Bài tập lớn môn động lực học kết cấu công trình

Đây là bài tập lớn môn động lực học kết cấu công trình dành cho học viên cao học xây dựng. Nội dung của bài tập này xoay quanh các vấn đề của chương hệ một bậc tự do. đó là: Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do. Giải hệ phương trình vi phân của hệ một bậc tự do dùng phương pháp giải tích. Giải phương trình vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do dùng phương pháp số: phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp xấp xỉ lực kích thích, phương pháp Newmark

Câu 1:

Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ 1:

Hình vẽ 1.

Với các số liệu sau: k1 = 220 N/m ; k2 = 260 N/m ; c1 = 50 N.s/m ; c2 = 60 N.s/m ;

m = 850 N.s2/m ; p(t) = 14sin(2.3t) N

1) Dùng nguyên lý D’Alembert thiết lập phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m:

Các lực tác dụng lên hệ đã cho được biểu diễn như hình vẽ 2

Hình vẽ 2.

Trong hình vẽ 2:

+ f S ku là lực đàn hồi

+ f D  cu là lực cản

+ f I  mu là lực quán tính

Cân bằng lực theo phương ngang ta được:

td td

Vậy phương trình (1.1) là phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m, trong

đó ctd = c1 + c2 và ktd = k1 + k2

2) Tính tần số tự nhiên n và chu kỳ tự nhiên Tn của hệ:

Ta có:

1 2

n

220 260

0.7515 (rad/ s) 850

0.7515

td n

n

s





3) Xác định phương trình chuyển động u(t) của khối lượng m Vẽ trên cùng một hệ trục,

đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t; và đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa trạng thái ổn định của chuyển vị và thời gian t; sau đó rút ra nhận xét: a) Xác định phương trình chuyển động u(t) của khối lượng m:

Để xác định u(t) thì ta phải đi giải phương trình vi phân (1.1) do lực kích thích điều hòa p(t) = p0sin(t):

0

td td

mu c u k  p t

Với điều kiện ban đầu như sau:

+ Chuyển vị ban đầu: u t  ( 0) 0

+ Vận tốc ban đầu: u t  ( 0) 0

Phương trình vi phân (1.2) có nghiệm tổng quát như sau:

u(t) = uh(t) + up(t)

Với uh(t) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: muhc u td h k td uh 0

Và up(t) là nghiệm riêng của phương trình: mupc u tdp k td up p0 sin( )t

 Giải phương trình thuần nhất:

2

h td h td h

td

c

Giải phương trình đặc trưng:

n

c

Ta có:

850

td

n

c



 Đây là trường hợp cản ít

i

Nghiệm của phương trình đặc trưng:

2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

n t



 Giải phương trình không thuần nhất:

0

0

p td p td p

p

m





Nghiệm riêng của phương trình (1.2b) có dạng: u t p( )Csin( )t Dcos( )t , ta lấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai theo t ta được:

p p





Thay u u u p, ,p p

vào phương trình (1.2b) và dùng phương pháp đồng nhất thức ta được:

2 0

2

2

2

0.0035

n

p

k

x

 







0

2

2

0.00022

n

p

k

x

  







50 60

0.0861

td

n

c

m







1 0.7515 1 0.0861 0.749

 Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2):



Lấy đạo hàm u theo t ta được:



Thay điều kiện chuyển vị và vận tốc tại t = 0 bằng không vào hai phương trình trên ta được:

0.00022

0.0861*0.7515*0.00022 0.0035*2.3

0.011 0.749

n

D

A C



2 2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.2):

0.065

b) Vẽ đồ thị:

Trạng thái quá độ và trạng thái ổn định:

0.065

Trạng thái quá độ:

0.065

Trạng thái ổn định:

( ) 0.0035sin(2.3 ) 0.00022cos(2.3 )

Hình 3.

c) Nhận xét đồ thị:

Dựa vào đồ thị ta thấy rằng đường đồ thị u(t) sau một khoảng thời gian sẽ trùng với đường đồ thị v(t), tức là trang thái quá độ w(t) sẽ dần tiến về không (tắt dần)

Câu 2:

Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ 4:

Hình vẽ 4.

Tính tần số góc tự nhiên n(rad/s)?

Biết: 2.3x107 kN/m2 ; I = 550 cm4 ; L = 4.4 m ; k = 1400 N/m ; m = 130 kg

Tần số góc tự nhiên n được xác định theo công thức sau:  n k m/

Trong đó k, m lần lượt là độ cứng và khối lượng của hệ

Muốn tìm k ta phải xác định chuyển vị u của hệ Chuyển vị u của hệ gồm có chuyển vị của dầm và chuyển vị của lò xo

 Xác định chuyển vị của dầm:

Chuyển vị của dầm được xác định theo sơ đồ hình 5:

Hình 5.

