Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để giải bài toán khung phẳng

Đây là bài tập lớn môn phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung gồm có: 1. Cơ sở lý thuyết cho bài toán khung phẳng. 2. Các bước tính toán cho một khung phẳng cụ thể: Rời rạc hóa khung Thiết lập các phương trình trong hệ tọa độ địa phương Lắp ghép Khử điều kiện biên để tìm các chuyển vị Xác định phản lực, nội lực, ứng suất Xác định tần số dao động và mode dao động 3.Kết quả tính toán

- Tính tần số dao động và véc tơ mode của hệ

II Cơ sở lý thuyết:

Các phần tử khung phẳng được thiết kế nhằm chống lại biến dạng uốn và biến dạng dọc trục Như vậy, sự tổ hợp của phần tử dầm và phần tử thanh biến dạng dọc trục có thể được sử dụng để phân tích bài toán khung phẳng mà ở đó người ta giả sử rằng: các ảnh hưởng chống uốn và biến dạng dọc trục là độc lập với nhau Tuy nhiên, giả thuyết này chỉ đúng trong khuôn khổ lý thuyết chuyển vị bé

tử sẽ là:

2 2

3 4 5

2 6

địa phương cho mỗi phần tử nhờ quan hệ (2) Từ đó các kết quả trên phần tử có thể tính toán như sau:

Hình 3 - Nội lực trong phần tử khung phẳng

Chuyển vị dọc trục:

1 4

d d

Hình 4 - Phần tử thanh

Cho phần tử thanh có hai nút như hình vẽ 4, chiều dài L = x2 – x1, để đơn giản

ta giả sử tiết diện mặt cắt ngang của thanh là A và nó không đổi suốt chiều dài L Các hàm nội suy:

T V

Trong phần tử khung phẳng mỗi nút có ba bậc tự do và được đánh số như hình

vẽ 7

10 m

5 m

 1  1 1

3 7 8 9

k

d d d d sym

Các ma trận toàn cục sau khi lắp ghép phần tử 1:

4 5 6 13 14 15

k

d d d d d d sym

2 5 5 5

u v

Các ma trận toàn cục sau khi lắp ghép phần tử 2:

7 8 9 10 11 12

u v

Các ma trận toàn cục sau khi lắp ghép phần tử 3:

10 11 12 13 14 15

k

d d d d d d sym

4 5 5 5

u v

Các ma trận toàn cục sau khi lắp ghép phần tử 4:

3) Khử điều kiện biên:

Điều kiện biên chính của bài toán:

Node Dof Giá trị

-1 3

0.6620 0.0004 0.0332 0.6617 0.0368 0.0110 0.6611 0.0004 0.0331 0.0004 0.0012 0.0001 0.0004 0.0008 0.0001 0.0004 0.0000 0.0001 0.0332 0.0001 0.0156 0.0331 0.0371 0.0008 0.0331 0.0001 0.0023 0.6617 0.0004 0.0

Chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương:

0.0014710761 0.0002146931 7.95221 10 2.2663 10

0.0014682204 0.0000236592 3.17303 10 4.64125 10

d v s

0.0007997707 0.0000519555 2.09026 10 5.96834 10 2.146931 10

2 0.0000025083 0 0.0002146931 0 0.0014701242 0 0.0007997707 4 0.0000519555 0 0.0014682204 0 0.0000022536 0 0.0000236592 0

R R R R R R

0.4008 ( )2.1070 ( )

1.5992 ( )1.8930 ( )

Trong đó h là chiều cao của tiết diện

Đối với tiết diện mặt cắt ngang là hình chữ nhật thì ứng suất cắt lớn nhất (tại vị trí trục trung hòa) được tính theo công thức sau:

3 2

Q A

 Giả sử phần tử có tiết diện mặt cắt ngang là: bxd = 0.2x0.2 m2 Vì b = h nên ứng suất cắt trong thực tế lơn hơn công thức tính ở trên 13% Do đó ta viết lại công thức tính ứng suất cắt như sau:

Q

kN m A

0.04

Q

kN m A

- Ứng suất cắt:

2

1.599 1.695 1.695 67.758 ( / )

0.04

Q

kN m A

0.04

Q

kN m A

0.04

Q

kN m A

0.04

Q

kN m A

- Ứng suất cắt:

2

( 1.893) 1.695 1.695 80.216 ( / )

0.04

Q

kN m A

Ma trận khối lượng của hệ khung khi lắp ghép phần tử 1:

Ma trận khối lượng của phần tử 4 trong hệ tọa độ tổng thể:

9) Xác định tần số dao động và véc tơ mode dao động:

Dựa vào hai phương trình (19), (20) ta có thể xác định được tần số dao động và véc tơ mode dao động của hệ

Đây là bài toán trị riêng và véc tơ riêng, sử dụng Matlab ta sẽ tìm được tần số f

và mode dao động Kết quả xem ở phần IV

nel=4; % number of elements

nnel=2; % number of nodes per element

ndof=3; % number of dofs per node

nnode=5; % total number of nodes in system

sdof=nnode*ndof; % total system dofs

% -el=2.1*10^11; % elastic modulus

area=0.04; % cross-sectional area

xi=0.0004; % moment of inertia of cross-section

rho=7800; % mass density per volume (dummy value for static analysis)

% -% applied constraints

% -bcdof(1)=1; % transverse deflection at node 1 is constrained

bcval(1)=0; % whose described value is 0

bcdof(2)=2; % axial displacement at node 1 is constrained

bcval(2)=0; % whose described value is 0

bcdof(3)=3; % slope at node 1 is constrained

bcval(3)=0; % whose described value is 0

bcdof(4)=4; % transverse deflection at node 1 is constrained

bcval(4)=0; % whose described value is 0

bcdof(5)=5; % axial displacement at node 1 is constrained

bcval(5)=0; % whose described value is 0

bcdof(6)=6; % slope at node 1 is constrained

bcval(6)=0; % whose described value is 0

index=zeros(nel*ndof,1); % initialization of index vector

% -% Load applied

% -ff(7)=2000; % load applied at node 3 in the x direction

ff(11)=-4000; % load applied at node 4 in the y direction

% -End

Pre-processing -%% loop for elements

% -for iel=1:nel % loop for the total number of elements

nd(1)=nodes(iel,1); % 1st connected node for the (iel)-th element

nd(2)=nodes(iel,2); % 2nd connected node for the (iel)-th element

x1=gcoord(nd(1),1); y1=gcoord(nd(1),2); % coordinate of 1st node

x2=gcoord(nd(2),1); y2=gcoord(nd(2),2); % coordinate of 2nd node

leng=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); % element length

if iel==3 && iel==4

el=2.1*10^11; % elastic modulus

area=0.04; % cross-sectional area

xi=2*0.0004; % moment of inertia of cross-section

rho=7800; % mass density per volume (dummy value for static analysis)

else

el=2.1*10^11; % elastic modulus

area=0.04; % cross-sectional area

xi=0.0004; % moment of inertia of cross-section

rho=7800; % mass density per volume (dummy value for static analysis)

end

index=Feeldofkhung(iel,nd,nnel,ndof); % extract system dofs for the element

leng=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); % length of element 'iel'

if (x2-x1)==0; % compute the angle between the local and global axes

% -[kk,mm,ff]=feaplycskhung(kk,mm,ff,bcdof,bcval); % apply the boundary conditions

%% Static analysis

fsol=kk\ff; % solve the matrix equation and print

% print both exact and fem solutions

axis([-1 11 -1 11]); axis equal; zoom on

% print natural frequency

IV Kết quả tính toán:

Chuyển vị nút trong hệ toàn cục:

4 5 10 0.0014701242 -0.0007997707 -0.0000519555 (4) 4 5 10 0.0014701242 -0.0007997707 -0.0000519555

5 15 10 0.0014682204 -0.0000022536 0.0000236592 Nội lực tại các nút:

Phần tử Tọa độ x Tọa độ y Lực dọc (kN) Mômen (kNm) Lực cắt (kN)