Cơ học vật rắn biến dạng (Bài giảng Cao học Bách Khoa Tp.HCM)

Bài giảng Cao học Bách Khoa Tp.HCM: Cơ học vật rắn biến dạng

Trang 1

CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 TENXƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC (CHMTLT)

Các đại lượng vật lý, hình học… đặc trưng cho tính chất của môi trường liên tục có

bản chất không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ Trong mỗi hệ tọa độ, các đại

lượng này được biểu diễn qua một số các giá trị gọi là thành phần của các đại lượng

Khi thay đổi hệ trục tọa độ, các thành phần này thay đổi, song theo một quy tắc nhất

định Những đại lượng trong CHMTLT có thành phần thay đổi theo quy luật được gọi

là tenxơ Như vậy, tenxơ như một đối tượng toán học, tồn tại độc lập với các hệ trục

tọa độ

Các định luật vật lý của CHMTLT thường được biểu diễn bằng ngôn ngữ tenxơ, dưới

dạng các phương trình tenxơ Quy luật biến đổi các thành phần tenxơ khi thay đổi hệ

tọa độ mang tính tuyến tính và đồng nhất nên các phương trình tenxơ đã đúng trong

hệ tọa độ này thì cũng đúng trong hệ tọa độ khác.

Sức mạnh của các phép tính tenxơ trong CHMTLT chính là ở tính bất biến đó của các

hệ thức tenxơ đối với phép biến đổi tọa độ

Nếu phép biến đổi giới hạn chỉ ở những hệ tọa độ vuông góc thì tenxơ được gọi là

tenxơ đề các Tenxơ đề các sử dụng khá nhiều trong CHMTLT nên thuật ngữ “tenxơ”

trong giáo trình này được hiểu là “tenxơ đề các” nếu không có chú thích gì thêm.

Tenxơ phân loại theo hạng hay cấp ứng với số thành phần của nó

Ví dụ: Trong không gian Ơclít ba chiều, chẳng hạn không gian vật lý thông thường,

tenxơ hạng N có 3N thành phần

* Tenxơ hạng không: 30 = 1 thành phần

Tenxơ hạng không chỉ có một thành phần trong hệ tọa độ bất kỳ Đó là đại lượng

vô hướng (scalar)

a a’, song a = a’

Trang 2

1.2 VƠ HƯỚNG VÀ VÉCTƠ

1.2.1 Khái niệm

Vơ hướng: Các đại lượng vật lý chỉ cĩ độ lớn, như khối lượng, chiều dài, thời gian… (tenxơ hạng 0)

Ký hiệu: vơ hướng a, b, c (chữ thường, nét nghiêng)

Véctơ: Các đại lượng vật lý đặc trưng bởi trị số và hướng, như lực Fi, vận tốc vi, gia

tốc ai …

Ký hiệu: véctơ a,b,c (chữ in đậm) hoặc a, , b c (chữ thường, cĩ gạch dưới)

Trị số véctơ a, ký hiệu là a hoặc a

Hai véctơ bằng nhau nếu cùng hướng và độ dài

Véctơ đơn vị: cĩ độ dài đơn vị, ký hiệu là ê hoặc iˆ

Véctơ âm so với véctơ đã cho là véctơ cĩ cùng mơđun nhưng hướng ngược lại

a+b

Hình 1.2 Các phép tính vector

Trang 3

Nhân véctơ với nghịch đảo môđun của nó sẽ nhận được véctơ đơn vị có cùng hướng:

b

Biểu diễn véctơ:

Trong hệ tọa độ trực giao đề các (hệ tọa độ thuận), bất cứ véctơ nào cũng được biểu

diễn ở dạng tổ hợp tuyến tính của ba véctơ khác không, không đồng phẳng cho trước

của hệ, gọi là véctơ cơ sở

Hệ véctơ cơ sở trực chuẩn: hệ véctơ đơn vị tạo nên tam diện thuận trong hệ tọa độ đề

các Ví dụ: iˆ,ˆj , kˆ - hệ véctơ cơ sở trực chuẩn như trên hình 1.3

Véctơ a bất kỳ được biểu diễn theo hệ cơ sở trực chuẩn như sau:

b = ˆi ˆj kˆ

z y

a.b = axbx + ayby + azbz (1.8)

Tính chất của tích vô hướng

Giao hoán: a.b = b.a

k

j i

Trang 4

Phân bố: a.(b+c) = a.b + b.c

v = ˆi ˆj kˆ

z y

a.b = 2 2 2 1/2 2 2 2 1/2

).(

)

z z y y x x

b b b a a a

b a b a b a

+++

+

++

c

Trang 5

a x b = -b x a = (absinθ), ( 0≤θ ≤π ) (1.11)

c véctơ đơn vị có hướng sao cho khi quay theo quy tắc bàn tay phải (quy tắc vặn nút

chai ) quanh c một góc θ sẽ dẫn a đến b Mođun c bằng diện tích hình bình hành

Tích véctơ không giao hoán:

Biểu thức: a x b.c có nghĩa là (a x b).c ở đây không cần ngoặc đơn vì biểu thức này

chỉ có ý nghĩa khi ta tính tích véctơ trước

z y x

c c c

b b b

a a a

Trang 6

Có trị số bằng thể tích hình hộp xiên có cạnh a, b, c Như vậy ở tích hỗn hợp, tích

véctơ và tích vô hướng có thể đổi chỗ cho nhau

Xác định véctơ đơn vị trực giao với hai hướng cho trước: phải xác định ˆn vuông góc

1.3 KÝ HIỆU CHỈ SỐ VÀ BIỂU TƯỢNG

Thành phần tenxơ hạng bất kỳ có thể biểu diễn rỏ và gọn nhờ ký hiệu chỉ số

Ví dụ: a i , b j , T ij , ε ijk , R pq …

Chỉ số tự do (hoặc có nghĩa) là chỉ số gặp một lần trong biểu thức, có thể nhân các

giá trị từ 1, 2,…., n (n nguyên dương, xác định khoảng biến thiên của chỉ số)

Chỉ số tổng (hoặc câm) là chỉ số lặp lại hai lần trong biểu thức Chỉ số câm mất đi khi

tổng được thực hiện và có thể thay nó bằng bất kỳ chữ khác mà không thay đổi giá trị

phần tử

Quy ước phép lấy tổng: Chỉ số lặp hai lần có nghĩa chỉ số này lấy tất cả các giá trị

trong khoảng biến thiên của chỉ số và mọi thành phần tương ứng với mỗi một giá trị

của chỉ số được cộng lại

+ Tenxơ hạng nhất (các véctơ): ai, ai, aijbj, Fikk, Rp

qp , εijkujvk + Tenxơ hạng hai: Được viết dưới dạng Dij , Dj

i hoặc Di

j , Dij … Trong hệ trục tọa độ đề các không có sự phân biệt chỉ số trên và dưới của tenxơ

(thành phần phản biến và hợp biến) Điều này khác với hệ tọa độ cong

+ Còn tenxơ hạng không (vô hướng) λ, εkk

Trong không gian vật lý thông thường: véctơ a bất kỳ hoàn toàn được cho bởi ba

thành phần ai (xem §1.2)

Trang 7

a a a

Tenxơ hạng 2 (điađic) A ij ( i,j = 1,2,3) có 9 thành phần:

Tổng quát, tenxơ hạng N trong không gian n chiều có nN thành phần

Ký hiệu chỉ số (hay biểu tượng Gibbs) thật thuận tiện để viết các hệ phương trình rút

gọn

Ví dụ: 1) vi = σij nj ( i = 1,2,3)

có dạng khai triển v1 =σ11 n1 + σ12 n2 +σ13 n3

j i

,0

,1

δ11 = δ22 = δ33 =1; δ12 = δ23 =δ31 =δ21 = δ32 =δ13 = 0

Ký hiệu hoán vịεijk (tenxơ hạng ba Levi-Chivit)

1 nếu i,j,k = 1,2,3 hoặc lập thành hoán vị chẵn từ 1,2,3

εijk = -1 nếu lập thành hoán vị lẻ từ 1,2,3 (1.16)

0 nếu hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

Ví dụ: εii = ε11 + ε22 +ε33 = 3

Trang 8

' 1

Theo định nghĩa của cosin chỉ phương (1.10) ta có:

Nói chung, a ≠ ij a ji (Xem Hình 1.9)

Biểu diễn véctơ đơn vị ˆi trong hệ tọa độ j '

i x

Trang 9

Đây là điều kiện trực giao của ma trận quay gồm 9 phương trình Ma trận chuyển đổi

hệ tọa độ [aij]– là ma trận quay trực giao

Phép biến đổi tuyến tính dạng (1.20) hay (1.21) chính là qui luật biến đổi thành phần

tenxơ đề các bậc nhất khi xoay hệ trục tọa độ

Theo quy tắc biến đổi véctơ (1.21) của ui’ vj’ ta có:

ui’vj' = ( api up ) ( aqj vq ) = api aqj up vq (1.23)

Mở rộng công thức (1.23), ta có qui tắc biến đổi tenxơ đề các bất kỳ hạng hai:

Tij’ = api aqj Tpq (1.24) Nhân (1.24) với aki alj, sử dụng điều kiện trực giao (1.22), thu được

Trang 10

Tij = aip ajq T’pq (1.25) Tổng quát hóa cho tenxơ đề các hạng N

T’ijk… = api aqj ark … Tpqr … (1.26)

Và ngược lại:

Tijk… = aip ajq akr … T’pqr… (1.27)

Khái niệm tenxơ đề các

Tenxơ đề các là đại lượng có các thành phần khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa

độ khác thì biến đổi theo qui luật (1.26) và (1.27)

Ví dụ: Cho véctơ a = (2,1,1) xác định trong hệ trục xi Tìm ai’ khi quay x1, x2 quanh

x3 một góc 300

Lời giải:

x1’ x2’ x3’

x1 cos300 cos1200 cos900

02

32

1

02

12

02

32

1

02

12

2 =

344,1

232,2

Trang 11

1.4.2 Các phép tính tenxơ

Cộng tenxơ đềcác (tenxơ cùng hạng): Tổng hoặc hiệu hai tenxơ A và B cùng hạng là

tenxơ T cùng hạng, mỗi thành phần của T là tổng hoặc hiệu hai thành phần tương

ứng cùng chỉ số của hai tenxơ A và B

Aijk… ±Bijk… = Tijk… (1.28)

Tích vô hướng với tenxơ cho tenxơ mới cùng hạng

bi = λai hoặc b = λa

Bij = λAij hoặc B = λA

Nhân tenxơ (nhân ngoài)

Tích ngoài của hai tenxơ hạng tùy ý là một tenxơ mới mà mỗi thành phần của nó được

biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tenxơ này với từng thành phần

tenxơ kia theo đúng thứ tự chỉ số Tổng hạng các tenxơ thành phần là hạng của tenxơ

6

64

4

32

2

Phép cuộn hay co tenxơ (phép lấy tổng) cho ta tenxơ mới (tích chập) có hạng giảm 2

đơn vị so với tenxơ ban đầu

Ví dụ: Tii , uivi

Eij aj , Eii ak

Phép nhân trong: kết hợp đồng thời phép nhân ngoài và phép cuộn tenxơ

Ví dụ: tích vô hướng aibi hay a b

Tích véctơ: εijk ajbk = a x b

aiEjk aiEik = bk aE = b

Trang 12

M

N N

A A

A

A A

A

A A

2 22

21

1 12

M A

A A

- Ma trận đơn vị I: nếu các phần tử trên đường chéo bằng đơn vị

1

01

- Ma trận chuyển vị: [Aij]T (nhận từ ma trận [Aij] bằng cách đổi hàng thành cột)

- Ma trận đối xứng:[ Aij]T= [Aij]

- Ma trận phản đối xứng:Aij = -Aji

Trang 13

Suy ra, đối với ma trận phản đối xứng, Aii = 0

21

13 12

11 3

2

A A

A

A A

21

13 12

11 3 2

B B

B

B B

++

=+

=

23 23 21

21

13 13 11

11 3 2 3 2

3

2

B A B

A

B A B

A B

13 11

3

2

kA kA

kA x

Nhân hai ma trận A, B: chỉ xác định trong trường hợp hai ma trận tương thích

(comformable) có nghĩa là số cột của A bằng số hàng của B

Trang 14

1.5.3 Định thức ma trận vuông

Ký hiệu: A hay det [A ij ij ]

Định thức con của phần tử Aij: ký hiệu Mij là định thức còn lại của ma trận vuông [Aij]

sau khi loại bỏ hàng và cột chứa Aij

kỳ) nhân với phần phụ đại số tương ứng:

[ ] ∑

=

N j ij ij

ij A A

A

1

*det (i là hàng bất kỳ , không lấy tổng theo i)

[ ] ∑

=

N i ij ij

ij A A

A

1

*det (j là cột bất kỳ , không lấy tổng theo j) (1.38)

Nếu [A ij ] và [B ij ] là hai ma trận vuông cùng bậc, thì:

det [[Aij] [Bjk]]= det [Aij]det [Bjk] (1.40)

+ Ma trận suy biến: [Aij] suy biến nếu A = 0 ij

+ Định thức ma trận vuông [Tij] có thể biểu diễn bằng chỉ số theo nhiều cách:

det [Tij]= εijk

Ti1 Tj2 Tk3 (1.41) =εijk

lmn

ε Til Tjm Tkn (1.46) + Ma trận liên hợp: thu được bằng cách thay mỗi phần tử bằng phần phụ đại số sau đó

đổi hàng và cột

Trang 15

+ Ma trận nghịch đảo: Nếu ma trận vuông [Aij] không suy biến thì sẽ tồn tại ma trận

nghịch đảo [Aij]-1, xác định như sau:

[Aij]-1[Aij] = [Aij][Aij]-1= I (ma trận đơn vị)

1.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH & BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG

+

=+

+

n n nn n

n n

b x x

σσ

1 1

1 11

(1.48)

i j

n x

n ij

b

) (

]

σ hay σij xj = bi

bi, σij - những số hạng đã biết, xi - ẩn số

Nếu { }b i ={ }0 hệ được gọi là thuần nhất

Nếu { }b i ≠{ }0 hệ được gọi là không thuần nhất

i i

thay vào đó là cột ma trận {bi }

Có 4 trường hợp:

Trường hợp 1: det [σij]#0, {bi } # 0

Nghiệm duy nhất và không tầm thường

Trường hợp 2: det [σij]#0, {bi } =0

Nghiệm duy nhất và là nghiệm tầm thường

Trường hợp 3: det [σij]=0, {bi } =0

Trang 16

Có vô số nghiệm Các phương trình của hệ phụ thuộc tuyến tính Đây là

trường hợp có liên quan tới bài toán trị riêng

Trường hợp 4: det [σij]=0, {bi } # 0

Tồn tại vô số nghiệm, nếu mọi ∆i trong (6.2) bằng 0 Nếu không sẽ không

=++

111

112

121][

6

72

82

3 2 1

ij A

x x x

Tìm nghiệm bằng hai cách:

?][

][

][]

[)

A adj

A

A adj A

i

* Ma trận phần phụ đại số C:

311

101

110

a C

101

110

T C adjA

101

110]

ij A

678

311

101

1101

j ij

Trang 17

11

1]det[

,1116

117

128

:)

(

1 1

Cramer

ii

31

3]det[

,3611

712

821

21

2]det[

,2161

172

181

3 3 3

2 2

A x

000

311

101

110

0,

0]det[

1

j ij

i

j ij

b A

112

121

02

2 1

3 2 1

=++

x x

x x x

không phụ thuộc tuyến tính

Trang 18

Đây là bài toán trị riêng

Trường hợp 4:

σij =0 , { }b j ≠0

Từ công thức Cramer, ta suy ra nghiệm bất định, với mọi (i = 0

Nếu không, hệ phương trình sẽ vô nghiệm

=++

)(3

233

)(2

2

)(1

2

3 2 1

c x

x x

b x

x x

a x

x x

(σij - λδij) xj = 0 (1.51b) Với λ là một số, δij – ký hiệu Kronecker

(1.51a) hay (1.51b) sẽ có nghiệp không tầm thường nếu phương trình:

Det[σij - λδij] = 0 (1.52)

là phương trình đa thức bậc n đối với λ

Bài toán biểu thị dẫn đến phương trình dạng (1.51) được gọi là bài toán trị riêng

+ Phương trình đa thức bậc n (1.52) được gọi là phương trình đặc trưng, nghiệm

của nó được gọi là trị riêng của ma trận [σij]

+ Ứng với mỗi trị riêng có một nghiệm {xj}#0, tức là nghiệm không tầm thường

của (1.51), được gọi là vectơ riêng hay vectơ đặc trưng

+ λk là trị riêng Khi đó, theo (1.51)

[σij] {xj (k)}= λk {xj (k)} ∑

k

)( , không lấy tổng theo k (1.53a)

hay σij xj (k)= λk xj (k) ∑

k

)

Trang 19

Các phương trình (1.53a) là phụ thuộc tuyến tính, cho nên các véc tơ riêng

x1(k), x2(k), … , xn(k) không xác định được một cách tường minh mà được xác định

dưới dạng thừa số của một các vec tơ trên, chẳng hạn xl(k) và phải khác 0

) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1

) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1

ˆˆˆ

x x x

(1) (1) 1 (2) (2) 2 (3) (3) 3

k j

Trang 20

00

3 2 1

λχ

b

λ

= ∑ (1.67) Như vậy, phương trình (1.48) có thể tách ra bằng phép biến đổi (1.64a)

Ta gọi y là tọa độ chuẩn, x - tọa độ suy rộng

Trang 21

Tính xác định dương:

(i)Với V xác định theo (1.68): Ma trận thực, đối xứng [σij] và dạng toàn phương

(1.68) được xem là xác định dương nếu V>0 với mọi {σxi} thực #{0}

Điều kiện cần và đủ để [σij] và V xác định dương là (theo Frazer, Duncan và Collar,

0

λλλ

Trang 22

Nghiệm của phương trình (1.73):

1 (4 )

3

I b

1 3 1

I b

1 2

1 3

2

b a

Ứng với mỗi điểm x của không gian và mỗi thời điểm thời gian t, tenxơ T (x,t)

có một giá trị Tập hợp mọi giá trị tạo thành trường tenxơ: (x,t) (T (x,t)

Bán kính véctơ x (hay xi) biến đổi trong miền đã cho của không gian,

t thay đổi trong khoảng thời gian đã cho

Trang 23

Trường tenxơ liên tục (hay khả vi) nếu thành phần của trường là liên tục (khả vi)

Các trường tenxơ có hạng khác nhau có thể viết dưới dạng chỉ số và biểu tượng:

• Trường vô hướng ϕ= ϕ(xi , t) hay ϕ= ϕ(x,t )

• Trường véctơ vi = vi(xi , t) hay v = v(x,t)

• Trường tenxơ hạng 2 Tij = Tij(xk , t) hay T = T(x,t)

1.7.2 Vi phân trường tenxơ

Vi phân các thành phần tenxơ theo tọa độ xi được ký hiệu bằng toán tử vi phân

()aa

()()

Có thể dùng ký hiệu nabla (để viết toán tử này dưới dạng tenxơ:

2vxx

Txx

Ta nhận thấy khi vi phân sẽ nhận được tenxơ có hạng cao hơn một bậc nếu i là

chỉ số tự do và thấp hơn một bậc nếu i là chỉ số lấy tổng

Trang 24

1.7.3 Một vài toán tử vi phân quan trọng trong CHMTLT:

grad ϕ = ∇ϕ= i

i

iˆx

kˆjˆiˆ

1.7.4 Các định lý trong trường tenxơ

1.7.4.1 Định lý phân kỳ Gauss chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt

Công thức thường dùng của định lý: đối với trường véctơ v = v(x),

∫V

divv =∫

S.nˆ

dV v dS (1.82) Với nˆ là véctơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S giới hạn thể tích V mà trong đó v

được xác định Công thức được viết dưới dạng chỉ số:

p ijk dV T n dS

T , (1.84)

1.7.4.2 Định lý Green (trong mặt phẳng) chuyển từ tích phân đường sang tích

phân mặt

S – miền phẳng kín giới hạn bởi chu tuyến kín C (không tự cắt chính nó) trên mặt

phẳng x1, x2 Cho hàm M(x1,x2), N(x1, x2) liên tục và có đạo hàm liên tục trong miền

S

2 1 2 1 C

2

x

Mx

NNdx

Mdx (1.85)

Có thể tổng quát hóa định lý trên thành định lý Xtốc (n =3)

1.7.4.3 Định lý Xtốc

Đối với mọi hàm F = Fi ˆii liên tục và khả vi, tích phân của hàm F dọc theo chu tuyến

kín C có thể chuyển sang tích phân theo mặt S có biên là chu tuyến C (xem hình vẽ):

Trang 25

Hình 1.13 Đường cong khơng gian

Trong khơng gian vật lý thơng thường, cho bán kính véctơ x là hàm của vơ hướng u:

xi = xi(u) với u - thơng số Điểm cuối xi vẽ nên một đường cong khơng gian khi thơng

,ncosx

FxF

)x,ncos(

x

Fx

,ncosx

Fx

FdS

(rotF)dx

F

3 2

1 1 2

2 1

3 3

1 1

3

2 2 3

S

n C

Hình 1.12 Mặt S và biên là đường cong C

Trang 26

∆ tồn tại, giới hạn này là véctơ hướng theo phương tiếp tuyến với

đường cong không gian và có thành phần đềcác 

dxi là vận tốc vi điểm cuối xi vạch nên đường cong

• Tương tự 2i

2 idt

xddt

- gia tốc của điểm x i dọc theo đường cong

• Nếu u ≡ s (chiều dài cung đo từ một điểm cố định trên đường cong) thì

i

i Tds

i

i i i

KTτBdS

dN

τNdS

dB,KNdS

Trang 27

1.8.2 Các phương trình đường thẳng và mặt

• Phương trình thơng số để điểm (x1, x2, x3) nằm trên đường thẳng nối

(y1, y2, y3) và (z1, z2, z3) (Xem Hình 1.15 a)

3 3

3 3 2 2

2 2 1 1

1 1

yz

yxyz

yx

0αγαγαγ

αβαβαβ

αxαxαx

3 3 2 2 1 1

Hình 1.16 Mặt phẳng chứa ba điểm khơng thẳng hàng

(y 1 ,y 2 ,y 3 )

(x 1 ,x 2 ,x 3 ) (z 1 ,z 2 ,z 3 )

z i - y i

Hình 1.15 Biểu diễn đường thẳng

(b) (a)

Trang 28

• Phương trình mặt phẳng vuông góc yi và đi qua điểm cuối zi có dạng:

0dxφdxx

φφ

Gradient của mặt bất kỳ là véctơ pháp tuyến đối với mặt đó

Thành phần của véctơ pháp tuyến đơn vị với mặt φ(xi) = const

ni =

j j

iφ,φ,

φ,

± (1.95) Dấu ± được chọn sao cho ni hướng ra ngoài bề mặt

• Cũng có thể biểu diễn bán kính véctơ của điểm nằm trên bề mặt như sau:

xi = xi(α , β) (1.96) Với α và β là hai thông số độc lập

xi

∂

∂ nằm trên mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt

Véctơ pháp tuyến với mặt (1.96) sẽ cùng hướng với véctơ xác định như sau:

0β

xα

∂

∂ϕ

dxi = gradϕ dx = 0

dx tiếp tuyến bề mặt, suy ra gradϕsong song pháp tuyến với bề mặt

Ví dụ: Tìm ˆn của mặt cầu tại điểm ( 3 , 2, 3) nằm trên mặt cầu, tâm gốc tọa độ, bán

Trang 29

=

gradA

= 8

321ˆ

e + 2

12ˆ

e +8

63ˆ

a t,a)δ(t (1.98)

1a)dtδ(tc

()

∫ t t a dt c

b

(b<a<c) (1.99)

Hình 1.18 Biểu diễn đồ thị hàm Dirac - delta

Hàm Dirac – delta không phải là hàm số bình thường mà đúng hơn là giới hạn của

chuỗi đặc biệt các hàm số thường Ở Hình 1.19 là giới hạn của hàm xung (pulse)

- Biểu diễn lực tập trung, nếu t là biến số tọa độ thời gian

- Biểu diễn lực xung, nếu t_ biến thời gian

Trang 30

, t > 0 , t < 0

1H(t) (1.100)

dtdt

(t)da)H(t(b)(0)(c)(1)

dtdt

a)dH(t

φφ

d φ =φ +φ(1) (9.9c) Suy rộng,

(n) (i)

i) 1 (n n

n

(t)H(t)(t)

(0)(t)H(t)

dt

d

φφ

Trang 31

CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG GVGD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

2.1 CHUYỂN ĐỘNG, CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

2.1.1 Chuyển động và hai cách mô tả chuyển động

Ta dùng hệ tọa độ đề các thông dụng để khảo sát vật thể đàn hồi chịu lực Chịu

tác động của các nguyên nhân bên ngoài, vật thể sẽ thay đổi hình dáng Môi trường

chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái mới do sự chuyển động của các hạt (phần tử)

vật chất trong môi trường Các chuyển động đó được gọi là chuyển vị

Gọi B là hình thái ban đầu của

vật thể ở thời điểm t0, B’ là hình thái

của vật thể khi biến dạng ở thời điểm

t M là điểm bất kỳ thuộc B, xác định

bởi vector vị trí r (xi), sau biến dạng

có vị trí M’ xác định bởi vector vị trí

r’ (x’i)

Chuyển động, hay sự thay đổi vị trí

của hạt vật chất, là phép biến đổi tọa

độ:

),,

' ' x x x x

tương quan giữa các điểm là tương

quan 1-1

Ta có hai cách mô tả chuyển động, theo Lagrange và theo Euler, tùy thuộc vào ta

chọn biến số tọa độ trong phương trình chuyển động là x hay x’

Phương trình chuyển động theo Lagrange (phụ thuộc vào thời gian t) có dạng:

),,,

' ' x x x x t

Nếu cố định xi phương trình (2.2) mô tả quĩ đạo chuyển động của hạt cụ thể có tọa độ

xi trong cấu hình ban đầu Nếu xem xi là biến và cố định t, phương trình (2.2) cho biết sự

phân bố của vật thể tại thời điểm xác định t Nếu x và t đều là biến, thì phương trình

(2.2) cho biết vị trí các phân tố của toàn bộ vật thể tại mỗi thời điểm t, có nghĩa là biết

gọi là tọa độ vật chất hay tọa độ Lagrange Mô tả chuyển động theo Lagrange thích hợp

cho việc mô tả vật rắn biến dạng

Ngược lại với Lagrange, mô tả Euler xem xét các hiện tượng xảy ra tại điểm M’ trong

không gian (có tọa độ x’i), ở thời điểm t

Nếu chọn x’i làm thông số độc lập, ta có thể cho qui luật chuyển động dưới dạng:

),,,

3

' 2

'

1 x x t x

r' r

Trang 32

cho phép theo dõi hạt vật chất ở vị trí ban đầu mà tại thời điểm t nó chiếm vị trí x’i Đây

không gian Nếu cố định x’i (hay điểm M’), phương trình (2.3) xác định dòng các hạt vật

chất lần lượt chuyển tới điểm M’ theo thời gian t và qui luật biến đổi của các đại lượng

đặc trưng ứng với từng thời gian t Mô tả Euler thích hợp nghiên cứu dòng chảy, hay

được dùng trong cơ chất lỏng hoặc chất khí

Hai cách biểu diễn trên là tương đương, các biến số có thể qui đổi từ Lagrange theo

Euler, hoặc ngược lại Biểu thức (2.2) thực chất về toán học là một phép biến đổi tọa độ

Với giả thiết hàm x’i (xi, t) liên tục cùng với đạo hàm bậc cao hõn và có Jacobi khác

không, bao giờ ta cũng giải ngược lại được xi = xi (x’i, t) Do đó, điều kiện cần và đủ để

tồn tại các hàm ngược của chúng là các Jacobi phải khác không:

với các thành phần:

i i

biến số Lagrange hoặc Euler

Khi vật thể biến dạng, mỗi phân tố đều thay đổi hình dáng Để khảo sát biến dạng tại

điểm, ta xét sự biến đổi của một phần tử thẳng ds nối điểm M và điểm N rất gần với nó

Chuyển động của đoạn thẳng có thể phân làm 2 thành phần:

thay đổi về chiều dài), thực hiện bởi một phép quay toàn khối Chuyển vị này được

gọi là chuyển dịch như một cố thể hay phép quay cứng Như vậy, để chuyển tới vị trí

mới, môi trường có thể chuyển động quay như một vật thể tuyệt đối cứng mà khoảng

cách giữa các phần tử không thay đổi

- Biến dạng thuần túy mang ds trùng với ds’ và thay đổi về chiều dài.

Phần chuyển vị thứ nhất đã được nghiên cứu trong Cơ Lý thuyết

Biến dạng môi trường chỉ liên quan tới phần chuyển vị thứ hai và gọi là biến dạng thuần

túy

Khi các hàm số chuyển vị là tuyến tính theo các biến số tọa độ thì dễ thấy rằng các

đường thẳng, các mặt phẳng của môi trường ở thời điểm ban đầu vẫn sẽ trở thành các

là phi tuyến đối với biến số tọa độ

Ví dụ 1: Cho qui luật chuyển động:

)1(

3 1 3

' 3

2 1 2

' 2 1

' 1

−+

=

−+

e x x x

x x

Trang 33

Tìm chuyển vị theo tọa độ Lagrange và Euler

Giải:

Chuyển vị trong tọa độ Lagrange:

) 1 (

0 '

3 1 3

' 3 3

2 1 2

' 2 2

1 1 1

e x x x u

x x u

Dễ thấy, điều kiện (2.4) được thỏa mãn nên ta có thể viết phương trình chuyển động theo

Euler:

) 1 (

' '

) 1 (

' ' '

3 1 3 3

2 1 2 2

1 1

e x x x

x x

(b) Suy ra chuyển vị theo Euler:

) 1 (

0 '

3 ' 1 3

' 3 3

2 ' 1 2

' 2 2

1 1 1

e x x x u

x x u

Ví dụ 2: Trạng thái biến dạng thuần nhất: thanh chịu kéo (nén) đúng tâm

Ví dụ 3: Trạng thái biến dạng không thuần nhất: thanh chịu uốn

2.2 QUAN HỆ GIỮA BIẾN DẠNG BÉ VÀ CHUYỂN VỊ

2.2.1 Khái niệm biến dạng tại điểm

bé có các cạnh song song với các mặt tọa độ (H.2.2)

Với ba thành phần chuyển vị của điểm M, ta thấy chưa đủ để xác định vị trí mới

của phân tố, ngay cả khi giả thiết phân tố không biến dạng (tức là không thay đổi hình

dáng và thể tích) Bởi vì hình hộp còn có thể quay quanh ba cạnh hình hộp (song song

với ba trục tọa độ x1, x2, x3) Như vậy, ta phải kể đến thành phần ba góc xoay, gọi là

thành phần quay cứng, với các ký hiệu ω1 (quay quanh trục x1), ω2 (quay quanh trục x2),

Trang 34

ω3 (quay quanh trục x3) Trường hợp khiω1 =ω2 =ω3 =0, tức là tại điểm đang xét

không có sự quay, ta có biến dạng thuần túy Khi phân tố biến dạng thuần túy, các cạnh

biến dạng dài còn góc vuông ban đầu bị lệch gọi là biến dạng góc.

2.2.2 Liên hệ vi phân giữa biến dạng bé và chuyển vị

Tại điểm M(x i), tách một phân tố hình hộp để xét biến dạng tại điểm này.Với các

biến dạng là bé,ta có thể quan sát biến dạng của phân tố qua biến dạng của các hình

chiếu của nó trên các mặt tọa độ (H.2.3)

phân tố M’N’P’Q’

Điểm M( x1, x2)có chuyển vị theo

phương các trục tọa độ là u1( x1, x2)

vàu2( x1, x2) Điểm N (x +1 dx1, x2)

có các chuyển vị tương ứng, sau khi

1 1

1 2

1

x

u x

có thể giải thích như độ tăng của

chuyển vị theo phương nằm ngang

thể giải thích tương tự cho số hạng thứ hai trong biểu thức còn lại

Khi xem các biến dạng là bé, ta giả thiết biến dạng dài và góc quay của các đoạn thẳng

phân tố là bé

Biến dạng dài tỷ đối theo phươngx1:

MN

MN N

1 1

1

1 1

x

u u dx N

=

1

1 11

"

' '

'

x

u MN

MN N M MN

MN N M

1

x

u u

∂

∂ +

2 2

2

x

u u

∂

∂ +

2 2

1

x

u u

∂

∂ +

β

α

Hình 2.3

1 1

2

x

u u

∂

∂ +

P’’

Trang 35

Biến dạng góc hay độ lệch của góc vuông trong mặt phẳng đang xét gọi là góc trượt kỹ

thuật, với ký hiệuγ12 = 2 ε12, như vậy ε12 là nửa biến dạng góc Từ hình vẽ, ta

có:γ12 = α + β

Góc quay của cạnh MN là:

1 2

1 1 1 2

1 1 1

2 1 1

2 2

1

u x

u x u

dx x u

u dx x

u u N"

M'

N"

N' tg

2 12

12 2

x

u x

u

∂

∂ +

∂

= +

=

Ta xét biến dạng trong các mặt phẳng còn lại theo cách tương tự Các kết quả (a)-(g)

được sử dụng cho hai trường hợp sau bằng cách hoán vị vòng tròn các chỉ số theo thứ tự

1, 2, 3 Ta nhận được quan hệ giữa các chuyển vị và biến dạng như sau:

2

2 22 1

1 11

u x

u 2

1

ε

; x

u x

u 2

1

ε

; x

u x

u 2

2

3

2 23

1

2

1 12

x

u x

2 Ax x

u =

2 1

3 Ax x

u =

trong các mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ tại điểm M (2, 1, 1)

Giải:

Theo công thức (2.6):

Trang 36

x u

- Biến dạng góc:

2

1 1

2 12

x

u x

u

= +

=

∂

∂ +

∂

= ε

= γ

3

2 2

3 23

x

u x

u

= +

=

∂

∂ +

∂

= ε

= γ

1

3 3

1 31

x

u x

u

= +

=

∂

∂ +

∂

= ε

= γ

2

12 12

2

23

23 = γ =ε

2

31 31

2.3 TENSOR BIẾN DẠNG

2.3.1 Biến dạng theo phương bất kỳ Tensor biến dạng

Xét biến dạng của vi phân chiều dài ds = MN theo phương ν bất kỳ nào đó, có

cosin chỉ phương trong hệ trục tọa độ x i là n i như trên H.2.4

Tọa độ của hai điểm M, N ở trạng thái ban đầu: M(x i), N(x i+dx i)