Biểu đồ mômen của sơ đồ hình 5 và biểu đồ mômen do tải trọng đơn vị gây ra như hình sau:

pL/8 pL/8

pL/8 L/2

Hình 6.

Nhân hai biểu đồ trên ta được chuyển vị của dầm do p(t) gây ra:

3

d

 Xác định chuyển vị của lò xo:

Chuyển vị của lò xo được xác định theo công thức sau: u lx p k/ lx

 Chuyển vị của hệ:

3

192

d lx

lx

Ta có: kup

3

1 1

1

1393.1594( / )

k

u

N m





Vậy tần số góc tự nhiên n có giá trị như sau:

1393.1594

130

n

k

rad s m

Câu 3:

Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ 7:

Hình 7.

Với các số liệu sau: E = 3x107 kN/m2 ; Ic = 14000 cm4 ; H = 4.3 m ; m = 6 tấn ;

 = 6% ; p(t) = 630cos(13t) kN

a) Xác định phương trình chuyển động u(t) của khối lượng m, biết chuyển vị ban đầu

( ) 0

u t  và vận tốc ban đầu u t ( ) 0 Sau đó vẽ đồ thị thể hiện quan hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t:

Các lực tác dụng lên hệ được biểu diễn như hình vẽ 8:

Hình 8.

Chiếu tất cả các lực lên phương nằm ngang ta được:

0

0

( ) ( ) ( )

p

p

m





Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

2

u   u  u  a

Giải phương trình đặc trưng: s2 2n sn2 0

Ta có:  (2n)2 4n2 (2*0.06*14.5362)2 4*14.53622 842.162 0

Với

4.3 *6

c n

EI k

rad s





Vì  < 0 nên đây là trường hợp cản ít

Ta viết lại  như sau:

4n2 4 2 n2 i2 4n21 2

    

Nghiệm của phương trình đặc trưng:

2

; với D n 1 2

 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

n t



 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:

p

m

Nghiệm riêng của phương trình (3.1b) có dạng:

( ) sin( ) cos( )

p

u t C t D t

Lấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai của phương trình up(t) theo t ta được:

p p





Thay vào phương trình (3.1b) và sử dụng phương pháp đồng nhất thức hai vế phương trình ta được:

0

0

n n

x y

C

D



 Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1):



Lấy đạo hàm bậc nhất của u(t) theo t ta được:



Thay điều kiện thời gian và vận tốc vận tốc ban đầu bằng không vào ta được:

2

1.928

1.034*13 0.06*14.5362*1.928

1.042 14.5362 1 0.06

n D





Vậy phương trình chuyển động u(t) của khối lượng m có dạng như sau:

0.8722

 Đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t:

Hình 9.

b) Dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích để vẽ đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t:

Tóm tắt phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích:

 Bước 1: Tính các giá trị

Chọn t

2

2

2

2

1 1 sin

1

n

n

n

n

t

t

D D

t

t

















 

 

 

 



2

2

2

1

1

1

1

n

n

n

n

D

t

t

k t























 

 

 

 





 Bước 2: Tính giá trị tại bước i



 Bước 3: Lập lại bước 2 với giá trị i = i + 1

Biểu đồ của chuyển vị u(t) theo phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích:

Hình 10.

c) Dùng phương pháp sai phân trung tâm để vẽ đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển

vị u(t) và thời gian t:

Tóm tắt phương pháp sai phân trung tâm:

 Bước 1: Tính các giá trị

Chọn trước giá trị t sao cho đảm bảo điều kiện ổn định của bài toán:

1

n

t





0

2

2

2

2

( ) 2 ˆ

2 ( )

u

m

t

k

a

m

b k

t







 

 

 







 Bước 2: Tính các giá trị tại bước i

1

1

ˆ ˆ ˆ

i i

p u k







Hình 11.

d) Dùng phương pháp Newmark với  = 1/2 và  = 1/4 để vẽ đồ thị thể hiện mối quan

hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t:

Tóm tắt phương pháp Newmark:

 Bước 1: Tính các giá trị

Chọn trước giá trị t sao cho đảm bảo điều kiện ổn định của bài toán:

n

t







0

2

ˆ

( )

1

u

m

k k

a t m









 







