SKKN Tìm cực trị trong Đại số 9

Lý DO CHọN đề TàI: Xu thế đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học tập của học sinh.. Dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” là một vấn đề phức tạp và khó đ

A Đặt vấn đề

I Lý DO CHọN đề TàI:

Xu thế đổi mới phơng pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học tập của học sinh Học sinh là chủ thể, ngời quyết định việc tiếp nhận tri thức toán nói chung và việc vận dụng vào giải bài tập toán nói riêng Do đó, quá trình giảng dạy giáo viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng toán mà sự vận dụng của các em còn quá

bở ngỡ

Dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” là một vấn đề phức tạp và khó đối với mọi đối tợng học sinh nói chung đặc biệt đối với các em có hạn chế về t duy toán học Khi gặp các dạng bài tập này không ít học sinh lúng túng, không biết nên bắt đầu từ

đâu, hớng giải quyết thế nào

Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có đợc một cách nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phơng pháp giải loại toán này trên nền tảng kiến thức cơ bản đã đợc trang bị trong chơng trình toán THCS (Hằng đẳng thức bình phơng tổng hoặc hiệu; bất đẳng thức Côsi; Công thức nghiệm phơng trình bậc hai; ) qua đó giúp các em nâng cao chất lợng học toán, phát triển các phẩm chất trí tuệ nh: cách nhìn nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán

Chính lẽ đó tôi đúc kết lại một số kinh nghiệm “Tìm cực trị trong Đại số 9”

nhằm nâng cao kỷ năng giải toán nói chung và giải toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” nói riêng, đặc biệt là trong thi tuyển sinh THPT giúp các em có điều kiện học toán tốt hơn

II Đối tợng, thời gian và Phạm vi thực hiện đề tài

Tôi thực hiện đề tài này trong năm học, trên đối tợng là lớp 9A năm học 2010

- 2011

Trong quá trình thực hiện tôi tập trung đi sâu phân tích, khai thác, nhìn nhận, xây dựng một số giải pháp nhằm định hớng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số lớp 9”

B Nội dung đề tài

I Cơ sở khoa học

1) Cơ sở kiến thức:

Kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải loại toán này là:

1.1 Hằng đẳng thức bình phơng tổng, hiệu

1.2 Căn bậc hai và các phép biến đổi, Bất đẳng thức Côsi

1.3 Công thức ngiệm phơng trình bậc hai, hệ thức Vi ét, các biến đổi cơ bản biểu thức nghiệm hai phơng trình

2) Cơ sở phơng pháp

2.1 áp dụng hằng đẳng thức: (a b) 2 a22ab b 2biến đổi biểu thức về dạng A [f (x)] 2m hay A[f (x)]2mkhi đó giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A là

m hay giá trị lớn nhất (GTLN) của A là m khi f(x) = 0

2.2 áp dụng bất đẳng thức a b a b (a b 0)   để tìm GTLN Dấu

“=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b

2.3 áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b 0)  để tìm GTNN Dấu

“=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

2.4 áp dụng bất đẳng thức Cô si: a b  2 ab (a,b 0) để tìm GTNN, GTLN Dấu “=” xảy ra khi a = b

2.5 áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai:

0 ( ' 0)

r r Dấu “=” xảy ra khi phơng trình có nghiệm kép

II Cở sở thực tế

1 Tình hình thực tế:

1.1 Thuận lợi

Trờng THCS Mỹ Thủy đã nhiều năm có truyền thống về chất lợng dạy và học, là trờng trọng điểm chất lợng cao của huyện, có bề dày thành tích trong công tác dạy và học, nhất là kết quả thi học sinh giỏi và chất lợng tuyển sinh THPT hàng năm

Phụ huynh học sinh xã Mỹ Thuỷ quan tâm đến việc học tập của con em, nên

đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt

Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ớc mơ, hoài bão do đó đã tạo thuận lợi cho chất lợng dạy và học

1.2 Khó khăn

1.2.1 Định tính

Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học toán” đặc biệt là dạng toán “Tìm cực trị” nói riêng các em thờng lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì

do đó dễ nãy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực Đặc biệt

đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây khó khăn không nhỏ cho các em

1.2.2 Định lợng

Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2010

-2011 ở lớp 9A tôi thu đợc số liệu nh sau:

SL % SL % SL % SL % SL % SL %

31 21 67.7% 10 32.3% 12 38.7% 9 29.0% 7 22.6% 3 9.7%

Mức độ hiểu và hoàn thành bài toán Tổng số

Mức độ yêu thích Không thích Thích

Đặc biệt qua kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 Đại số 9 năm học 2010 - 2011 ở lớp 9A trong đề bài có câu:

Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A x 3 x 4  

Tôi thu đợc kết quả:

Bài

kiểm tra

Tổng số học sinh

5 

38,7% 6,5% 16,1% 16,1% 61,3% 32,3% 29,0%

Và dạng toán này thờng gặp nhiều trong kiểm tra HKII và các đề tuyển sinh lớp 10 THPT

Ví dụ 1: Cho phơng trình bậc hai : x2 2mx m 2 1 0

a Giải phơng trình với m = 5

b Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m

c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 12x22 x x1 2

(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009)

Ví dụ 2: Tìm GTNN của P x 2 xy 3y 2 x 1     với x, y 0

(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2008 - 2009)

Ví dụ 3 Cho x, y > 0, x y 1  Tìm GTNN của 12 12

     

(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2010 - 2011)

Chính vì thế trong bài viết tôi xin trình bày một số giải pháp nhằm định h-ớng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9”

III GIảI PHáP THựC HIệN

Quá trình thực hiện đề tài “Tìm cực trị trong Đại số 9” tôi đã thực hiện các giải pháp nh sau:

Giải pháp 1: Dạy chắc kiến thức cơ bản

Giáo viên phải dạy chắc kiến thức cơ bản cho học sinh về:

- Hằng đẳng thức: (a b) 2 a22ab b 2

- Chứng minh bất đẳng thức a b a b (a b 0)  

- Chứng minh bất đẳng thức a b a b (a,b 0) 

- Chứng minh bất đẳng thức Cô si: a b  2 ab (a,b 0)

- Công thức nghiệm và điều kiện của phơng trình bậc hai

Giải pháp 2: Rèn luyện kỉ năng nhìn nhận, vận dụng kiến thức.

2.1 Nhìn nhận.

Giá trị biểu thức F(x)m  x R hay F(x)m  x Rvới m hằng số Khi đó biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất là m (Dấu “=” xảy ra)

2.2 Kết hợp nhìn nhận và biển đổi để đi đến kết quả

+ Dạng 1: A ax 2bx c hay A ax b x c   đối với dạng này hớng dẫn

học sinh biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phơng tổng, hiệu

Cụ thể: Biến đổi biểu thức A [f (x)] 2mhay A[f (x)]2mvới m hằng số

+ Dạng 2: A f (x) g(x)đối với dạng này hớng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức a b a b (a b 0)   để tìm giá trị lớn nhất

+ Dạng 3: A f (x) g(x)đối với dạng này hớng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức a b a b (a,b 0)  để tìm giá trị nhỏ nhất áp dụng bất đẳng thức Cô si: a b  2 ab (a,b 0) để tìm GTLN

+ Dạng 4: A f (x)  g(x)đối với dạng này hớng dẫn học sinh áp dụng bất

đẳng thức Cô si: a b  2 ab (a,b 0) để tìm GTLN

+ Dạng 5: A f (x)

g(x)

 hay A f (x)

g(x)

 biến đổi biểu thức và áp dụng bất đẳng

thức Cô si: a b  2 ab (a,b 0) để tìm GTLN (GTNN)

+ Dạng 6: áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm GTNN, GTLN

Giải pháp 3: Tập cách phân tích, nhìn nhận, lựa chọn kiến thức, tìm tòi lời giải cho học sinh.

