SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 10

Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT.. Bang biến thiênTừ BBT suy ra ∀ ≠a 0

- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( )( có thể

nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng ( )

y g m= là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng

( )

g m

- các nghiệm x x1, , ,2 xn của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm

b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số

* Từ việc lập BBT của hàm số ( )f x trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy

những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số

* Nếu hàm số ( )f x xác định và liên tục trên đoạn [ ]a b thì ta có thể tìm ;GTLN và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn [ ]a b mà tại đó; f x bằng 0 hoặc'( )

c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình

BPT : ( )f x ≥g m( ) thỏa mãn x D∀ ∈ khi và chỉ khi min ( )D f x ≥g m( )

( )f x ≤ g m( ) thỏa mãn x D∀ ∈ khi và chỉ khi max ( ) ( )

phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp

Câu I ( 3 điểm ) Tìm tham số m để PT sau có nghiệm duy nhất:

( )f x là hàm số bậc hai có hệ số a dương nên có bảng biến thiên sau:

α =+

-1

+∞

Với t = − ⇒4 sinx+ 2 sin− 2x = −4, vô nghiệm vì vế trái ≥ − > −1 4

Hưng

Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 1− ≤ ≤m 3

Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra :

Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a)

- Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâm đến ĐK

- Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hết các trường hợp

Câu II : Sau khi đặt t c= osα

- Một số trường hợp không có ĐK của t

- Một số trường hợp cho rằng t∈ −[ 1;1]

Câu III :

a Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều

cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT

b Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có

tìm ĐK nhưng tìm không chính xác

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn phần sau:

- Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn

- Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

- Phương trình lượng giác

- Phương trình , bất phương trình mũ và logarit

PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN

Bài 1 Tìm tham số a để PT: x3−3x2 − =a 0, (1) có ba nghiệm phân biệt trong

đó có đúng một nghiệm bé hơn 1

Giải

PT (1) ⇔ x3−3x2 =a, (1a)

Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x x x 1, ,2 3

sao cho x1< ≤ <1 x2 x3 tức là đường thẳng y a= phải cắt đồ thị hàm số

Bảng biến thiên của hàm số ( )f x

Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là 4− < ≤ −a 2

Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y a= với

đồ thị hàm số y= f x( ) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục

hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm

Bài 2 Biện luận theo a số nghiệm của PT: x− +13 3(x−1)2 + =a 0, (2)

- Nếu a> ⇒0 ( 2a) không có nghiệm t >0 nên ( 2) vô nghiệm

- Nếu a= ⇒0 ( 2a) có một nghiệm t=0 nên ( 2) có một nghiệm x =1

- Nếu a< ⇒0 ( 2a) có một nghiệm t>0 nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt

Hưng

có ba nghiệm phân biệt ∀ ∈ −m ( 4;0)

Giải

Yêu cầu của đề bài tương đương với ∀ ∈ −m ( 4;0) đường thẳng y m= phải cắt

đồ thị hàm số y= f x( )= − +x3 ax2 −4 tại ba điểm phân biệt ⇔

4

0

CD CT

a − sẽ là giá trị cực đại ⇒

3

4

427

- Nếu m>28 hoặc m<27 và m≠23 suy ra PT (4a) có một nghiệm khác

1 nên PT (4) có hai nghiệm phân biệt

PT (4) có ba nghiệm phân biệt

Bài 5 Chứng minh rằng ∀ ≠a 0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất:

2 2

2 2

22

a

x y

y a

Bang biến thiên

Từ BBT suy ra ∀ ≠a 0 đường thẳng y a= 2 luôn cắt đồ thị hàm số y= f x( ) tại đúng một điểm có hoành độ dương suy ra hệ PT đã cho có đúng một nghiệm

Nhận xét:

- Khi giải hệ PT đố xứng loại hai có dạng như hệ PT (1) và (2) nói trên cách giải truyền thống là lấy các PT trừ cho nhau để tính một ẩn theo ẩn còn lại sau đó thế lại một trong hai PT đã cho

- Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhân xét được tính chất

x> y>

- Sau khi biến đổi về PT (*) là PT bậc ba nên nếu không sử dụng đạo hàm

để khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn

Bài 6 Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm

1 27

−

Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham

số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toán tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số

y y y y

3

a a a

Hưng

Vậy ĐK phải tìm là a= −3

Nhận xét:

Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử y ≤ ∀ ∈ −1, x [ 1;1] chỉ có thể suy

ra điều kiện của a , có thể là một khoảng nào đó nhưng sẽ rúp ta dễ dàng tìm

được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại

Bài 8 Chứng minh rằng BPT : qx4 + px3 + ≥1 0,(8) thỏa mãn x∀

a) Trong lời giải bài toán trên cần lưu ý:

( )( )( )

Các trường hợp còn lại ( chẳng hạn z y x≥ ≥ ) tương tự đều suy x y z= =

Từ x y z= = thế vào một trong ba PT đã cho

BPT (11) thỏa mãn x∀ khi và chỉ khi BPT (11a) thỏa mãn x∀ ⇔max ( )f x ≤m

x x

Trong đề bài trên bậc của tham số m bằng nhau nên ta có thể nhóm m làm

thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số

Bài 12 Tìm tham số m để BPT m x2 4 −2x2 + ≥m 0, (12) thỏa mãn x∀

1min ( )f t m

Hưng

Nhận xét:

Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do

đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số Tuy nhiên tôi vẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lập được tham số

Bài 13 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT

m m

−∞

3 2

−

−∞

+∞

72

Hưng

- Nếu

3272

m m

- Mặc dù PT trên là PT bậc bốn đối xứng có thể giải theo cách chia cả hai

vế cho x2 ≠0 sau đó đặt ẩn phụ để quy về PT bậc hai tuy nhiên cách giải

đó khá phức tạp trong PT chứa tham số, đặc biệt là liên quan đến số nghiệm

- Với cách giải ứng dụng đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng hơn thế còn có thể so sánh nghiệm của PT đó với các số cho trước

Bài tập tương tự

1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm duy nhất: x3+ax2 − =4 0

2 Biện luận theo m số nghiệm của PT x2 + −(3 m x) + −3 2m=0 so sánh các nghiệm đó với các số -3 và -1

3 Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt:

Hưng

9 Giải hệ PT:

2 2 2 2 2 2

4

1 44

1 44

1 4

x

y x y

z y z

x z



Hướng dẫn : Từ hệ PT suy ra , ,x y z là các số không âm

Xét hàm số

2 2

4( )

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Bài 1 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x+ =3 m x2 +1 (1)

−+

11

Hưng

101

m m

- Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng

- Bài toán trên còn có thể được phát biểu theo cách tìm miền giá trị của hàm số ( )f x

Bài 2 Tìm tham số m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt :

Sau khi biến đổi PT (2) về PT (2a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách so

92

Hưng

Từ BBT suy ra ∀ >m 0 PT (3b) có đúng một nghiệm x>2 ⇒ PT (3) có đúng hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

Sau khi tìm được ĐK x≥2 việc khảo sát hàm số ( )f x ở trên là rất dễ dàng

chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số ( )f x

Bài 4 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT:

- Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm ĐK của u là không thể bỏ qua

và không được làm sai Việc tìm ĐK của u như trên thực chất là việc tìm

tập giá trị của hàm số ( )f x trên tập xác định của PT đã cho.

Bài 6 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

m( 1+x2 − 1−x2 + =2) 2 1−x4 + 1+x2 − 1−x2 , (6)

Giải ĐK : 1− ≤ ≤x 1

u u m

Lời giải của bài tập 6 và 5 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của

ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổi kéo theo nên cần phải thấy rõ tập gía trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (6)

Bài 7 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

3 x+ +1 m x+ =1 24 x2 −1, (7)

Giải

ĐK: x≥1, khi đó x+ >1 0 và PT (7)

2 4

(1) 0;g = xlim ( ) 1→+∞g x = Như vậy ∀ ≥ ⇒x 1 t∈[0;1)

PT đã cho trở thành: −3t2+ =2t m, (7a) với ĐK t∈[0;1)