 Bước 2: Tính các giá trị tại bước i

ˆ ˆ ˆ

1 2

i i

p u k

t

   



 

 

 Bước 3: Lặp lại bước 2 với i = i+1

Biểu đồ chuyển vị u(t) theo phương pháp Newmark:

Hình 12.

e) So sánh đồ thị và rút ra nhận xét giữa phương pháp giải tích và phương pháp số:

- Chuyển vị u(t) được xác định theo phương pháp số (phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích, phương pháp sai phân trung tâm và phương pháp Newmark) cho ta kết quả gần đúng so với chuyển vị u(t) được xác định theo phương pháp giải tích Đặc biệt, khi ta chia bước thời gian t càng nhỏ thì độ chính xác càng cao

- Đánh giá mức độ sai số của các phương pháp số:

Dựa vào đồ thị ta thấy rằng trong ba phương pháp số thì phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực cho ta sai số thấp nhất so với phương pháp giải tích Rồi đến phương pháp sai phân trung tâm, và cuối cùng là phương pháp Newmark

Cho hệ một bậc tự do như hình 13:

Hình 13.

Hệ có chu kỳ riêng Tn = 0.6 (s) và tỉ số cản  = 5%, chịu tác động của chuyển động nền

có gia tốc:u tg( ) 20sin15 ( t cm s/ )2

Biết chuyển vị ban đầu và gia tốc ban đầu:

( ) 0 , ( ) 0

u t  u t 

a) Vẽ trên cùng một đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t Trong

đó chuyển vị được xác định bằng phương pháp giải tích và phương pháp Newmark với 1/ 2 , 1/ 6 :

 Xác định phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m:

2

2

0

2

g

g

g

Phương trình (4.1) là phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m

 Giải phương trình vi phân (4.1):

Nghiệm tổng quát của phương trình (4.1): u t  u t h   u t p .

Trong đó: uh(t) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

up(t) là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Nghiệm riêng của phương trình (4.1) có dạng: u t p( )Csint D cost

Ta tiến hành đạo hàm cấp 1, cấp 2 hàm up theo t sau đó thế vào phương trình (4.1) và

sử dụng phương pháp đồng nhất thức hai vế phương trình ta tìm được C, D như sau:

0

( 20)*( 115.337)

0.1702

( 20)*15.708

0.0232

p x C

p y D



Với:

10.472 0.6

n n

n n

x

T

 



Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: u t p( ) 0.1702sin15 t0.0232 cos15t

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: u t h( ) e n tAcos( D t) Bsin( D t)



Nghiệm tổng quát của phương trình (4.1) có dạng:

p

t

D



Lấy đạo hàm cấp 1 của u(t) theo t ta được:



Ta thay điều kiện chuyển vị và vận tốc ban đầu bằng không vào phương trình trên ta được:

0.0232

0.1702*15 0.05*10.472*0.0232

0.245 10.459

n D



Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4.1) là:

  e 0.5236t0.0232 cos(10.459 ) 0.245sin(10.459 )t t  0.1702sin(15 ) 0.0232cos(15 )t t

 Vẽ đồ thị:

Hình 14.

b) Giả sử u tg( )

là gia tốc nền của một trận động đất El Centro xảy ra năm 1940 Dữ liệu của gia tốc nền được cho ở file El.Centro Trong đó, cột đầu tiên là thời gian, cột thứ hai là gia tốc nền tương ứng có đơn vị m/s2:

 Vẽ trên cùng một đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị u(t) và thời gian t Trong đó chuyển vị được xác định theo phương pháp số gia tốc trung bình (Phương pháp Newmark 1/ 2 , 1/ 4) và số gia tốc tuyến tính (Phương pháp Newmark với 1/ 2 , 1/ 6):

Xem hình 15

 Vẽ trên cùng một đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị u t( ) và thời gian t Trong đó chuyển vị được xác định theo phương pháp số gia tốc trung bình (Phương pháp Newmark 1/ 2 , 1/ 4) và số gia tốc tuyến tính (Phương pháp Newmark với 1/ 2 , 1/ 6):

Xem hình 16

 Vẽ trên cùng một đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị u t( ) và thời gian t Trong đó chuyển vị được xác định theo phương pháp số gia tốc trung bình (Phương pháp Newmark 1/ 2 , 1/ 4) và số gia tốc tuyến tính (Phương pháp Newmark với 1/ 2 , 1/ 6):

Xem hình 17

Hình 15.

Hình 16.

Hình 17.