Ở trạng thái biến dạng: M và N có vị trí mới M’ (x + i du i) và N’ (x i +dx i +u i +du i)

Biến dạng dài tỷ đối theo phương ν bất kỳ:

1''

ds ds

νν

εhoặc:

Hình 2.4

x3

x2

x1 M

Nds

Trang 37

2

)1(

ds

=+ενν

Ta có phương trình:

2

2 2

Suy ra

2

2 2

3

2 2

2 1

k

i

k dx dx x

x x

x ds

Từ đó ta tìm được bình phương khoảng cách ds:

j i ij j i

' k

' k 2

x x

x x ds

vậy, ở phần 1.7, ta đã biết, đạo hàm của vector là tensor bậc hai nếu i vẫn là chỉ số tự do

Các thành phần của tensor biến dạng được ký hiệu như sau:

2 3 33

2 2 22

2 1

- 3 biến dạng dài (i=j) theo ba phương trục tọa độ

Trang 38

2.3.2 Biểu diễn tensor biến dạng theo trường chuyển vị

k

i

k x

u x

gọi là gradient của chuyển vị Đưa đạo hàm riêng của x’k ở (a) vào

(2.10), ta thu được biểu thức thành phần của tensor biến dạng hữu hạn Lagrange:

∂

∂+

x

u x

u

2

1

Sáu phương trình (2.13) còn gọi là quan hệ biến dạng- chuyển vị

2.3.3 Tính chất tensor của biến dạng

Ta xem xét sự thay đổi của các thành phần biến dạng khi biến đổi hệ trục tọa độ Giả sử

hệ trục ban đầu x i xoay đi và trở thành hệ trục mới '

i

x với các cosin chỉ phươnga ij

ij

ε Trong cả hai hệ tọa độ, biến dạng dài εvvcó giá trị không đổi:

l k kl j i ij

' l i ik

ij a a ε

Hay biểu diễn n i qua các thành phần n ltrong hệ tọa độ mới:

' l jl j

' k ik

i a n n a n

Thay (c) vào (a), ta thu được:

ij jl ik

hai, gọi là tensor biến dạng T Tensor này được biểu diễn dưới dạng ma trận:ε

Trang 39

32 22

12

31 21

11

33 32 31

13 22 12

31 21 11

2

12

1

εγγ

γε

γ

γγ

ε

εεε

Căn cứ vào quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị (2.13), ta thấy tensor biến dạng là một

tensor đối xứng

2.3.4 Lý thuyết biến dạng nhỏ Tensor biến dạng bé

Điều kiện cơ bản của lý thuyết biến dạng nhỏ là gradient chuyển vị phải nhỏ hơn

nhiều so với đơn vị:

biến dạng vô cùng nhỏ Lagrange theo công thức Cauchy (2.7) ở phần trên:

x

u x

u

2

1

ε

và dạng khai triển theo tọa độ đề các (2.6)

Với mức độ chính xác vừa đủ, ta có thể sử dụng lý thuyết biến dạng nhỏ, nếu thỏa mãn

điều kiện:

- sự thay đổi chiều dài rất nhỏ

- góc quay rất bé

Điều kiện đầu thường được thỏa mãn đối với các vật liệu xây dựng như thép, gỗ, đá, bê

tông,… song cũng có trường hợp ngoại lệ (chẳng hạn cao su)

Điều kiện sau thỏa mãn đối với các vật thể hình khối lớn nhưng khó thỏa đối với vật thể

mỏng (thanh, dầm, vỏ…)

LTĐH tuyến tính dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng nhỏ

2.4 TENSOR QUAY

Xét sự thay đổi phương của các đường chéo phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ gọi là

các chuyển động quay Có ba mặt phẳng tọa độ nên ta có ba chuyển động quay

Xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng x1, x2 như trên H.2.5

Trang 40

đường chéo MQ trong mặt phẳng này sẽ là tổng đại số của hai góc quay có chiều ngược

nhau quanh trục x3:

3 2

1 1

2 21

2

1 2

u x

u

β α

2 2

3 32

3 3

1 13

x

u x

0

23 31

23 12

31 12

ω ω

Đây là một tensor hạng hai phản xứng nên chỉ có ba thành phần độc lập khác không

Ta có thể biểu diễn gradient biến dạng bằng tổng thành phần tensor biến dạng và tensor

quay:

ij ij j

i x

Số hạng thứ nhất là thành phần tensor đối xứng, biểu diễn biến dạng thuần túy (không

Có thể biểu diễn chuyển vị quay vô cùng bé này bằng vector tuyến tính Lagrange, tương

ứng với các góc quay cứng ω1, ω2, ω3 (Xem phần 2.2):

( k j j k)

ijk i

kj ijk i

u

41

,2

ω ε ω

Khi chỉ có chuyển vị mà không có biến dạng và góc quay là hằng số, vật thể chuyển

động như một cố thể Thành phần đề các của vector chuyển vị cố thể có dạng:

k j ijk i

i C ε β x

trong đó: C i , βj là hằng số tùy ý

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	4,34 MB