −1 2 6i
Bài 19:
1 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A= z1 2 + z2 2
2 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 −4z+ =11 0 Tính giá trị của biểu thức
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
3 Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo của z.
4 Tìm số phức z thoả mãn: z− + =2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị
5 Tìm số phức z thỏa mãn z−(2+i) = 10 và z.z=25
6 Tìm số phức z thỏa mãn:
( ) ( )
1
3
z
z i
z i
− =
−
+
7 Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức: 1 22 2
1 2
5 5
5 2
z z i
= − −
8 Chứng minh rằng nếu a bi (c di)+ = + n thì a2+b2 =(c2+ d2)n
9 Tìm các số thực b, c để phương trình z2+ + =bz c 0 nhận số phức z= +1 i làm một nghiệm
10 Tìm các số thực a, b, c để có: z3− 2(1 ) +i z2+ 4(1 ) +i z− = − 8 (i z ai z)( 2+ +bz c)
Từ đó giải phương trình: z3− 2(1 ) +i z2 + 4(1 ) +i z− = 8 0i trên tập số phức
11 Cho 3 cos2 sin2
i Tìm các số phức β sao cho β
3 = α
12 Chứng minh 3(1 +i) 2010 = 4 (1i +i) 2008 − 4(1 +i) 2006
13 Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z = 5và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó
Trang 5BÀI TẬP ÔN TẬP SỐ PHỨC Dạng 1:Bài toán liên quan đến biến đổi số phức.
Bài 1.A10 Cho z thỏa ( )3
1 3.i z
1 i
-=
- Tìm z iz
+
Bài 2.A11 Tìm tất cả các số phức z thỏa z 2= z 2+z
Bài 3.CĐ11.Cho số phức z thỏa ( )2
1 2i z+ + = -z 4i 20 Tính z
Bài 4 D11.Tìm z thỏa z- (2 3i z+ ) = -1 9i
Bài 5 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt z2 + 2z +10 = 0 Tính z1 2 + z ; z2 2 1 4+ z2 4
Bài 6.Cho hai số phức z1 và z2 thỏa z 1 = z 2 =1; z 1+z 2 = 3 Tính z 1- z 2
Bài 7 Cho hai số phức z1 và z2 thỏa z 1 =3; z 2 =4; z 1- z 2 = 37 Tìm số phức 1
2
z
z .
Bài 8.B11 Tìm số phức z biết z 5 i 3 1 0
z
+
Bài 9.B11.Tìm phần thực và phần ảo z biết
21
1 i 3 z
1 i
ç +
Bài 10.D12 Cho số phức z thỏa mãn (2 ) 2 1 2( ) 7 8
1
i
i
+
+ .Tìm mô đun của số phức w z i= + +1
Bài 11.A12 Cho số phức z thỏa 5( )
2 1
z i
i z
+
= − + .Tính mô đun của số phức
2 1
w= + +z z
Bài 12: Tìm phần ảo của số phức z, biết
Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )2
2 3− i z+ +4 i z= − +1 3i Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài 14: Cho số phức z thỏa mãn ( ) (2 ) ( )
1+i 2−i z= + + +8 i 1 2i z Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài 15: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
30 15
(1 )
i z
i
+
= +
Bài 16: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + … + (1+i)20
Dạng 2:Bài toán liên quan đến phương trình nghiệm phức.
Bài 1.CĐ11 Cho số phức z thỏa z 2- 2 1 i z 2i( + ) + = Tìm phần thực và phần ảo của 0 1
z.
Bài 2 Tìm x, y R∈ thỏa x2+2y2 +(3x2+ y i2) = +4 xy+(11+xy i)
Bài 3 Tìm x, y R∈ thỏa 2 ( ) 5
x
Bài 4 Tìm x, y R∈ thỏa x y+ +( x+ −1 2)i= xy+ + −3 (2 y+1)i
Bài 5.CĐ10 Cho số phức z thỏa ( ) ( ) ( )2
2 3i z- + +4 i z=- 1 3i+ Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài 6 Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn ( ) ( )3
x 3 5i+ +y 1 2i- = +9 14i
Trang 6Bài 7 a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa 2
z = +4 6 5i b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa 2
z = +33 56i
Bài 8 a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z3 = 18 26i +
b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z 3=- 11 2i-
Bài 9.Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) 8z2 - 4z + 1 = 0 b) 2z2 – iz + 1 = 0 c) z2 – 4z + 7 = 0
Bài 10.Giải pt z 3- 2 1 i z( + ) 2+4 1 i z 8i( + ) - =0 biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo
Bài 11 D2012 Viết dạng lượng giác các nghiệm của phương trình z2−2 3iz− =4 0
Bài 12: CDD2012 Gọi z z1, là các nghiệm của phương trình 2 z2−2z+ + =1 2i 0 Tính z1 + z2
Bài 13.Giải phương trình nghiệm phức z 2= z
Bài 14 D2012 Giải phương trình z2 +3 1( +i z) + =5i 0
Bài 15 Tìm số phức z thỏa mãn 2
1
− = −
Bài 16.Tìm số phức z biết: a) z z= 3 b) z + = +z 3 4i
Bài 17 Biết z z1, là các nghiệm phương trình 2 2
2z + 3z+ =3 0 Tính
a) z12+z22 b) z13+z23 c) z14+z24 d) 1 2
2 1
z + z
Bài 18: Giải phương trình: z4 – z3 +
2 2
z
+ z + 1 = 0
Bài 19: Giải phương trình:
3 1
z i
i z
+
Bài 20: Giải phương trình: (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2= 0
Bài 21: Giải phương trình: z4 – 2z3 – z2 – 2z + 1 = 0
Bài 22: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
Bài 23: Giải phương trình z3+ −(1 2 )i z2+ −(1 )i z− =2i 0, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Bài 24: Giải phương trình z3− +(5 i z) 2+4( 1)i− z− +12 12i=0, biết rằng phương trình có một nghiệm thực
Bài 25: Tìm số phức z thoả mãn hệ:
1 1 3 1
z
z i
z i
z i
− =
−
+
Bài 26: Tính giá trị của biểu thức: A C= 20100 −C20102 +C20104 − + C20102008−C20102010
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước.
Trang 7Bài 1 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa:
a) z−2i =1 b) z i 1
z i− = + c) z = − +z 3 4i
d) z z+ + =3 5 e) z z− + − =1 i 2 f) 2z i− = − +z z 2i
Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa z 2
z i =
Bài 3.Cho số phức z thỏa (1 2 ) 2 (3 )
1
i
i
−
+ Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong Oxy.
Bài 4 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi (x y R, ∈ )thỏa mãn điều kiện 2 ( )2
0
z + z =
Bài 5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn:
a) 2+ < −z 2 z b) 2≤ − +z 1 2i <3 c) z+ = −1 z i d) z2+3z+3z=0
Bài 6: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z2 là số thực âm b) z i− + + + =2 z i 9 c) 2 ( )2
0
z + z =
Bài 7: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều
kiện sau đây:
1) |z + z +3| = 4 ; 2) |z + z + 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z – z +2i| ;
Bài 8: (D2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
(3 4 ) 2
z− − i =
Bài 9: (B2010) Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i− = +(1 i z)