Đây là việc làm vừa khó, vừa công phu, vừa là đánh giá hiệu quả công việc của ngời thầy giáo Nó đòi hỏi giáo viên phải uyên thâm kiến thức, linh hoạt sáng tạo, kiên trì trong công việc mới đa lại hiệu quả cần mong muốn

Giải pháp 4. Một số ví dụ minh hoạ

4.1 Các bài toán sử dụng hằng đẳng thức

Ví dụ 1 Tìm GTNN của biểu thức A x 2 5x 11

Hớng dẫn: 2

2 2 2 x 2 4 4

Vậy GTNN của A là 19

4 khi

x    x 

Ví dụ 2 Tìm GTNN của biểu thức A x 3 x 4  

Hớng dẫn:

2

7 7

4 4

3 2

   

 

   

          

Vậy GTNN của A là 7

4 khi

Ví dụ 3 Tìm GTNN của P x 2 xy 3y 2 x 1     với x, y 0

(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2008 - 2009) Hớng dẫn: P (x 2 xy y 2 x 2 y 1) 2(y 2.1 y 1) 1

Vậy GTNN của P là 1

2

 khi và chỉ khi

1

2











1

2 1 y 2











  





Ví dụ 4 Cho phơng trình bậc hai : x2 2mx m 2 1 0

a Giải phơng trình với m = 5

b Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m

c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 12x22 x x1 2

(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009) Hớng dẫn câu c.

Theo Vi ét: 1 2 2

1 2







1 1 2 2 1 2 ( 1 2 ) 1 2 4m 3m 3 m 3 3 m

P x 2x x x  3x x  x x  3x x        Vậy GTNN của P là 3 khi m = 0

4.2 Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x) - g(x)

Phơng pháp giải:

- áp dụng bất đẳng thức a  b a b (a b 0)  

- Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b

Ví dụ 5 Tìm GTLN của A x 1  x 8

Hớng dẫn:

Điều kiện: x 8

A x 1  x 8  x 1 x 8    9 3

Vậy GTLN A là 3 khi x - 8 = 0  x = 8

4.3 Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng A = f(x) + g(x)

Phơng pháp giải:

- áp dụng bất đẳng thức a  b a b (a,b 0) 

- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

Ví dụ 6 Tìm GTNN của A x 3  5 x

Hớng dẫn:

Điều kiện: 3 x 5 

A x 3  5 x  x 3 5 x    2

Vậy GTNN A là 2 khi x = 3 hoặc x = 5

4.4 Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x) + g(x)

Phơng pháp giải:

- Bình phơng biểu thức A

- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 2 ab  a b (a,b 0)

- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

Ví dụ 7 Tìm GTLN của A 3x 5  7 3x

Hớng dẫn:

Điều kiện: 5 x 7

3 3

2

A 3x 5 7 3x 2    3x 5 7 3x 2   2 3x 5 7 3x 

2

GTLN của A2là 4 khi3x 5 7 3x    6x 12  x 2

Vậy GTLN của A là 2 khi x 2

Tổng quát: Tìm GTLN của A  axn b c ax n (b c)

+ A2    (c b) 2 axn  b c ax  n (c b) (c b) 2(c b)      +Max A2 2(c b)  khi xn c b

2a





+Max A 2(c b)  khi xn c b

2a





4.5 Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng A = f(x)

g(x) .

Phơng pháp giải:

- Nhân và chia f(x) cùng một số khác 0

- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 2 ab  a b (a,b 0)

Ví dụ 8 Tìm GTLN của A x 9

5x





Hớng dẫn:

Điều kiện: x 9

1 x 9

A







GTLN của A là 1

30 khi x 9 3 x 9 9 x 18

3



Tổng quát: Tìm GTLN của n

n

ax b A

cx





+

n

n

n

n

1 ax b

b

2 b

ax b b

A







+Max A a

2c b

 khi xn 2b

a



4.5 Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng f(x)

g(x)

A = (bậc f(x) lớn hơn

g(x)).

Phơng pháp giải:

- Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức mà tích của chúng là hằng số

- áp dụng bất đẳng thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0)

Ví dụ 9: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức A (x 1994)2

x





Hớng dẫn:

Min A 4.1994 khi x 19942 x 1994

Ví dụ 10: Cho x  0 Tìm GTNN của biểu thức

2

x 2x 17 M

2(x 1)





Hớng dẫn:

(x 1) 16 x 1 8 2 x 1 8. 2 4 4



(x 1) 16





 



Ví dụ 11: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức P x3 2000

x





Hớng dẫn:

2 2000 2 1000 1000 3 2 1000 1000.

Min P = 300 khi x2 1000 x 10



Ví dụ 12: Tìm GTLN của biểu thức Q 2 x

x 1





Hớng dẫn:



 Min 1

Q = 1 khi

2 2 x   Vậy Max Q = 1 khi x = 1.