PT (7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm t∈[0;1)

Trong lời giải trên việc tìm ĐK của t và việc khảo sát hàm số ( ) f t không

nhất thiết phải sử dụng đạo hàm nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lời giải tự nhiên và dễ dàng hơn

Bài 8 Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm:

Ta thấy BPT (8) có nghiệm ⇔BPT (8a) có nghiệm t≥0 [max f t0; ) ( ) m

Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc

so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp

Vậy hệ đã cho có nghiệm ⇔ BPT (3) có nhiệm u∈[ ]2;3 ⇔min ( )[ ]2;3 f u ≤m

Hàm số ( )f u xác định và liên tục trên đoạn [ ]2;3

Hưng

1 2

6 Tìm tham số a để BPT: a 2x2 + < +7 x a nghiệm đúng với mọi x

PHẦN III : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1 tìm tham số m để PT m c os 22 x−4sin x cosx m+ − =2 0, (1)

có nghiệm 0;

4

x  π 

∈ ÷ khi và chỉ khi PT (1a) có nghiệm t∈(0;1) tức là

đường thẳng y m= phải cắt đồ thị hàm số ( )f t trên khoảng ( )0;1

và 1 nhưng khá phức tạp và phải xét nhiều khả năng có thể xảy ra

Bài 2 Tìm tham số m để PT: cos2x mc= os2x 1 t anx+ , (2)

1 t anxos

- Cần để ý sự liên hệ giữa cos2 ,x cos2x và t anx

- Việc tìm ĐK của u có thể thực hiện theo cách khảo sát hàm số

Bài 3 Tìm tham số a để PT sau có nghiệm:

PT (3) ⇔3(1 cot ) 3tan+ 2 x + 2x m+ (t anx cotx) 1 0+ − =

⇔3(tan2x+cot ) 22 x + +m(t anx cotx) 0+ =

⇔3(tan2x+cot )2 x 2 − +4 m(t anx cotx) 0+ = với chú ý t anx.cotx 1 0= >

Đặt u =t nx cotxa + ⇒ =u t nx cotxa + = t anx + cotx

2

u u

Bài 4 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn ĐK: A>B>C Tìm số nghiệm của PT

x−sinA+ x−sinB = x−sin ,C (4)

+

1.Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

1 cos 1 os2 1 os3

PHẦN IV : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bài 1 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm duy nhất: log( ) 2,

- có thể phát biểu đề bài theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số m số

nghiệm của PT đã cho

- Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (1) trở thành PT (1a) với ĐK x> −1

- Đề bài có thể phát biểu tương tự thay PT là BPT

- Lưu ý phải tìm ĐK chính xác của ẩn phụ, học sinh thường làm sai bước này và sai theo nhiều kiểu khac nhau

,1

t t m

Lưu ý với mỗi số t>0 PT t=4x chỉ có một nghiệm ẩn x

PT (3) có hai nghiệm trái dấu ⇔ PT (3a) có hai nghiệm t t sao cho 1, 2

0< < <t 1 t tức là đường thẳng y m= phải cắt đồ thị hàm số

Hưng

2 2

thuộc khoảng ( )0;1 và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng (1;+∞)

Hàm số

2 2

số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính

Bài 4 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT:

x x

-1

55100

−

34

−

-3

− trên nửa khoảng [1;+∞)

BPT (6) nghiệm đúng x D∀ ∈ ⇔BPT (6a) nghiệm đúng ∀ ≥ ⇔t 1 [min ( )1;+∞) f t ≥m

có nghiệm thuộc khoảng [32;+∞)

7 Tìm tham số m để BPT: (m−1).4x +2x+1+ + >m 1 0 thỏa mãn với mọi x

Với đề kiểm tra như sau:

Câu I ( 2,5 điểm ) Tìm ĐK của m để PT sau có sáu nghiệm phân biệt:

là đường thẳng y=log2m phải cắt đồ thị hàm số y= f t( )= −t3 6t2 +9t tại ba điểm phân biệt trên khoảng (0;+∞)

Câu II: ĐK 1

2

x> ; PT đã cho tương đương với PT: