LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Để tiện trong việc nghiên cứu người ta chia hiện tượng làm 2 loại: 1.1: Hiện Tượng Không Ngẫu Nhiên: Gồm tất cả những hiện tượng ta có thể đoán chắc được kết cục khi ta tác động vào đó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC

Người Biên Soạn

NGUYỄN VINH QUANG

Y Đà Lạt 2009 Z

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đào Hữu Hồ: Xác suất và thống kê toán – Nhà xuất bản Giáo Dục, 1999

CHƯƠNG I BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

1 Đối Tượng Môn Học

Như ta đã biết mọi hiện tượng trong cuộc sống đều chịu những sự tác động nào đó được gọi là nguyên nhân gây ra Để tiện trong việc nghiên cứu người ta chia hiện tượng làm 2 loại:

1.1: Hiện Tượng Không Ngẫu Nhiên:

Gồm tất cả những hiện tượng ta có thể đoán chắc được kết cục khi ta tác động vào đó bằng những điều kiện giống nhau

Ví dụ:

1.2 Hiện Tượng Ngẫu Nhiên:

Gồm tất cả những hiện tượng ta không thể đoán chắc được kết cục dù ta tác động vào đó bằng những điều kiện giống hệt nhau

Ví dụ:

+ Tung con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất:

Sự xuất hiện số nút xảy ra ở mặt trên

+ Sự xuất hiện sản phẩm đạt hay không đạt chất lượng trong quá kiểm tra chất lượng hàng hoá

Ta có thể nói xác xuất và thống kê toán là ngành toán chuyên nghiên cứu về tất cả những hiện tượng ngẫu nhiên nói trên

2 Những khái niệm:

2.1 Phép thử:

có thể là: một thí nghiệm, một quan sát, một thống kê, một phép chọn, một phép đo đạt, …

2.2 Biến cố:

mỗi một kết cục xảy ra ta gọi là một biến cố xảy ra Kết cục của một phép thử ngẫu nhiên là biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ: Tung 1 đồng xu có hai biến cố sơ cấp ω1 = {S}, { } ω2 = N

1 (S,S), ( ,N), 2 N 3 ( , ),S N 4 ( , )N S

100

biến cố sơ cấp là một tập gồm 10 người

Tập tất cả những biến cố sơ cấp được gọi là không gian các biến cố sơ cấp

Kí hiệu: Ω

3 Quan hệ giữa các biến cố

Cho A, B, C, Ai { }A i i∞=1 là những biến cố trong Ω

3.1 Kéo theo:

3.2 Bằng nhau:

2 biến cố A, B được gọi là bằng nhau

không xảy ra}

=

∈

được A ∈ F ta nói A đo được( A tính xác suất được)

5 Các khái niệm về xác suất:

5.1 Định nghĩa(xác suất theo quan niêm cổ điển)

P(A) =

Chú ý: 1 Mỗi trường hợp là 1 biến cố sơ cấp:

2 Định nghĩa trên đúng khi bài toán thoả: mỗi trường hợp xảy ra phải cùng khả năng, số trường hợp xảy ra phải hữu hạn

+ Ví dụ: Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất tính xác suất sao cho:

a) Có đúng 1 mặt sấp b) Có 2 mặt giống nhau c) Có ít nhất 1 mặt sấp

Ví dụ 3: Xếp ngẫu nhiên n số: 1, n trên n vị trí theo hàng ngang tính xác suất:

a) 3 số đầu luôn đứng trên những vị trí liên tiếp nhau

b) 2 số đầu luôn đứng cách nhau k vị trí (1 ≤ k ≤ n – 2)

a) Gọi A 1 là biến cố xếp 3 số đầu trên 3 vị trí liên tiếp (trên n vị trí)

A2 là biến cố xếp(n – 3) số còn lại trên(n – 3) vị trí còn lại tương ứng

−

b) Gọi A là biến cố xếp 2 số đầu luôn cách nhau k vị trí

B là biến cố xếp n -2 số còn lại

fn Gọi là tần suất để A xảy ra

là:P(A)

Ví dụ:

1) Theo thống kế tỉ lệ người mắc bệnh lao ở vùng A là 5%

Và khi đó(Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất

n n

n i

( i) ( )i

i i

1 1

i i

i i

i i

i i

5.4 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Cho không gian xác suất: (Ω, F, P), A ∈ F : P(A) > 0

36 2 2 36

+ (A, F ∩ A,PA) là không gian xác suất mới

=> PA(B) = 2

5

5.4.1 Công thức nhân xác suất:

Định lý (nhân xác suất): Cho A1,A2, An trên(Ω, F, P) thoả: −

P A A

P(A1.A2) = P(A1) P A A( 2 1), Công thức nhân đúng với n = 2 (*)

Vậy công thức nhân đúng với n + 1 => công thức nhân ∀ n ∈ N

5.4 2 Công thức xác suất toàn phần:

Định lý: Cho A1,A2, ,An trên (Ω, F, P) thoả

P A A

P A A

P A

Lại có: P(A.Ai) = P(A/Ai).P(Ai) (Công thức nhân xác xuất)

a) Gọi A là biến cố toa 1 có 2 người

B là biến cố toa 2 có 3 người

Ví dụ 2: Có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm Cho biết năng

suất phân xưởng 1 gấp đôi phân xưởng 2 và gấp 3 lần phân xưởng 3.Số sản phẩm không đạt chất lượng của các phân xưởng 1,2,3 lần lượt là :2% ,3%, 4% Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ một nhà máy

a) Tính xác suất để sản phẩm được chọn không đạt chất lượng b) Cho biết sản phẩm được chọn không đạt chất lượng Tính xác suất để sản phẩm đó là của phân xưởng 1 sản xuất

5.5.1 Định nghĩa (cho 2 biến cố)

P(A.B) = P(A) P(B)

Ví dụ 1: Có 2 người làm bài thi một cách độc lập.Gọi Ai là biến cố người i

làm được bài Ta có A1, A2 độc lập

Ví dụ 2: Có 2 lô hàng Lô 1 gồm 10 sản phẩm loại 1 và 4 sản phẩm loại 2

Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm ( cùng lúc)

Gọi Ai j ,Bi j lần lượt là các biến cố chọn i sản phẩm loại 1 và j sản phẩm loại 2 từ lô 1, lô 2 Khi đó Ai j , Bi j độc lập ∀ =ij 0, 2

Ví dụ 3: Nếu A1, A2 độc lập thì( A A1, 2), (A A1, 2), ( ,A A1 2) là những cặp biến cố độc lập

Cho A,B trên (Ω ,F ,P) thoả P(A)>0 Khi đó hai mệnh sau tương đương

a) A,B độc lập

b) P(B/A)=P(B)

5.5.2 Định nghĩa (Cho n biến cố n ≥ 2)

Cho A1,A2,….,An trên không gian xác suất (Ω ,fi ,P)

Ta nói A1,A2,…,An độc lập nếu:

Ví dụ : Tung đồng xu (cân đối và đồng chất) n lần độc lập

Tính xác suất sao cho có ít nhất 1 lần mặt sấp xảy ra

Gọi Si là biến cố lần i mặt sấp xảy ra

1 2

1 1 2

n n

CHƯƠNG II BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên): Cho 2 không gian đo được (Ω,F), (R,B) X được

1.1 Mệnh Đề: X:( Ω,F) →(R,B) X là biến ngẫu nhiên ⇔ {X <x}∈ F, ∀x∈R

2 Định nghĩa( Vectơ ngẫu nhiên):X = (X1,X2,… ,Xn): Ω→ n X là vectơ ngẫu nhiên ⇔ X -1(Bn) ⊂ F

2.1 Mệnh đề: (X1,X2,….Xn) là vectơ ngẫu nhiên ⇔ X1, X2,…,Xn là biến ngẫu nhiên

n

Πk(X ) = xk => Πk liên tục =>Πk:Bn đo được

=> Πk 0X đo được => Xk - F đo được k= 1 ,n

ngược lại X1,X2,…Xn biến ngẫu nhiên

Ta có:∀ B∈ Bn => B=B1xB2x……xBn

X -1(B) = X1-1(B) ∩…….∩ Xn-1(Bn)∈ F

=> X -1(Bn) ⊂ F =>X là vectơ ngẫu nhiên

Bài tâp: X : Vectơ ngẫu nhiên n chiều, g: Rn →Rm Borel thì g(X ) là vectơ ngẫu nhiên m chiều (biến)

