Đây là bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng. Nội dung của bài tập này xoay quanh các vấn đề sau: Tìm các ứng suất chính và các phương chính. Tìm biến dạng dựa vào ứng suất theo định luật Hooke Cho trước chuyển vị dùng công thức Cauchy để tìm biến dạng. Từ biến dạng đi tìm ứng suất theo định luật Hooke Xác định lực khối. Xác định luật bề mặt Bài toán phẳng trong hệ tọa độ vuông góc
Trang 1Bài 1: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm như bảng 1:
Bảng 1:
, /
a Hãy biểu diễn trạng thái ứng suất này lên phân tố:
Hình 1 - Trạng thái ứng suất của phân tố theo các thông số cho ở bảng 1
b Xác định các bất biến của tenxơ ứng suất:
Tenxơ ứng suất có dạng như sau:
5 3 2
3 6 1
2 1 7
T
Các bất biến của tenxơ ứng suất được xác định theo công thức sau:
2
I kN cm
2
2
( 5) *6 6*( 7) ( 7) *( 5) 3 1 ( 2)
51 /
x y y z z x xy yz zx I
kN cm
Trang 2
2 2 2 3
2
( 5) *6*( 7) 2*3*1*( 2) ( 5) *1 6*( 2) ( 7) *3
242 /
x y z xy yz xz x yz y xz z xy
kN cm
c Xác định các thành phần ứng suất chính:
Để xác định được các thành phần của ứng suất chính ta đi giải phương trình bậc ba sau đây: 3 2
, với là một lượng vô hướng Thay các bất biến của tenxơ ứng suất đã xác định trong phần b ở trên vào phương trình bậc ba ta được: 3 2
6 51 242 0
Giải phương trình bậc ba này ta được các ứng suất chính như sau:
2 2 2
6.782 / 4.119 / 8.662 /
I II III
kN cm
kN cm
kN cm
Ta có tenxơ ứng suất của hệ trục chính như sau:
T
d Xác định các phương chính:
Để tìm các phương chính ta giải bài toán vectơ riêng:
yx
0
1
y i yz
l m n
Phương chính n1 = (l1, m1, n1) ứng với ứng suất chính I = 6.782 kN/cm2:
1 1 1
1
l m n
Trang 31 1 1
1
1 11.782 * 3* 2 * 0 3* 0.782 * 0
2 * 13.782 0
1 4.026 0.147
1
l m n
l
0.241 4.026 0.970 0.147 0.035
Vậy phương chính n1 = (0.241 ; 0.970 ; 0.035) và '
n n
Phương n2 = (l2, m2, n2) ứng với ứng suất chính II = -4.119 kN/cm2:
2 2 2
1
l m n
2 2 2
2
1 0.881* 3* 2 * 0 3* 10.119 * 0
1 4.540 3.498
1 0
l m n
m
.172 4.540 0.781 3.498 0.602
Vậy phương chính n2 = (-0.781 ; 0.172 ; 0.602) và '
n n
Trang 4 Phương n3 = (l3, m3, n3) ứng với ứng suất chính III = -8.662 kN/cm2:
3 3 3
1
l m n
3 3 3
3
1 3.662 * 3* 2 * 0 3* 14.662 * 0
1 3.345 4.627
1 0.1
l m n
m
73 3.345 0.579 4.627 0.800
Vậy phương chính n3 = (-0.579 ; 0.173 ; -0.800) và '
n n
e Tính lại các bất biến theo các thành phần ứng suất chính:
1 I II III 6.782 4.119 8.662 5.999 / 6 /
2
6.782*( 4.119) ( 4.119) *( 8.662) ( 8.662) *6.782
51.002 / 51 /
I II II III III I
I
3 I II III 6.782*( 4.119)*( 8.662) 241.973 / 242 /
Qua kết quả tính toán các bất biến theo câu b và câu e ta thấy sai số không vượt qua sai số cho phép nên kết quả tính toán ta có thể tạm chấp nhận được
Trang 5f Xác định các thành phần biến dạng(tenxơ biến dạng), biết
0.3,E 2.10 kN cm/
Tenxơ biến dạng có dạng như sau:
xx xy xz
xx xy xz
zx zy zz
zx zy zz
T
Dựa vào định luật Hooke để xác định các thành phần biến dạng khi ta đã biết các thành phần ứng suất:
4
2*10
E
4
( ) 6 0.3*( 5 7) 4.8*10
2*10
E
4
2*10
E
4 4
1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3)
3 1.95*10
4 4
1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3)
1 0.65*10
4 4
1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3)
( 2) 1.3*10
Vậy tenxơ biến dạng: 4
2.35 1.95 1.3
10 1.95 4.8 0.65
1.3 0.65 3.65
T
Trang 6Bài 2: Cho vật rắn hình trụ có kích thước như bảng 2:
Bảng 2:
STT Các thành phần chuyển vị Hình dạng vật thể
09
zx EJ
M z
y L
x L E
u [( ) ( )]
2
2 2 2
yz EJ
M y x L E
v ( )
)]
( [
2 )
EJ
M z x L E
w
1 Với các thành phần chuyển vị cho trước, hãy dùng công thức Cauchy để tìm biến dạng của vật thể chịu lực:
x
y
( )
z
0
xy xy
0
zx zx
( 1)
yz yz
Trang 72 Với biến dạng vừa tìm được, dùng định luật Hooke tìm các thành phần ứng suất:
Độ giãn nở thể tích:
( )(1 2 )
( ) 1 2
2(1 ) 2(1 ) 1
(L x)
x y z
M
z
1
(L x)
(L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 )
z
z J
1
(L x) (1 )
x
M z J
1
( ) (1 )
y
M
J
( ) (1 )
z
M
J
Các thành phần ứng suất:
Trang 82 2
2
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
2
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
2
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
0
xy G xy
0
zx G zx
( 1) ( 1)
yz yz
3 Dùng các phương trình cân bằng, hãy tìm lực khối tác dụng lên vật thể:
Để xác định lực khối tác dụng lên vật thể ta dùng phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy:
0
0
0
yx
x
y
yz
z
f
f
f
2
(1 ) (1 2 ) (1 )
x
0
yx
y
, z zx 0
xy x
y y
zy z
, x xz 0
( 1)
2 (1 )
yz M
2
2 (1 ) (1 2 ) (1 )
Thay các giá trị tính toán ở trên vào phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy ta được lực khối như sau:
Trang 92
(1 ) (1 2 ) (1 ) 0
(1 )
2 (1 ) (1 2 ) 2 (1 )
x
y
z
E f
f
f
4 Sử dụng điều kiện biên theo ứng suất, xác định lực bề mặt tác dụng lên tất cả các mặt của vật thể:
Điều kiện biên theo ứng suất:
*
*
*
Thay các ứng suất vào ta được:
0 0 0
0
a) Xét mặt đáy dưới tương ứng với n1 = (1,0,0)
*
*
*
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) 0
0
x x
y
z
f
f
f
b) Xét mặt đáy trên tương ứng với n2 = (-1,0,0)
*
*
*
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) 0
0
y z
f
f f
c) Xét mặt hông tương ứng với n3 = (0, y/r, z/r)
Trang 10*
*
2
0
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) ( 1)
2 (1 )
( 1)
2 (1 )
(L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
x
z yz z
f
f
M
yz
f
M
y
z J
Bài 3: Cho thanh có chiều dài L chịu lực như hình vẽ Cho hàm ứng suất Airy dạng đa thức Hãy:
09
,
a Tìm liên hệ giữa các hệ số trong đa thức để hàm ứng suất Airy là điều hòa:
Để hàm ứng suất Airy x y, là hàm điều hòa thì x y, phải thỏa phương trình sau:
Mà:
4 0, 2 2 12A y, 4 120A y
Trang 11Thay các giá trị vừa tìm được vào phương trình trên ta được:
b Xác định các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp:
Các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp được xác định theo các công thức sau:
2
y
2
3
x
2
2
x y
c Xác định các điều kiện biên:
Mặt y = -c có n = (0,-1):
0 , 0
y xy
Mặt y = c có n = (0,1):
y q xy
Mặt x = L:
c xy c
d Xác định các hệ số trong biểu thức của hàm ứng suất Airy:
c xy c
Và phương trình: A4 5A5 0 (5)
Trang 12Để tìm các hệ số của hàm ứng suất Airy ta phải giải hệ 5 phương trình trên:
3
2
3
3
3 0 (2)
5 0 (5)
A A c A c
A A c
A Lc A Lc P
Kết quả giải hệ phương trình trên là:
1
2
4 3 8
8
40
q A
P A
Lc P A Lc P A
Lc
Để xác định A3 ta phải xuất phát từ điều kiện mômen tai x = L có giá trị bằng không Tức là:
0
2
2
20 8
c x c c
c c
c
c c
A
