HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN HSG
Bài 1: cho x> y> 0 và 2x2 2y2 Tính giá trị biểu thức:
x y
E
x y
+
=
− Giải Xét E2 = 9 suy ra E = 3
Bài 2: Cho a2 + b2 + c2 = 14 và a + b +c = 0 tính giá trị biểu thức: a4 + b4 + c4 Giải:
- Tính 142 = (a2 + b2 + c2 )2
- Tinh: (a + b +c)2
- KQ= a4 + b4 + c4 = 49
Bài 3: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
x2 + 2y + 1 = 0
y2 + 2z + 1 = 0
z2 + 2x + 1 = 0 Tính x200 + y200 + z200
HD: Cộng vế ta có kết quả: x = y = z = -1 suy ra x200 + y200 + z200 = 3
Bài 4: Cho x, y , z là các số không âm thỏa mãn:
x + xy + y = 1
y + yz + z = 3
z + xz + x = 7 Tính giá trị biểu thức: M = x2 + y2 + z2
HD: x + xy + y = 1 Suy ra x( y + 1) + (y+1) = 1 + 1 Suy ra (x+1) (y+1) = 2 Tương tự (y+ 1) (z+ 1) = 4
(x + 1) (z+ 1) = 8 Nhân vế (x+1)2 (y+1)2(z+1)2 = 64
KQ: M = 28
Bài 5:Chứng minh rằng:
Giải: Chứng minh công thức: 2
Kết quả: A=1998 + 1 1
2 2000 − là một số hữu tỷ
Bài 6: Tính:
2 2
2
1 1999
Giải: 20002 = (1999 + 1)2 = 19992 + 2.1999 + 1
Vậy : 1 + 19992 = 20002 – 2.1999
Giải ra được P = 2000
Bài 7: Chứng minh số: 3 3 3 2 1
( 2 1)
3
A= + −
Là một số nguyên?
Giải :
3 3 3 3 32 1
( 2 1)
3
Bài 8: Chứng minh đẳng thức:
3 20 14 2 + − 3 14 2 20 4 − =
Trang 2HD: đặt vế trái bằng x tính x3 rồi suy ra x = 4
Bài 9: Tương tự giải chứng minh các đẳng thức sau:
a) 3 2 + 5 + 3 2 − 5 1 =
b) 3 5 2 7 + − 3 5 2 7 2 − =
Bài 9: Chứng minh đẳng thức: 3 3 3 1 3 2 3 4
2 1
HD giải: Đặt 32 a= suy ra: 2 = a3 đẳng thức cần chứng minh tương đương:
2 3
3
1
1
9
a a
a− = − +
HD giải: Nhận xét:
+
+
Bài 11: Cho a = 11 1 ; b = 100 05
2010 chữ số 1 2009 chữ số 0
Giải: b = 100 05 = 100 0 - 1 + 6 = 99 9 + 6 = 9a + 6
2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9
⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
⇒ ab+1= (3a+1)2 =3a+1∈N
Bài 12: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: 13n + 3
Giải:
Đặt 13n + 3 = y2 (y ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = y2 – 16
⇔13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒(y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
⇒ y = 13k ± 4 (với k ∈ N)
⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8)
⇒13k2 ± 8k + 1
Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương
Bài 13: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) thì
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q ∈ N ; p + q = n và p > q
⇒ a + 48 = 2p ⇒ 2p 2q = 96 ⇔2q (2p-q – 1) = 25.3
a – 48 = 2q
Trang 3⇒ q = 5 và p – q = 2 ⇒ p = 7
⇒ n = 5 + 7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
B ài 14: : Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
xy + 3x - 5y = -3
Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18
3
3 5
+
−
= +
−
=
y y
y x
B ài 15 : Tìm nghiệm nguyên x 3 - 2y 3 - 4z 3 = 0
