Giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa_luyện thi đại học môn toán

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Một lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình lượng giác hay ngược lại..  Lợi thế của phương pháp này là đưa phương trì

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Một lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình lượng giác (hay ngược lại)

 Dấu hiệu nhận biết là trong phương trình xuất hiện các biểu thức 1−x ,2 x2 +1, x2 −1,

 Lợi thế của phương pháp này là đưa phương trình ban đầu về một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải như: phương trình đẳng cấp, đối xứng, cổ điển, ……

 Nhược điểm của phương pháp này là khi chuyển về lượng giác lại khó tìm được nghiệm tường minh của phương trình

 Vì hàm lượng giác là tuần hoàn, nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn không có giá trị tuyệt đối, có nghĩa là luôn luôn dương

(Dựa vào điều kiện +vòng tròn lượng giác)

 Một số phương pháp lượng giác hóa thường gặp

Bài toán có chứa Lượng giác hóa bằng cách đặt

a −x

x a sin t, ÐK : t ;

2 2

x a cos t, ÐK : t 0;



 



x −a

{ }

a

a

π π

  



a +x

( )

x a tan t, ÐK : t ;

2 2

x a cot t, ÐK : t 0;







∨

x =a cos 2t, ÐK : cos 2t∈ − 1;1

(x−a b)( −x) ( ) 2

x =a+ b−a sin t



 Lưu ý: Xem lại các công thức lượng giác và phương pháp giải phương trình lượng giác

(chuyên đề: Phương trình lượng giác và ứng dụng của cùng tác giả)

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 105. Giải phương trình: 4x3 −3x= 1−x2 ( )∗

Đề nghị Olympic 30 – 04 – 2003

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: − ≤1 x ≤ 1

● Đặt x =cos t, t ∈ 0;π ⇒ 1−x2 = 1−cos t2 = sin t2 = sin t =sin t

4 cos t 3 cos t sin t

cos 3t cos t

2

π 



 

2



π





ℝ

k t

4



π

 = − + π





ℝ

 

Thí dụ 106. Giải phương trình: 1+ 1−x2 = x 1( +2 1−x2) ( )∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: − ≤1 x ≤ 1

● Đặt x sin t, t ; 1 x2 1 sin t2 cos t2 cos t cos t

2 2

 π π

( )∗ ⇔ 1+cos t =sin t 1( +2 cos t)

2 cos sin t sin 2t 2

2 cos 2 sin cos

2 cos 1 2 sin 0



t cos 0 2 3t 1





⇔ 

π





( )

t

k







ℤ

, k

 = π + π







ℤ

∈ −  ⇒ = ∨ =

● Với

1







● Vậy phương trình có hai nghiệm là 1

2

Thí dụ 107. Giải phương trình: ( )

2

x

−

Bài giải tham khảo

● Điều kiện:

2

 − >



 >



● Đặt

2



cos t cos t sin t

2 2 sin t cos t 2 2 sin t cos t 2 sin t 2 sin 2t

 π



4

4







ℤ

cos 4

 π π

 



● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 2

Thí dụ 108. Giải phương trình: 1 2x 1 2x ( )

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: 1 1

x

− < <

● Đặt

2

2

1 2x 1 cos t 2 sin 2 sin

x cos t, t 0; 1 2x 1 cos t 2 cos 2 cos









 





( ) 2 sin t 2 cost tan t cott

sin cos

2 sin cos

sin cos

+



⇔ +  − =



( )

t

2 4 sin t 2 L

  π





( )

 

∈ π ∈ℤ⇒ = ⇒ = =

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0

2 2 2

2

2

+ +

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: x ≠0, x ≠ ± 1

● Đặt x tan t, t ; \ 0;

 π π   π

= ∈ −   ± 

   

● Ta có:

2

cos t cos t

2

sin 2t

2x sin 2t

1 tan t x 1

+

2

sin 4t

( ) 1 1 2

cos t sin 2t sin 4t

1 1 1

0 cos t 2 sin t cos t 2 sin t cos t cos 2t

2

cos t 2 sin t 2 sin t 1 2 sin t

⇔2 sin t 1−2 sin t2 + 1−2 sin t2 − = 1 0

( ) ( ) ( )

sin t 0 L

1

2 sin t sin t sin t 0 sin t N

2 sin t 1 L











● Với sin t 1 sin t k2 t 5 k2 , k( )

 π π   π π π

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3

x 3

=

Thí dụ 110. Giải phương trình: ( )

( )

3 2 2

6x 20x 6x

+

Bài giải tham khảo

● Điều kiện:

x 0

3 x

3

 ≠





 ≠ ±





 ≠ ±



3

2





+

● Đặt x tan t, t ; \ 0; ;

 π π   π π

1 cost 3 sin 2t 4 sin 2t sin 6t cos 6t

2

π 



 

k2 t

k2











ℤ

 π π   π π  π π π π π π π π



5 3 3 5

Thí dụ 111. Giải phương trình: x3−3x= x+2 ( )∗

Đề nghị Olympic 30 – 04 – 2006

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: x≥ 2

● Nếu x>2 thì 3 ( 2 )

x −3x=x+x x −4 >x > x+ nên phương trình đã cho không 2

có nghiệm khi x>2

● Nếu − ≤2 x ≤ thì đặt 2 x =2 cos t, t∈0;π

8 cos t 6 cos t 2 cos t 2

⇔ 2 4 cos t3 −3 cos t = 2 cos t+1

2 cos 3t 2.2 cos

2

cos 3t cos

2

( )

( )

 

∈ π ⇒ = ∨ = ∨ =

● Vậy nghiệm của phương trình là 4 4

Thí dụ 112. Giải phương trình: x3 + (1−x2)3 = x 2−2x2 ( )∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: − ≤1 x ≤ 1

● Đặt x =cos t, t ∈0;π

cos t 1 cos t cos t 2 1 cos t

⇔ cos t3 + sin t2 3 =cos t 2 sin t2

⇔ sin t3 +cos t3 = 2 sin t cos t

⇔ sin t+cos t 1−sin t cos t = 2 sin t cos t 1

● Đặt

2

u sin t cos t 2 sin t u 1 2 sin t cos t sin t cos t







( )1 u 1 u2 1 2.u2 1



( )

2

 =









 = − − < −



u sin t cos t 1 2

2

2







Theo định lí Viét thì sin t, cos t là nghiệm của phương trình bậc hai:

2

2

sin t 0 x cos t

2

● Vậy phương trình có hai nghiệm 2 1 2 ( 2 1)( 2 3)



 Cách giải khác: Đặt ẩn phụ

● Điều kiện: − ≤1 x≤ 1

● Đặt t=x+ 1−x2

2

2

1 x

−

● Khi đó: 2x 1−x2 =t2−1 và 3 ( 2)3 3

2 x + 1−x = − +t 3t



( )( ) ( ) ( )

( )

2

 =









 = − −



2

2

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 2 1 2 2 2 1

Thí dụ 113. Giải phương trình: 2x2 + 1−x +2x 1−x2 =1 ( )∗

HSG – Trường THPT Năng Khiếu – Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh năm 2000

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: − ≤1 x ≤ 1

● Đặt

2

1 x 1 cos t 2 sin 2 sin

1 x 1 cos t sin t





 

= ∈ π ⇒ 



( ) 2 t

2 cos t 2 sin 2 cos t.sin t 1

2

2 sin sin 2t 1 2 cos t 2

cos 2t sin 2t 2 sin

2

2 cos 2t 2 cos

 π  π

⇔  − =  + 

( )

( )

 

● Vậy phương trình có hai nghiệm: 7

10

π

Thí dụ 114. Giải phương trình: 8x 2x( 2−1 8x)( 4 −8x2 +1)=1 ( )∗

Bài giải tham khảo

( )∗ ⇔8x 2x( 2 −1 2 2x) ( 2−1)2−1 =1 ( )2

● Trường hợp 1 x ≥ ⇒ Vế trái 1 > ⇒1 ( )2 : vô nghiệm ⇔( )1 : vô nghiệm

● Trường hợp 2 x ≤ − ⇒ vế trái 1 <0⇒( )2 : vô nghiệm ⇔( )1 : vô nghiệm

● Trường hợp 3 − ≤1 x≤1 : đặt x =cos t, t∈0;π

( ) ( 2 ) ( 2 )2

2 ⇔ 8 cos t 2 cos t−1 2 2 cos t −1 −1 =1

⇔8 cos t cos 2t 2 cos 2t2 −1 = 1

⇔ 8 cos t.cos 2t cos 4t=1

⇔ 8 sin t cos t.cos 2t.cos 4t=sin t

⇔4 sin 2t cos 2t cos 4t=sin t

⇔2 sin 4t cos 4t=sin t

⇔sin 8t=sin t

k2 t

, k

t

 =





ℤ

 

x cos ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos

Thí dụ 115. Giải phương trình: 128x 4x2( 2−1 8x)( 2 −1)2 + −1 2x=0 ( )∗ với 1

2

− < <

Học Viện Quân Y năm 2001

Bài giải tham khảo

( ) ( ) 2( ) ( 2 )2 ( ) (2 ) ( )2 2

2x 1 128x 2x 1 8x 1 1 0 32 2x 2x 1 2 4x 1 1



2

t

64 cos cos t cos 2t 1

2

2x cos t, t ;



π

2

t 2x cos t, t ; sin 0 2x cos t, t ;

64 sin cos cos t cos 2t sin sin 4t sin

1

x cos t, t ;

2



x cos ; cos ; cos ;

Thí dụ 116. Giải bất phương trình: ( )

2

x

4

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: − ≤1 x ≤ 1

● Đặt x =cos t, t∈0;π

( ) 1 cos t 1 cos t 2 cos t2

4

 π  π  π

⇔  − ≤ −  −   − 

⇔  − ≤ − −  −   − 

 π  π  π

⇔  − −  − −  − + ≥

( )

2 2

  π    π  π 

⇔   − −    − +  − +  ≥ ∗ ∗

● Vì ( )∗ ∗ luôn đúng t∀ ∈0;π nên tập nghiệm của ( )∗ là x∈ − 1;1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 413. Giải phương trình: 8x3−6x− 3 =0

Bài tập 414. Giải phương trình: 1+ 1−x2 = +2 1−x2

HD: x= cos t, t∈0;π

Bài tập 415. Giải phương trình: 1 1

x

1+ 1−x +1− 1−x =

HD: Điều kiện 0 x 1, x cos t, t 0;

2

 π

 

 



Bài tập 416. Giải phương trình: 2

2

5

2 1 x

+

2 2

 π π



 

Bài tập 417. Giải phương trình:

2

x

12

−

Bài tập 418. Giải phương trình: 2

2

x

1 x

−

Bài tập 419. Giải phương trình: 2

x

1 x

x ; cos ; cos ; cos ; cos

Bài tập 420. Giải phương trình: 2( 4 2 ) 3

1−x 16x −12x +1 =4x −3x

x ; cos ; cos ; cos ; cos

Bài tập 421. Giải phương trình: ( 2 ) 2 3 2

2x+ 4x −1 1−x =4x + 1−x

x

2

= ±

Bài tập 422. Giải phương trình: 1 2 2

x 1 x 1 2x

Đề nghị Olympic – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị

ĐS: x 2 x 1( 2 6)

Bài tập 423. Giải phương trình: 2

2

1

x

−

sin t

Bài tập 424. Giải phương trình:

2

1

x

−

HD: Đặt 3

cos t

Bài tập 425. Giải phương trình:

2

HD: Đặt

2 2 cos sin

2

1 2 cos sin sin t



Bài tập 426. Giải phương trình: 1+ 1−4x2 = x 1 + 1+ 1+2 1−4x2 



ĐS: 1 x 2

=

Bài tập 427. Giải phương trình: 2 ( )3 ( )3 2 1 x2

3 3

x cos t, PT 2 sin t 6 cos t 1 0 x

6

Bài tập 428. Giải phương trình: 1−x =2x2 − +1 2x 1−x2

x cos

10

π

Bài tập 429. Giải phương trình: 64x3 −112x2 +56x− =7 2 1−x

Bài tập 430. Giải phương trình: x+ +1 8−x + (1+x 8)( −x) =3

2

3 cos t 8 x



Bài tập 431. Giải phương trình: 1 2 x 1( x) x 1 x

3

HD: x cos t, t2 0;

2

 π

 

 

 

Bài tập 432. Giải phương trình: 3 ( 2)3 ( 2)

x + 1−x =x 2 1−x HD: x= cos t, t∈0;π

Bài tập 433. Giải phương trình:

2

2

1 2x 1 x

2

HD: x =cos t, t∈0;π

Bài tập 434. Giải phương trình:

2 2

4

+ +

HD: Đặt x tan t, t ;

2 2

 π π

Bài tập 435. Giải phương trình: ( 3 2 )2

64x −112x +56x−7 +4x=4

x cos t, t 0; x ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos

 

Bài tập 436. Giải bất phương trình:

1−x > 1−x

= ∈ − ⇒ ∈ ∪ − 



Bài tập 437. Giải bất phương trình: ( 2)5 5

1−x + x ≤ 1

2

 π

 

 

= ∈  ⇒ ∈ − 

 

1+ 1−x  1+x − 1−x  = +2 1−x

1984 Vietnamese Mathematical Olympiad

ĐS: 2 x 2

=

Bài tập 439. Giải phương trình: 2 2 2 ( )

2a

+

3

∈ − +∞



Bài tập 440. Giải phương trình: 1+x− 1−x ≤x

ĐS: x ∈ − 1; 0

Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí cũng làm nên

Hồ Chí Minh