4.6 Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng A = f(x) + g(x).

Phơng pháp giải:

- Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức mà tích của chúng là hằng số

- áp dụng bất đẳng thức Cô si: a b 2 ab (a,b 0)

Ví dụ 13: Cho 0 < x <12 Tìm GTNN của biểu thức P 9x 2

2 x x



Hớng dẫn:

.



Min P = 7 khi 9x 2 x 9x2 x2 4x 4 x2 4x 4 0 x 1





4.7 Các bài toán tìm GTNN, GTLN áp dụng công thức nghiệm và điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai.

Ví dụ 14: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức A 4x 32







Hớng dẫn:

Gọi a là một giá trị của A Phơng trình 4x 3 a2





 (1) có nghiệm.

(1)  ax  4x a 3 0   (2)

- Nếu a = 0 thì (2) 4x 3 0(1) 4x 3 x 3

4

        

- Nếu a 0 thì pt (2) là phơng trình bậc hai

2

' 4 a(a 3)   a  3a 4

r

Pt(2) có nghiệm  r ' 0  a2 3a 4 0     4 a 1

Vậy: Min A = -4 khi pt(2) có nghiệm kép x 2 1

 

Max A = -1 khi pt(2) có nghiệm kép x 2 2

a

 

Ví dụ 15: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức B x22 x 1

 



 

Hớng dẫn:

Gọi a là một giá trị của B Phơng trình 2

2

 



  (1) có nghiệm.

2

(1) (1 a)x  (1 a)x 1 a 0    (2)

- Nếu a = 1 thì (2)  x = 0

- Nếu a 1 thì pt (2) là phơng trình bậc hai

2

(1 a) 4(1 a) 3a 10a 3

r

Pt (2) có nghiệm 0 3a2 10a 3 0 1 a 3

3

Vậy: Min B = 1

4 khi pt(2) có nghiệm kép

1 1

1 2(1 a) 2 1

3

 

 

 









Max B = 3 khi pt(2) có nghiệm kép

2(1 a) 2 1 3

Giải pháp 5 Một số bài toán thực hành áp dụng

Bài tập 1: Cho phơng trình x2(2m 1)x m 0   Gọi x , x1 2là các nghiệm của

ph-ơng trình Tìm m để A x 12x22 6x x1 2đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 2: Cho phơng trình x2  mx m 1 0   Gọi x , x1 2là các nghiệm của phơng

trình Tìm GTNN, GTLN của 2 2 1 2

2x x 3 B

x x 2(x x 1)





Bài tập 3: Cho phơng trình x2(4m 1)x 2(m 4) 0    Gọi x , x1 2là các nghiệm

của phơng trình Tìm m để A (x 1 x2)2đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4: Cho phơng trình x2 2(m 4)x m  2 8 0 Gọi x , x1 2là các nghiệm của phơng trình Tìm m để:

a A x 1x2 3x x1 2đạt giá trị lớn nhất

b B x 12x22 x x1 2đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 5:

a Tìm GTNN của A 12x 2006  12x 2007

b Tìm GTNN của A 30x41975 30x4 2007

Bài tập 6:

a Tìm GTNN của A 20x 11  1982 20x

b Tìm GTNN của A 19x51890 19x52010

Bài tập 7: Cho x + y = 15 Tìm GTNN của A x 4  y 3

Bài tập 8:

a Tìm GTLN của A x 5  23 x

b Tìm GTLN của A 7x51954 7x52007

Bài tập 9: Cho x + y = 15 Tìm GTLN của A x 4  y 3

Bài tập 10: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

x 16

A

7x



7x



3x



 10x 49

D

2006x





2 2

2x 25 E

2006x



 Bài tập 11: Tìm GTNN của các biểu thức:

4

3

3x 16

A

x





8 7

7x 256 B

x





2

2x 6x 5 C

2x



Bài tập 12: Cho x  0 Tìm GTNN của biểu thức x

x

N

3



 Bài tập 13: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: M 1 x x

x

x 1





 Bài tập 14: Cho x > 9 Tìm GTNN của biểu thức Q 4x

x 3



 Bài tập 15: Cho x > 1 Tìm GTNN của các biểu thức A x 1 B 4x 25

Bài tập 16: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức B x22 2x 1

x 2x 3



IV Kết quả đạt đợc

Qua quá trình thực hiện, kiểm nghiệm đề tài tôi có kết quả nh sau:

1 So sánh kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 Đại số 9 và kết quả kiểm tra học kỳ

I năm học 2010-2011 ở lớp 9A Trờng THCS Mỹ Thuỷ thu đợc kết quả:

Bài

kiểm tra

Tổng số học sinh

5 

Bài số 1 31

38,7% 6,5% 16,1% 16,1% 61,3% 32,3% 29,0% Học kỳ I 31

71,0% 51,6% 9,7% 9,1% 29,0% 25,8% 3,2%

2 Kết quả kiểm tra bài số 4 Đại số, bài khảo sát học kỳ 2 và kết quả chất l-ợng bộ môn Toán năm học 2010-2011 lớp 9A trờng THCS Mỹ Thủy nh sau:

Bài

kiểm tra

Tổng số học sinh

5 

Bài số 4 31

77,4% 38,7% 22,6% 16,1% 22,6% 19,4% 3,2% Học kỳ II 31

74,2% 35,5% 22,6% 16,1% 25,8% 25,8% 0% TBm Cả năm 31

83,9% 22,6% 19,4% 41,9% 16,1% 16,1% 0%

So sánh đối chiếu với kết quả điều tra và kết quả đạt đợc rõ ràng có sự tăng tr-ởng về chất lợng học toán của học sinh

3 Điều đặc biệt hơn là tâm lý “lo sợ” học toán của học sinh đã giảm hẳn, học sinh ứng khởi say sa với học toán hơn, yêu thích môn toán hơn, do đó đã góp phần khẳng định thơng hiệu môn toán của Trờng THCS Mỹ Thủy nói riêng, chất lợng giáo dục của Lệ Thủy nói chung

V Bài học kinh nghiệm.

Qua quá trình nghiên cứu đề tài và áp dụng tại lớp 9a Trờng THCS Mỹ Thủy, tôi rút ra một số kinh nghiệm:

1 Giáo viên phải thờng xuyên tạo tâm lý a thích học toán cho học sinh (thông qua đổi mới, cải tiến phơng pháp dạy học; thông qua hớng dẫn cách vận

dụng kiến thức toán vào việc giải bài tập; thông qua tháo gỡ những vớng mắc của học sinh )

2 Giáo viên phải thực sự tâm huyết với môn dạy của mình để nghiên cứu, tìm tòi, tích luỹ kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân ngày càng tốt hơn

3 Phải thờng xuyên dạy chắc kiến thức cơ bản, phân chia các loại bài tập theo chủ đề, theo dạng toán, theo sự vận dụng kiến thức, để giúp học sinh tiếp thu, lựa chọn phơng pháp giải một cách chủ động, dễ dàng hơn và có hiệu quả cao hơn

C Kết luận

Có thể khẳng định rằng, với cách làm trên tôi đã giúp đỡ, hỗ trợ rất lớn cho

các em học sinh trong việc học toán, giúp cho các em có thêm phơng pháp “Tìm

cực trị trong Đại số 9” Giúp các em không còn thấy lo sợ, e ngại khi làm các bài

toán dạng này và tạo cho các em một niềm tin, tạo cho các em có sự cảm nhận, sáng tạo và ngày càng yêu thích môn Toán hơn, thấy đợc vẽ đẹp muôn màu của Toán học

Trên đây là một số kinh nghiệm về việc “ Tìm cực trị trong Đại số 9” mà bản

thân tôi đã áp dụng tại trờng THCS Mỹ Thủy trong năm học 2010 - 2011 Dù rằng còn khá mới mẽ song hiệu quả mà nó đem lại là rất lớn, góp phần nâng cao chất l-ợng giảng dạy và giáo dục của trờng

Trong bài viết này chắc chắn không thể tránh đợc những thiếu sót, tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của Hội đồng khoa học, cùng các thầy cô giáo để kinh nghiệm của bản thân ngày một tốt hơn, đợc bạn bè đồng nghiệp áp dụng rộng rãi, nhằm nâng cao chất lợng môn toán nói riêng và chất lợng giáo dục nói chung