Tìm tất cả cỏc nghiệm nguyên của phơng trình x, y là cỏc ẩn số Câu 5 6 điểm.. Cho tam giỏc ABC vuông tại C, đờng cao CH.. O là trung điểm AB, đờng thẳng d đi qua C và vuông góc với OC..
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs
N ăm học 2010 - 2011
Đề chớnh thức
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1 (3 điểm) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: 1 1 1
2
a b c và a b c abc
Chứng minh rằng: 12 12 12
2
Câu 2 (3 điểm) Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
1 1 1
x y z
Tính giá trị biểu thức P = x2008 + y2009 + z2010
Câu 3 (3 điểm) Cho biểu thức P n 5 5n3 4n
a) Phân tích biểu thức P ra thừa số
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
Câu 4 (3 điểm) Tìm tất cả cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y là cỏc ẩn số)
Câu 5 (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuông tại C, đờng cao CH O là trung điểm
AB, đờng thẳng d đi qua C và vuông góc với OC Gọi D, E lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B tới đờng thẳng d
a) Chứng minh rằng: AH = AD; BH = BE
b) Chứng minh rằng: AD.BE = CH2
c) Chứng minh rằng: DH // BC
d) Cho góc ABC 60 0và BC = a Tính diện tích hình thang vuông ABED theo a
Câu 6 (2 điểm) Cho hai số a, b thỏa món a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng:
0 < a + b ≤ 2
……….HẾT………
sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
cấp tỉnh
N ăm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Trang 2Câu Hớng dẫn giải Điểm
1(3đ)
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: 1 1 1
2
a b c
(1) và a+b+c=abc (2) Chứng minh rằng: 12 12 12
2
Từ giả thiết (1), bình phơng 2 vế ta đợc:
4 2
(*)
Từ giả thiết (2), do abc≠0, nên chia 2 vế cho abc ta đợc:
1
1 1 1
2
a b c .
1,5 1,5
2(3đ)
Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
(1)
2 2 2 (2)
3 3 3 (3)
1
1
1
x y z
Tính giá trị biểu thức
P=x2008+y2009+z2010
Vì x2, y2, z2 > 0, nên từ (2) x2, y2, z2 < 1 -1 < x, y, z < 1
3 2
3 2
3 2
x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = 1 Nhng do (3)
3 2
3 2
3 2
x, y, z chỉ có thể
là 0 hoặc 1
x2008=x, y2009=y, z2010=z P=x2008+y2009+z2010=x+y+z=1 (theo (1))
1
1 1
3(3đ) Cho biểu thức P n 5 5n3 4n
a) Phân tích biểu thức P ra thừa số
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
a) Ta có: P n n ( 4 5n2 4) n n 4 n2 4(n2 1)
(n 2)(n 1) (n n 1)(n 2)
b) Ta có 120 = 3.5.8
- Vì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên P chia hết cho 3 và 5
- Nếu n chẵn thì n - 2 và n + 2 cũng chẵn nên P chia hết cho 8
- Nếu n lẻ: n = 2p + 1 thì (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hết cho 8
Vậy P chia hết cho 120 (do 3, 5 và 8 đụi một nguyờn tố cựng nhau)
1,5 0,5 0,5 0,5
Trang 3Tìm tất cả cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y là cỏc ẩn số)
Ta có :
1đ
2đ
5(6đ)
D
E C
H O
1đ
a) Xét 2 tam giác vuông : AHC và ADC có : AC chung
Suy ra AHC = ADC AH = AD
CM tơng tự BHC = BEC BH = BE
1đ
b) Trong tam giác vuông ABC ta có : CH2 = HA.HB = AD.BE 1đ c) Vì AC là phân giác trong của góc HAD của tam giác cân AHD nên
AC DH, mặt khác AC BC suy ra DH // BC 1đ d) Ta có : 1
2
OBC có OB = OC và OBC 60 0 nên OBCđều OC = BC = a
Tam giác vuông BCE có BC = a và CBE 60 0 nên 0 3
.sin 60
2
a
Do đó S(ABED) a2 3
2đ
6(2đ) Cho hai số a, b thỏa món a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng:
0 < a + b ≤ 2
Ta cú:
a3 + b3 > 0 a3 > –b3 a > – b a + b > 0 (1)
(a – b)2(a + b) ≥ 0 (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
a3 + b3 ≥ ab(a + b) 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b)
2đ
Trang 4 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 8 ≥ (a + b)3 a + b ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) 0 < a + b ≤ 2
Ghi chú: : học sinh làm bài theo cách khác với đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối
đa
……… HẾT………