Giải : ⇔x 3 = 2(y 3 + 2z 3 )
VP 2 ⇒ x 3 2 ⇒ x 2 đặt x = 2k
8k 3 = 2(y 3 + 2z 3 ) ⇔4k 3 = y 3 + 2z 3
⇒ y 3 = 4k 3 - 2z 3 = 2(2k 3 - z 3 )
8t 3 = 2(2k 3 - z 3 ) ⇒ 4t 3 = 2k 3 - z 3
⇒ z 3 = 2k 3 - 4t 3 ⇒ z chẵn ⇒ z = 2m
⇒ 8m 3 = 2(k 3 - 2t 3 ) ⇒ k chẵn
B
ài 16: Giải hệ phương trình
= +
+
+ +
= +
+
2004 2003
2003
2003
2
2
2
3
z y
x
zx yz xy z
y
x
Giải:
= +
+
+ +
= + +
) 2 ( 3
) 1 (
2004 2003
2003 2003
2 2 2
z y
x
zx yz xy z y x
Ta có:
PT (1) ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy− 2yz− 2zx= 0
0 ) ( ) ( )
z y
x= =
⇔ Thế vào (2) ta có: 3x2003 = 3 2004
2003
2003 = 3
x suy ra x= 3
Do đó x= y=z = 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là:
(x;y;z) = (3;3;3)
B ài 17: Giải các hệ phương trình
Trang 4
+ +
= +
+ +
= +
6
5
2 2
3 3
2 2
xy y x y x
y y x
x
Đặt: x-y=a; x+y =b
Hệ đã cho trở thành
=
= +
) 2 ( 6
) 1 ( 5
2b a
a ab
Từ PT (2) ta suy ra a≠ 0 Do đó: 62
a
b=
Thế vào (1) ta được: 6+a= 5
a
0 6 5
2 − + =
⇔a a (Vì a≠ 0)
0 ) 3 )(
2
⇔ a a
=
=
⇔
3
2
a a
+)
2
3
−
=
=
⇔
=
−
= +
4 1 4 7 2
2 3
y
x y
x
y x
+)
3
2
a Hay
−
=
=
⇔
=
−
= +
6 7 6 11 3
3 2
y
x y
x
y x
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) =
−
6
7
; 6
11
; 4
1
; 4 7
Bài 18: Giải các hệ phương trình
a)
= + +
= + +
xyz z
y x
z y x
4 4 4
1
Giải:
Nhận xét: Từ BĐT (a−b) 2 + (b−c) 2 + (c−a) 2 ≥ 0
Ta suy ra: a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca(*)
áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta được
2 2 2 2 2 2 4 4
4 y z x y y z z x
x + + ≥ + + ≥ xyz(x+ y+z)
⇔ x4 + y4 +z4 ≥xyz
Đẳng thức xẩy ra khi:
3
1
=
=
= y z x
=
3
1
; 3
1
; 3
1 )
;
; (x y z
Bài 19: Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: a2 b c2 2 a b c 1( )
Trang 5( )
a c b a c b a bc b ac c ab
Bài 20: Cho a, b, c > 0 CMR: a b c a2( + − +) b a c b2( + − +) c b a c2( + − ≤) 3abc (1)
Giải
2
G s a b c
≥ >
Suy ra ĐPCM
Bài 21: Chứng minh rằng:
( ) ( )
Giải:
) Ta có
=
2
) Ta có : 4 4 4 4 8
Bài 22: Cho a + b > 1 Chứng minh: 4 4 1
8
a +b >
Giải
Trang 6( ) ( )
2
2
2 2
4 4
1 0
1
a b
+
+
Bài 23: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Giải: Ta có: P =
2
2
Nếu a > 0 thì P ≥ 2
4
b c a
− Vậy minP =
2 4
b c a
− khi
2
b x
a
= −
Nếu a < 0 thì P ≤ 2
4
b c a
− Vậy maxP =
2 4
b c a
− khi
2
b x
a
= −
Bài 25: Cho x – 2y = 2 Tìm GTNN của Q = x2 + 2y2 – x + 3y
Giải:
Vậy minQ = 11 khi 3
Bài 26: Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y 6≥ Hãy tìm GTNN của P = 3x 2y 6 8
Giải
Vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4
Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1 Tìm GTNN của biểu thức
A = x4 + y4 + z4
Giải
Áp dụng BĐT BCS ta có
2
2
1
minP = khi x = y = z =
P
⇒ ≥ ⇒
Bài 28: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m.
Trang 72 1 (1)
m x y m
x my