Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số

của đồ thi hàm số1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí do chọn đề tài Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong

của đồ thi hàm số

1.MỞ ĐẦU

1.1.Lí do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn

luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế Vì vậy việc dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào cuộc sống Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thức toán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra trong học tập và sau này

Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn công cụ và phương pháp phù hợp

để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng Chọn được công cụ thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu Để có bài giảng thu hút được được học trò, giúp học trò phát triển được tư duy và dẫn dắt học trò tới niềm say mê sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề khác luôn trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán

Bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử THPTQG của bộ gần đây.Vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên Bên cạnh đó nó cũng là bài toán khó đối với nhiều đối đối tượng học sinh đặc biệt là các em có năng lực trung bình và yếu Bởi phần nhiều học sinh rất mông lung, mơ hồ không nắm được bản chất của giới hạn tại vô cực và giới hạn trái, giới hạn phải tại một điểm Điều này đã gây cho học sinh nhiều khó khăn khi tiếp cận Băn khoăn trước những khó khăn của học sinh tôi đã quyết định tìm tòi nghiên cứu để làm sao giúp các em lấy điểm trọn vẹn các câu có nội dung liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số trong kỳ thi

THPTQG lần này Chính vì vậy tôi đã trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số’’

1.2.Mục đích nghiên cứu:

- Giúp cho bản thân trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục vụ

cho công tác giảng dạy

của đồ thi hàm số

- Tạo cho học sinh có năng lực khá, trung bình hoặc yêu phát triển khả năng tư duy phân tích, tổng hợp, qui lạ về quen, đưa ra cách giải quyết vấn đề một cách nhanh và hiệu quả phù hợp vời yêu cầu, luyện kỹ năng cần thiết để làm bài thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPTQG

1.3.Đối tượng nghiên cứu:

Để học sinh giải quyết tốt các bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số trong kỳ thi THPTQG sắp tới nên tôi đã nghiên cứu một lớp các bài toán xoay quanh vấn đề về tiệm cận ở chương trình giải tích lớp 12

1.4.Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết về công thức tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trong chương trình SGK giải tích lớp 12

- Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực của người học

- Nghiên cứu thực tế giảng dạy

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

2.1.1 Các kiến thức cơ sở

a.Đường tiệm cân đứng của đồ thị hàm số: y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) lim ( ) 0

x f x y

 

x f x y

   

b Đường tiệm cân ngang của đồ thị hàm số:

x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn xlim ( )x0 f x

  ; xlim ( )x0 f x

, xlim ( )x0 f x

 ,

0

lim ( )

x x f x





 

c.Nhận xét: +Tiệm cận ngang là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox

+ Tiệm cận đứng là đường thẳng song song hoặc trùng với Oy

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

2.2.1 Đối với giáo viên :

Trong quá trình dạy toán ở Trường THPT với đối tượng HS lớp tôi phụ trách phần lớn các em có học lực trung bình, cho nên làm thế nào để trong quá trình

của đồ thi hàm số

giảng dạy học sinh từ hiểu biết đi đến yêu thích bộ môn, nắm vững kiến thức và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập là điều tôi luôn trăn trở

Với lượng kiến thức giảng dạy chính khóa, giáo viên không có đủ thời gian để đưa ra những bài tập nhằm phát triển khả năng tư duy cho học sinh, hoặc nếu có cũng chỉ là ở những tiết ôn tập chương, tuy nhiên số lượng cũng rất ít và chỉ lướt nhanh qua một hoặc hai ví dụ

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận ra rằng nếu chỉ dạy học sinh đơn thuần kiến thức theo sách giáo khoa thì chưa thể đáp ứng được yêu cầu của đề thi THPTQG Đặc biệt môn Toán lại là môn thi trắc nghiệm, thời gian làm bài 90 phút

mà tới 50 câu trắc nghiệm, do đó để giúp học sinh nắm vững kiến thức, xử lí nhanh và đúng các câu hỏi trong đề thi trong quá trình giảng dạy tôi thường xuyên nghiên cứu kĩ chương trình từng khối lớp: phân loại kiến thức, dạy cho học sinh theo từng chuyên đề và trong mỗi dạng đó, tôi đã cố gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em những phương pháp giải ngoài sách giáo khoa để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất vào những buổi học bồi dưỡng Trong cùng một mảng kiến thức nhưng tôi có xây dựng nhiều câu hỏi trắc nghiệm liên quan để từ đó học sinh có kỹ năng làm bài tốt hơn

2.2.2 Đối với học sinh:

Là một ngôi trường chuyển từ trường bán công sang công lập nên tập thể giáo viên và học sinh cũng có những thuận lợi và khó khăn nhất định nói chung, đặc biệt là việc dạy và học môn toán nói riêng

Do đặc điểm của khu vực và thực tế của địa phương nên chất lượng của học sinh THCS không đồng đều, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình, nhiều học sinh có tình trạng “mất gốc” về kiến thức, đặc biệt là môn toán Tỉ lệ học sinh trung bình và yếu, kém chiếm hơn 80% Hơn nữa điểm đầu vào của trường chúng tôi là tương đối thấp so với mặt bằng chung của tỉnh Cụ thể là: 2015-2016 là 16 điểm /5 môn và năm học 2016-2017 là 16,5 điểm /5 môn Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy

và học của giáo viên, học sinh trường THPT Đinh Chương Dương

của đồ thi hàm số

Với các bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số học sinh hầu như khi tiếp cận với định nghĩa thì thấy rất mông lung khó hình dung vì nó liên quan đến giới hạn hàm số.Chính vì vậy, để giúp học sinh hiểu rõ bản chất, hình thành được kỹ năng xác định các đường tiệm cận cũng như vị trí của các đường tiệm cận trong mặt phẳng tọa độ cho học sinh có năng lực trung bình hoặc yếu nên từ suy nghĩ đó đã thôi thúc tôi mạnh dạn viết ra sáng kiến kinh nghiệm của mình

2.3 CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :

2.3.1 Một số tính chất của tiệm cận.

- Đối với hàm phân thức muốn tìm tiệm cận ngang của hàm số ta chia cả tử và

mẫu cho x với số mũ cao nhất.Nếu sử dụng máy tính Casio :Ta nhập cả hàm số vào máy, sau đó ấn CALC nhập x bằng 10 6 (đối với x ) hoặc nhập x bằng

6

10 (đối với x  ) kết quả thu được đó là đường TCN

- Nếu x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  g f  x x thì  

 







 0 0

0 0

x f x g

2.3.2 Phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận.

Đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)

n mx

b ax y







+TXĐ: D= R\















m n

của đồ thi hàm số

+TCĐ: y  d x m n

m

n x















:

m

a y d m

a y

x











: lim

f(x)=x/(x-1)

f(x)=1

x(t)=1 , y(t)=t

T ?p h?p 1

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

x

y

m a

y 

m n

x 

I

Từ đặc điểm trên của hàm số y mx ax b n





 mở ra cho chúng ta một số ví dụ liên quan

Ví dụ 1:Cho hàm số 3 1

2 1

x y x





 Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 3

2

y 

B.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 3

2

y 

C.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1

D.Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Định hướng bài toán:

- Đối với học sinh khá giỏi =các hiểu rõ được bản chất và sẽ giải quyết bài toán

2

3 1 2

1 3 lim













x

x y

x

của đồ thi hàm số

1 lim

2 1

















x y

- Đối với học sinh trung bình hoặc yếu giáo viên cho hs quan sát từ cách làm của các bạn khá, giỏi trên để rút ra qui tắc riêng cho mình đó là : TCN luôn có phương trình là y  ? và với hàm phân thức khi bậc của tử mà bằng bậc của mẫu thì

đường TCN là kết quả của tỉ số của hệ số chứa x mũ cao nhất của tử với hệ số chứa x mũ cao nhất của mẫu số

Còn hàm phân thức mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu từ đường TCN luôn có phương trình y  0

- Để tìm TCĐ của 1 hàm số ta cho mẫu số bằng 0 tìm x, giả sử được x  x0.Ta thay ngược lại x  x0vào tử và làm cho tử số khác 0 thì đường x  x0 là TCĐ của đồthị hàm số Từ đó HS sẽ nhận ra ngay được đáp án A là đúng

Ví dụ 2:Đồ thị hs  

2

1

2









x

x m m

y có đường tiệm cận ngang đi qua điểm A 3 ; 2

khi: A.











 2

1

m

m

B 









 2

1

m

m

C 







 2

1

m

m

D 









 2

1

m m

Phát hiện vấn đề: Khi các em đã nắm được qui tắc ở ví dụ 1 thì ở ví dụ này việc

phát hiện tiệm cận ngang là khá đơn giản đối với các em vì các em nhận thấy rằng phân thức có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đường TCN : ym2 m

Giải quyết vấn đề: ATCN  2 m2 m 









 2

1

m

m

nên đáp án B là đáp án đúng

Ví dụ 3: Tìm m.n để đồ thị hàm số y mx x n





nhận đường thẳng y =2 làm TCN và đường thẳng x =2 làm tiệm cận đứng

Phát hiện vấn đề: Học sinh nhận thấy rằng phân thức có bậc của tử bằng bậc của

mẫu nên đường TCN : y m

Từ ví dụ 1 học sinh sẽ suy ra TCĐ : x  n

Giải quyết vấn đề:  m.n 4  m.n  4

Ví dụ 4: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 32 1

4

x y x





 là:

A 3 B.2 C 1 D 4

Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu nên học

sinh sẽ cho ngay được kết quả TCN: y  0

của đồ thi hàm số















































2 :

0 5 1 2 3 2

2 : 0

7 1 2 3 2 0

4

2

x TCĐ x

x TCĐ x

x

Từ đó học sinh đưa ra được đáp án là A

Ví dụ 5: Số đường tiệm cân của đồ thị hàm số 22 3 2

2 3

y

 



  là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học

sinh sẽ cho ngay được kết quả TCN: y 1

Để tìm TCĐ: x2  2x 3  0 (vn) nên đồ thị hàm số không có TCĐ

Giải quyết vấn đề: Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận.

Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số

5 4

7 4 3

2 2











x x

x x

Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học

sinh sẽ cho ngay được kết quả TCN: y  3

Để tìm TCĐ học sinh cho mẫu số bằng 0 rồi giải phương trình tìm nghiệm thay vào tử số





































0 48 7 20 25 3 5

0 7 4 3 1 0

5 4

2

x

x x

x

Do đó TCĐ: x 5.Vậy đáp án đúng là đáp án B

Ví dụ 7: Đồ thị của hàm số

2

6 2 1

4 2 2















x x

x x x

đứng?

Phát hiện vấn đề: Cũng giống như ví dụ 6 để tìm TCĐ học sinh cho mẫu số bằng

0 rồi giải phương trình tìm nghiệm thay vào tử số





































0 6 1 8 2

0 3 1 4 1 0

2

2

x

x x

1 đường tiệm cận đứng x  2

Ví dụ 8: Biết đồ thị  

2 2

a 2b x bx 1 y

x x b



  có đường tiệm cận đứng là x 1  và đường tiệm cận ngang là y 0  Tính a 2b 

của đồ thi hàm số

Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học

sinh sẽ cho ngay được kết quả TCN : y a 2b

Nếu x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  g f  x x thì  

 







 0 0

0 0

x f x g

Giải quyết vấn đề :Ta thấy:

 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x 1   pt x 2   x b 0  có nghiệm x 1  và

a 2b x   2 bx 1 0   không có nghiệm

 TCN: ya 2b a 2b 0  a 4 Vậy đáp án đúng là đáp án C

Ví dụ 9: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

2 2

2

2 2











m m mx

x

A.m 0 B m 1 C.m 1 D m 2

Phát hiện vấn đề: GVcó thể cho học sinh đưa ra cách giải quyết bài toán thông

qua một số câu hỏi

- Điều kiện cần và đủ để hàm số y  g f  x x nhận đường thẳng x  x0 làm tiệm cận đứng ?

 







 0 0

0 0

x f x g

.

- Từ đó suy ra x  x0 là nghiệm của phương trình g x  0

- Từ đó học sinh sẽ đưa ra được điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

- Phương trình x2  2mxm2  m 2  0 vô nghiệm

Giải quyết vấn đề: Phương trình x2  2mxm2  m 2  0 vô nghiệm

0 2

'   



 m  m 2.Vậy đáp án D là đáp án đúng

Ví dụ 10: Cho hàm số 2 21 3









x mx

x

y Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm

số có 3 đường tiệm cận

A.











3

1

;

0

m

m m

B 





 5 0

m m

C 









 5

1

; 0

m

m m

D 





 3 0

m m

Phát hiện vấn đề: Học sinh quan sát hàm số thấy hàm số này luôn có một tiệm

cận ngang và có tối đa 2 tiệm cận đứng Từ suy luận đó giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra điều kiện để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

của đồ thi hàm số

Giải quyết vấn đề: Hàm số luôn có 1 TCN, do đó để đồ thị hàm số có 3 tiệm thì





 x





















3 0 0

3 1 '

0 3 2

m m m

Ví dụ 11: Cho đồ thị của một hàm số như hình vẽ.Hãy xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Phát hiện vấn đề: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, đường TCĐ của đồ thị hàm số

luôn song song hoặc trùng với trục tung, còn đường TCN luôn song song hoặc trùng với trục hoành

Giải quyết vấn đề: Khi học sinh quan sát và phát hiện ra nhận định trên thì việc

đưa ra đáp án không khó khăn gì

1 :

2

TCĐ

Ví dụ 12:Cho hàm số y f x    có bảng biến thiên như hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm

số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

'

y

Phát hiện vấn đề: TCĐ là giá trị làm cho hàm số tại đó không xác định và giới

hạn tại điểm đó phải tiến tới vô cực

Còn khi x tiến tới vô cực mà giới hạn của hàm số là 1 hằng số thì hằng số đó là kết quả của đường TCN

Giải quyết vấn đề: lim 2    :  2





x TCĐ y

x

lim0    : 0

x

lim 0 : 0



của đồ thi hàm số

Ví dụ 13: Cho hàm số y f x    liên tục trên nửa khoảng  3;2, có bảng biến thiên như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận

x -3 -1 1 2

y ' + 0 - 0 +

y 3

0

-2 -5

Phát hiện vấn đề: Từ nhận định ở ví dụ 12 học sinh sẽ nhận ra được hàm số không có TCĐ Ví dụ 14 : Cho hàm sốy f x   có xlim f x  0    vàxlim f x     Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số y f x   không có tiệm cận ngang B. Đồ thị hàm sốy f x   nằm phía trên trục hoành C. Đồ thị hàm số y f x   có một tiệm cận ngang là trục hoành D. Đồ thị hàm số y f x   có một tiệm cận đứng là đường thẳng y  0 Phát hiện vấn đề: Từ nhận định ở ví dụ 12 học sinh sẽ nhận ra được hàm số có tiệm cận ngang Giải quyết vấn đề: xlim f x  0     TCN: y 0 nên mệnh đề C là đúng Ví dụ 15:Tìm tất cả các gt thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số   1 1 1 2      x x x m y có đúng 1 đường tiệm cận ngang A Không có giá trị nào của m thỏa mãn B.m  R C.m 0 D m 1 Phát hiện vấn đề:Từ định nghĩa về đường TCN :y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) lim ( ) 0 x f x y     hoặc lim ( ) 0 x f x y     Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra điều kiện để hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang Giải quyết vấn đề: Để hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang.  

1

1 1

lim lim

























m

m m

y y

x

x