3 Phân phối xác suất:

3.1 Đinh nghĩa: Cho Q là độ đo xác suất trên (R, B) Ta nói Q là phân phối xác

suất của X (Luật phân phối xác suất của X)

Ký hiệu: PX-1

3.2 Định nghĩa: (Hàm phân phối xác suất) Cho X là biến ngẫu nhiên trên (r, F,

∀x ∈R Fx(x)=P(X<x)

Ta có: Fx(x)=P(X<x)=PX-1(-∞, x)

Fx(b) – Fx(a) = P(X<b) - P(X<a) = PX-1(-∞,b) – PX-1(-∞,a) = PX-1 [a,b ]

Vậy (Luật) phân phối xác suất chính là độ đo L – S ứng với hàm phân phối

3.3 Định nghĩa: (hàm phân phối xác suất): Cho X : là vectơ ngẫu nhiên F X là hàm phân phối của X nếu: F x: Rn→[0,1]

∀ x ∈ Rn: Fx(x) = P(X < x) = P(X1 <x1,….,Xn<xn)

3.4 Đinh lý: Cho Q là độ đo xác suất trên (R,B) thì : Có ít nhất 1 không gian

phối xác suất

Vậy PX-1 = Q

Vậy phân phối xác suất là độ đo xác suất, ngược lại cho 1 độ đo xác suất Q thì Q

là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X nào đó

Tuy nhiên 2 phân phối xác suất bằng nhau không dẫn đến 2 biến ngẫu nhiên bằng nhau

Ví dụ: Ω = {ω 1, ω 2} : P(ω 1) = P(ω 2) = 1

2 X(ω 1) = Y(ω 2) = 1

Nếu F là hàm phân phối xác suất của X thì nó thoả:

i) F(x) không giảm, liên tục trái ∀ x ∈ R

ii) F(-∞) = lim

x→−∞F(x) = 0, F(+∞ ) = 1

P) nhận F làm hàm phân phối xác suất

i) F X không giảm, liên tục trái ∀ x ∈ Rn

ii) F X (+∞,+∞,…,+∞) = 1, F X (-∞, x2,…, xn) = F X (x1, x2, ,- ∞)= 0

phối xác suất

4 Phân loại

4.1 Phân phối rời rạc (1 chiều)

4.1.1 Định nghĩa 1: Cho X trên (Ω, F, P), ta gọi X có phân phối rời(X: biến ngẫu nhiên rời) Nếu hàm phân phối xác suất của nó là hàm bước nhảy(bậc thang)

4.1.2 Định nghĩa 2: {xk}k tập điểm gián đoạn của Fk với bước nhảy tương ứng {pk}k: pk = Fk(xk+) – Fk(xk) = P(X=xk)

Ta nói f(x) là hàm mật độ của X nếu:

Ngược lại cho 1 hàm f thoả i), ii), khi đó iii) xác định hàm phân phối xác

hàm phân phối xác suất)

5 Vài phân phối thường gặp

5.1 Phân phối đều:

nếu

{ } { }

Đặc biệt: x ~ b(1, p): Ta nói X có phân phối Bernoulli

5.3 Phân phối Poisson:

X ~ P(λ), λ > 0 nếu:

{ } { }

0,

! ( )

x e

x x

5.5 Phân phối siêu bội:

X ~ siêu bội(n, n1,k) Nếu:

k n x

6 Phân phối liên tục

6.1 Định nghĩa: (phân phối liên tục 1 chiều)

Ta nói X có phân phối liên tục nếu phân phối xác suất của nó tuyệt đối liên tục

fx

iii) Fx(x) = f (t)dt

x x

−∞∫ Ngược lại cho f thoả i), ii) thì iii) xác định làm hàm phân phối xác suất và do đó

6.3 Một số phân phối liên tục thường gặp:

6.3.1 Phân phối đều:

( ) ( )

1

, ( )

x x

1

σ μ

~ tn : Phân phối Student với n độ tự do

7 Phân phối rời (nhiều chiều) n = 2

7.1 Định nghĩa (n = 2)

Nếu các thành phần tương ứng của nó: X, Y là những biến ngẫu nhiên rời

7.2 Định nghĩa (hàm mật độ xác suất)

{xi , yj }i,j là những điểm tập trung xác suất của X = (X, Y)

Khi đó f(x,y)(xi , yj) = pi,j = P(X = xi , Y = yj) được gọi là hàm mật độ xác suất của

yk

( )0,1

N

2 ( )n

χ

7.3 Mệnh đề: Nếu f(X,Y) là hàm mật độ xác suất của (X, Y) thì nó thoả

i) fX,Y(x,y) ≥ 0 ∀(x,y) ∈ X (Ω)

F(X,Y) làm hàm phân phối xác suất

8 Phân phối liên tục hai chiều

8.1 Định nghĩa : Ta nói X = (X,Y) có phân phối liên tục nếu phân phối xác suất

X = (X,Y) có phân phối chuẩn Nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: N(μ1 , μ2, σ1, σ2,e)

2 2

9.2 Định nghĩa (nhiều biến cố)

A1, A2, … An độc lập nếu ∀{Ak }k=1,m⊂{Ai}i=1,n, m=2,n

Ta có: P(

1

m k k

A

=

∩ ) =

1 ( )

m

k k

Cho (Ω,F, P)., ε, ε’, lớp các tập đo được của f

•a1, a2, là 2 σ đại số con của F a1,a2, độc lập nếu ∀A∈a1,∀B∈a2

• a1, a2 an độc lập ⇔ ∀Ai ∈ ai P(

1

n i i

A

=

∩ ) =

1 ( )

n i i

∀A ∈ σ(a1)

μ’(A) = P(A.B)

ν’ (A) = P(A).P(B)

• Nếu A∈a1 => μ’= ν’ (trên a1)

=>μ’= ν’ trên σ(a1)

=>σ(a1) độc lập σ(a2)

a1, a2, là 2 σ- đại số con của F

ε ={A B: A∈a1, B ∈a2 } thì σ(ε) = σ(a1 ∪ a2)

9.5 Định lý: Nếu các σ - đại số a1, a2, a3 độc lập thì: σ (a1∪a2) độc lập a3

• a1, a2,……an độc lập thì σ(a1 ∪a2) độc lập a3 ….an

σ(a1∪a2∪ ….∪an) độc lập với σ(ak+1∪…∪an)

• {an }n độc lập =>σ(∪k

i i

2 ∀(x,y)∈ R2 F(X,Y)(x,y) = FX(x).FY(y)

3 ∀ (x,y, Y) f(X,Y)(x,y) = fX(x).fY(y)

4 ∀A, B ∈ B: X-1(A) ∈ F, Y-1(B) ∈ F

P(X∈ A, Y∈ B) = P(X∈ A).P(Y∈ B)

Chứng minh:

1=>2 ∀(X,Y) ∈R2 F(X,Y)(x, y) = P(X<x,Y<y)

= P(X-1(-∞,x),Y-1(-∞, y))σ( ), ( )X σ=Y doclap P(X-1(-∞,x)) P(Y-1(-∞, y))

11.1 σ - trường xa vời(σ - Đại số đuôi)

Cho dãy σ - Đại số {Fn}n ∈N

k n

m

k m

k n m

k

k n n n n n

CHƯƠNG III CÁC ĐẶC TRƯNG

Như chúng ta đã biết phân phối xác suất cho ta thông tin khá đủ về biến ngẫu nhiên X Nhưng việc biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là điều kiện lý tưởng Trong thực tế thường ta không biết hoặc không biết đầy đủ về phân phối xác suất của nó Vì vậy ta cần biết một vài đặc trưng của nó, việc biết một vài đặc trưng của X giúp ta có thể hiểu về nó.Các đặc trưng thường được quan tâm: kỳ vọng, momen, phương sai, covariance và median, hệ số tương quan

1.1 Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X trên (Ω,F,P) nếu X∈L1(Ω,F,P) ta nói X

có kỳ vọng(hữu hạn) và kỳ vọng của X được xác định bởi biểu thức

2 Các khái niệm về Moment

k x

x X

x f x

∈∑Ω

2.2 Moment qui tâm bậc k

tâm (qui tâm) bậc k của X và :

1 Nếu E|X|n < ∞ => E|X|k < ∞ ∀k : 1 ≤ k ≤ n

2 Nếu E|X|n < ∞, E|Y|n < ∞ => E|X + Y|n < ∞

3 Nếu EX2 < ∞ => D(X) < ∞, D(X) = EX2 – E(X)2

3.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên phức: X,Y là 2 biến ngẫu nhiên (thực)

=>U = X + iY là biến ngẫu nhiên (phức) nếu X,Y có kỳ vọng U được định nghĩa EU = EX + iEY

3.2 Định nghĩa (độc lập):

U1 = X1 + iY1, U2 = X2 + iY2

U1, U2, độc lập nếu (X1, X2) và (Y1, Y2) độc lập, khi đó E(U1U2)= EU1.EU2 thực vậy : E(U1.U2)= E(X1X2 – Y1Y2) + iE(X1Y2 + X2Y1)

= E(X1+iY1).E(X2 +iY2)

3.3 Định nghĩa(hàm đặc trưng)

itx ( )

, 2

( ).2 2

n

− − Γ

3.5 Định lý: X, Y độc lập => ϕX+Y = ϕX.ϕY

3.6 Định lý:

sau tương đương:

n ϕ t tồn tại ∀t và ϕ(t) = lim n( )

n ϕ t thì ϕ liên tục tại 0

b) Nếu (a) đúng thì ϕ là hàm đặc trưng của F

4 Médian:

2

5.Covariance: (hiệp biến trị(hiệp phương sai))

Cho (X,Y) trên (Ω, F, P) thoả: EX2 < ∞, EY2 < ∞ khi đó Covariance của X và Y được định nhĩa:

COV(X,Y) = E((X – EX)(Y – EY)) =E(X.Y – EX.EY

Hệ quả : X,Y độc lập => COV(X,Y) = 0

6 Hệ số tương quan:

Cho (X,Y) trên (Ω,F,P) thoả:

EX2 < ∞, EY2 < ∞, D(X) > 0, D(Y) > 0 khi đó hệ số tương quan của X và Y định nghĩa:

ρ (X,Y) = 1 ta nói X,Y phụ thuộc (tuyến tính): ∃a b, ∈ :Y=aX+b

7 Các bất đẳng thức:

7.1 Bất đẳng thức(Tchebyshev): Cho X ∈ L0 (Ω,F,p) và g: R→ R+ là hàmBorel,không giảm, không âm: g(x) > 0, Eg(X) tồn tại < ∞ thì

( )

Eg X

g x

Chứng minh: ∀a, b ∈ R, p > 0 ta chứng minh: |a + b|p ≤ Cp(|a|p + |b|p)

Xem f x( ) =x p+ − (1 x )p ∀ ∈x [ ]0,1 hàm f(x) đạt cực tiểu tại 1

ii Ta có: |X + Y|p = |X+ Y|.|X+ Y|p-1 ≤ E|X|.|X + Y|p-1 + E|Y|.|X + Y|p-1

=> E|X + Y|p ≤ E|X|.|X + Y|p-1 + |Y|.|X + Y|p-1

CHƯƠNG IV CÁC LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT

bình p = 1 ta nói Xn ⎯⎯→L1 X hay Xn ⎯⎯n→ X theo trung bình

1 4 Hội tụ theo phân phối(theo phân bố)

1 4.1 X1, X2……… ,Xn và X là các biến ngẫu nhiên rời nhận giá trị trên tập A = { x1, x2,… }

Ta nói Xn ⎯⎯n→X theo phân phối

c Cho biến ngẫu nhiên Xrời được xác định:

limP(Xn = 1) = 1

2 = P(X = -1) vậy Xn hội tụ theo phân phối về X nhưng Xn ⎯⎯P→ X

Mặt khác Xn ⎯⎯p→X ⇔ P(|Xn – X| > ε) = P(|Yn| > ε) ⎯⎯n→0

=>

n

n Y

4 Dãy biến thiên khả tích đều

4.1 Định nghĩa: Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } được gọi là khả tích đều

Nếu ∃ δ >0: Supn E|Xn|1+δ <∞ thì: {Xn } khả tích đều

4.5 Đinh lý: Cho X1, X2, ….∈ L1(Ω, F, P) khi đó ta có:

X dp⎯⎯ → Xdp

L p

Vậy Xn ⎯⎯n→X (theo phân phối)

• Định lý: Cho Xn, X ∼ Fn, F và X suy biến tại a: X(ω) ∀=ωa thì

CHƯƠNG 5 LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

1 Vài dạng yếu luật số lớn:

n i

2.1 Định lý (Luật số lớn dạng mạnh cho dãy biến ngẫu nhiên bị chặn)

n S

n n

n i hcc i

2 1,

1

1 ( axk n| k | ) n k

2 1

n k k

n k k k

k N

ε

σ ε

ε ε

2.7 Định lý 5:

Cho {Xn }n độc lập chung phân phối

2.7.1 Nếu E|X1| < ∞ S n hcc 1

EX n

Z n

n n

a) Tính xác suất sao cho có đúng 50 người mắc bệnh lao

b) Tínha xấp xỉ xác suất bằng định lý giới hạn địa phương

Giả sử: gọi X: số người mắc bệnh lao trong 400 người

Ta có: X ∼ b(400, 0.1)

50 50 400 50 400

n i i n

X np S

X b n p

=

∑ ∼

3.3 Định lý (giới hạn trung tâm)

n k

BÀI TẬP XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN

BÀI 1: 12 sản phẩm được xếp ngẫu nhiên vào 3 hộp Tính xác suất để hộp thứ

nhất có 3 sản phẩm

BÀI 2: Viết 5 con số 1,2, 3,4,5 lên 5 mảng bìa vuông như nhau Chọn ngẫu nhiên

liên tiếp 3 bìa và xếp theo thứ tự trái sang phải tìm xác suất để thu được là số chẵn

BÀI 3: Xếp ngẫu nhiên 8 người lên 10 toa tàu Tính xác suất để:

1 8 người lên cùng toa số 1

2 8 người lên cùng một toa

3 8 người lên 8 toa tàu cố định

4 8 người lên 8 toa khác nhau

BÀI 4: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập (mỗi người bắn một

viên đạn) Xác suất bắn trúng mục tiêu của người thứ1, thứ 2, thứ 3 lần lượt là: 0,9; 0,8; 0,7 tính xác suất để:

1 Có 1 người bắn trúng mục tiêu

2 Có 2 người bắn trúng mục tiêu

3 cả 3 người bắn trúng mục tiêu

4 Có ít nhất 1 người bắn trúng mục tiêu

BÀI 5: 12 hành khách lên tàu điện có 4 toa một cách ngẫu nhiên

1 Tính xác suất để mỗi toa có 3 hành khách

2 Tính xác suất để trong toa 1 có 6 hành khách, toa 2 có 4 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa có một hành khách

BÀI 6: 3 người chơi trò tung đồng xu (công bằng) lần lượt từng người tung, ai đến

lượt sẽ được tung đồng xu một lần ai tung được mặt ngửa thì người đó sẽ thắng cuộc và trò chơi kết thúc Hãy chỉ ra rằng trò chơi đó không công bằng

BÀI 7: Cho dãy số tự nhiên 1,2, …,n Chọn ngẫu nhiên từ dãy số đó ra 2 số (cùng

lúc) Tính xác suất để chỉ 1 trong 2 số đó bé hơn một số k, còn số kia lớn hơn một

số k (1<k<n)

BÀI 8: Cho không gian xác suất (Ω, F, P) giả sử P(i) = p ∀i∈ Ω (0<p<1)

BÀI 9: Giả sử có n người ngồi thành một dãy ngang

1 Tính xác suất để 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau

2 Tính xác suất để 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau r người (r<n)