chuyên đề lượng giác trong thi đại học

I,Công thức lượng giác... giải phương trình: Câu 58... Hãy giải phương thình * trong trường hợp đó Đề số 2.

Trang 1

I,Công thức lượng giác

Trang 2

Ôn tập đại học Môn : Toán Bùi Nhật Huy A2K44 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đôn – Trấn Yên – Yên Bái

Công thức cơ bản:

CT 1: cos 2x+ sin 2x= ∀ ∈ 1( x R)

CT 2: cos(a + b) = cosacosb – sinasinb

CT 3: cos(a – b) = cosacosb + sinasinb

CT 4: sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

CT 5: sin(a - b) = sinacosb – sinbcosa

Công thức biến đổi:

CT 6: cos 2x= cos 2x− sin 2x

CT 7: cos 2x= 2cos 2x− 1

CT 8: cos 2x= − 1 2sin 2x

CT 9: sin2x = 2sinxcosx

CT 10: cos3x= 4cos 3x− 3cosx

CT 11: sin 3x= 3sinx− 4sin 3x

CT 12: cos x = 2

2

1 2

CT 13: sin x2 =

2

2 cos

CT 14: cos(a b+ +) cos(a b− =) 2cos cosa b

CT 15: cos(a b+ −) cos(a b− = −) 2sin sina b

CT 16: sin(a b+ +) sin(a b− =) 2sin cosa b

CT 17: sin(a b+ −) sin(a b− =) 2sin cosb a

II Phương trình lượng giác:

1,Phương cơ bản:

Sinx = m

-nếu m>1 ⇒ phương trình vô nghiệm

-nếu m<1 ⇒ phương trình có nghiệm.

-sinα =m hoặc arcsinm = α ⇒ sinx = sinα

⇔x=α +k2π hoặc x=π α− +k2π với k∈z.Cosx = m

-nếu m>1 ⇒ phương trình vô nghiệm -nếu m<1 ⇒ phương trình có nghiệm

-cosα=m hoặc arccosm = α ⇒cosx = cosα

Trang 3

-cotα=m hoặc arccotm = α ⇒cotx = cotα

⇔ x=α +k∏ với k∈z.Phương trình lượng giác dạng 1:

F(sinx) = 0 t=sinx đk: t ≤ 1F(cosx) = 0 t=cosx đk: t ≤ 1 F(tanx) = 0 t=tanx

F(cotx) = 0 t=cotxKhi đó phương trình có dạng F(t)= 0

Phương trình lượng giác dạng 2: acosx +bsinx=c.(1)

(1)⇔ 2 2

b a

a

2

2 b a

b

Khi đó (1) ⇔ cosxcosα +sinxsinα = 2 2

b a

c

Điều kiện có nghiệm : 2 2

b a

Phương trình lượng giác dạng 3

Giải phương trình sin3x+cos 2x= +1 2sin cos 2x x

Trang 4

Giải phương trình sin cos4 sin 22 4sin2 7

Giải phương trình (2sinx+1 3cos4) ( x+2sinx− +4) 4cos2x=3

Giải phương trình 4cos2x+(2sinx−1 2sin 2) ( x+ =1) 3

Giải phương trình 4 sin( 4x+cos4 x) + 3 sin 4x=2

Giải phương trình cos3x+cos2x+2sinx− =2 0

Giải phương trình 1 cos+ 3x−sin3x=sin 2x

Trang 5

Giải phương trình (sin 2x+cos2 cosx) x+2cos 2x−sinx =0

Cho phương trình sin 42 x−cos 62 x=sin 10,5( π +10x)

Tìm các nghiệm thuộc khoảng 0;

Giải phương trình 4 sin3( x−cos 2x) (=5 sinx−1)

Câu 26 giải phương trình sin3x +cos3x =2(sin5x+cos5 x)

Câu 29 Giải phương trình sin6 x+cos6 x = 2(sin8 x+cos8 x)

Câu 30 giải phương trình : sinx−cosx + sinx+cosx =2

8

13x

Câu 32 giải phương trình : 1 3tan+ x=2sin 2x

Câu 33 giải phương trình : 3sinx+ 2cosx= + 2 3tanx

Câu 35 giải phương trình 4(sin4 x+cos4 x)+ 3sin4x = 2

Câu 36 giải phương trình :2(sin x cos x) sin x cos x8 + 8 = 6 + 6

4

Trang 6

4

3x2

x

sin

Câu 39 giải phương trình tan4 x−4 tan2 x+ =3 0

Câu 40 giải phương trình cos42x = 2−cos2 2x

Câu 41 giải phương trình cos 2 2 x − 4 sin 4 x + 3 = 0

Câu 42 giải phương trình cos x cos 2x 12 = 2 −

Câu 43 giải phương trình 2 cos 4 x + 1 = 3 cos 2 x

Câu 44 giải phương trình 2sin2 x+tan2 x=2 (1)

Câu 45 giải phương trình 8sin4 x+13cos2x−7 =0

Câu 46 giải phương trình 3 − 3 sin 4 x − 5 cos 4 x = 0

Câu 47 giải phương trình tan2 x+cot2 x =2 (1)

sin

Câu 50 giải phương trình2 ( 1 − sin 2 x ) − 5 (sin x − cos x ) + 3 = 0

Câu 51 giải phương trình : 5(1+sin2x)−12(sinx+cosx)+7 =0

Câu 52 giải phương trình:

Câu 58 giải phương trình: tan2 x+cot2 x+2(tanx+cot ) 6 x =

Câu 59 giải phương trình: tan2 x+cot2 x+5(tanx+cot ) 6 0 x + =

Trang 7

Câu 63 giải phương trình: 2(sin x cosx) tan x cot x+ = +

Câu 64 giải phương trình: sin x cos x sin 2x sin x cosx3 + 3 = + +

cosx sin x 3

Câu 66 giải phương trình: (cos4x cos2x)− 2 = +5 sin3x

Câu 67 giải phương trình: (cos4x cos2x)− 2 = +5 sin3x

Câu 68 giải phương trình: sin x cosx + = 2(2 sin3x) −

Câu 69 giải phương trình: sin x sin x 113 + 14 =

Câu 70 giải phương trình: sinx+cosx = 2(2−sin3x)

Câu 71 giải phương trình: (cos4x−cos2x)2 =5+sin3x

Câu 72 giải phương trình: 5+sin22x =sinx+2cosx

Câu 73 giải phương trình: 3sin2x−cos2x+ 3sinx+cosx= 4

Câu 74 giải phương trình: cos2xcosx =1

Câu 75 giải phương trình: cos 2 x = x 2 + 1

Câu 76 giải phương trình: cos3x+cosx =−2

Câu 77 giải phương trình: cos x 2 cosx tan x 1 02 + + 2 + =

Câu 78 giải phương trình: 4sin x 2 3 tan x 3tan x 4sin x 2 0 2 − + 2 − + =

Câu 79 giải phương trình: x2 −2xsin x 2 cosx 2 0− + =

giải phương trình: cos x cos2x cos3x cos 4x 0+ + + =

giải phương trình: sin x cos x 2(sin x cos x)3 + 3 = 5 + 5

giải phương trình: sin x cos 2x cos 3x2 = 2 + 2

giải phương trình: sin x cos x 2(sin x cos x)6 + 6 = 8 + 8

giải phương trình: sin x cosx sin x cosx 2− + + =

giải phương trình: cos x sin x6 6 13

8

Trang 8

giải phương trình: 1 3tan x 2sin2x (*)+ =

giải phương trình: 3sin x 2 cosx 2 3tan x + = +

giải phương trình: 4cos x 3 2 sin 2x 8cosx3 + =

giải phương trình: tan x 2 cot 2x sin2x + =

giải phương trình: 4(sin x cos x)4 + 4 + 3 sin 4x 2=

Câu 94

Đại học Thái Nguyên khối D năm 2000

giải phương trình: sin2x 4(cosx sin x) m + − =

b) Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm

giải phương trình: cos x sin x cos2x4 + 6 =

giải phương trình: cosx.cos cosx 3x− sin x.sin sinx 3x 1=

giải phương trình: sin 3x sin 2x sin x 02 − 2 − 2 =

giải phương trình: 2(cot 2x cot 3x) tan 2x cot 3x− = +

giải phương trình: sin xsin2x sin3x 6cos x + = 3

Xác định a để hai phương trình sau tương đương

2cosx cos2x 1 cos2x cos3x= + +

2

4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)− = + − +

Xác định a để phương trình sau có nghiêm : sin x cos x a sin2x6 + 6 =

giải phương trình: 3cosx cos2x cos3x 1 2sin xsin 2x+ − + =

Trang 9

giải phương trình: cos4 x−sin4 x =sin 2x

giải phương trình :(2sin x 1)(2sin 2x 1) 3 4 cos x− + = − 2

Cho phương trình : 4 cos xsin x sin x cosx sin 4x m (*)5 − 5 = 2 + Biết x= π là một nghiệm của (*) Hãy giải phương thình (*) trong trường hợp đó

Đề số 2 Câu II.1 giải phương trình : sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x

cos3x−4cos2x+3cosx− =4 0

Đề số 4 Câu II.2 xác định m để phương trình 2 sin( 4x c+ os 4x)+ cos 4x+ 2sin 2x m+ = 0 có ít nhất

một nghiệm thuộc đoạn 0;

4

(2 sin 2 )sin 3tan 1

Trang 10

Câu giải phương trình:3 tan (tan− x x+2sin ) 6cosx + x=0

Trang 11

Câu II.2 Tìm nghiệm trong khoảng (0:π)của phương trình :

Câu II.1 giải phương trình : 3 3 2 3 2

cos3 cos sin 3 sin

Trang 12

x

−

=+

Trang 13

Câu II.1 Giải phương trình: 3 3 1

sin cos 1 sin 2

2

Đề số 73

Câu II Giải phương trình ( )2

2 sin cos tan

Trang 14

sin3 cos 2 1 2sin cos 2 sin 2 cos 2 1 2sin cos 2 0

sin 2 cos sin cos 2 cos 2 1 2sin cos 2 0

sin 2 cos sin cos 2 cos 2 1 0

sin cos 2sin cos 2sin cos 1 2sin

43sin sin 3sin3 3sin 4sin sin

Trang 15

cos 3 3cos cos3 3sin sin 3 sin 3 4cos 4 1

1 3 cos cos3 sin sin 3 4cos 4 1

3cos4 4cos 4 4cos 4 3cos4 0 cos12 0

242

cos 2 1 2sin 2sin 1 cos2

sin cos4 2sin 2 1 2 1 sin sin cos 4 1 cos 4 1 2sin

sin cos4 2 cos 4 2sin 0 cos 4 sin 1 2 sin 1 0

sin 1sin 1 cos 4 2 0

cos 2 1 2sin 2sin 1 cos2

2sin cos 4 2sin 2 4sin 3 0 2sin cos 4 1 cos 4 4sin 3 0

2sin cos 4 cos 4 4sin 2 0 cos4 2sin 1 2 2sin 1 0

Trang 16

2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3

2sin 1 3cos 4 2sin 4 3 4 1 sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 0

2sin 1 3cos 4 3 0 3 2sin 1 cos 4

1 01

Giải (2) cosx= ⇔1 cosx =cos0⇔ =x k2π(k Z∈ )

4cos 2sin 1 2sin 2 1 3 2sin 1 2sin 2 1 3 4cos 0

2sin 1 2sin 2 1 3 4 1 sin 0 2sin 1 2sin 2 1 1 4sin 0

2sin 1 2sin 2 1 2sin 1 1 2sin 0

2sin 1 2sin 2 1 1 2sin 0 2sin 1 2sin 2 2sin 0

1

2sin 1 0

22sin 2 2sin 0 sin 2 sin 2

x x

Trang 17

Giải (2) sin 2 sin 2 2 22 ( )

cos cos 2sin 2 0 cos cos 1 2 sin 1 0

1 sin cos 1 2 sin 1 0 1 sin sin 1 cos 1 2 sin 1 0

sin 1 1 sin cos cos sin 0

1 sin cos cos sin 0 2

t t

Trang 18

cos x−sin x= cosx−sinx cos x+cos sinx x+sin x = cosx−sinx 1 cos sin+ x x

thay vào phương trình ta được

1 cos sin 1 cos sin sin 2

cos sin 1 cos sin cos sin 2sin cos 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

1 cos sin cos sin 0 2

t t

Trang 19

cos3 4cos 3cos 4cos cos3 3cos

sin3 3sin 4sin 4sin 3sin sin3

Thay vào phương trình ta được

(3sinx−sin 3 cos3x) x+(cos3x+3cos sin 3x) x+3 3 cos4x=3

3sin cos3x x sin 3 cos3x x cos3 sin 3x x 3cos sin 3x x 3 3 cos 4x 3

23

Trang 20

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2

cos sin sin cos cos sin 1 sin 2

cos sin 1 sin cos 1 2sin cos

Ta có 2sin cosa b=sin(a b+ +) sin(a b− ⇒) 2sin 3 cos 2x x=sin 5x+sinx

Trang 21

( )

3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 3 cos5 sin 5 sin sin 0

3 cos5 sin 5 sin sin 0 3 cos5 sin 5 2sin

18 3

k

k Z k

sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4 2sin

sin 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos4

sin 1 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4

sin cos2 sin 2 cos 3 cos3 2cos 4

1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin

cos 2sin cos 3 1 sin 2sin 2sin

cos sin 2 3 sin cos 2 3 cos2 sin 2 cos 3 sin

Trang 22

2

sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 2sin cos 2sin 3sin cos 2 0

cos 2sin 1 sin 2 2sin 1 0 2sin 1 cos sin 2 0

1 sin cos2 cos sin cos

coscos sin

1 sin cos2 cos cos 0 cos 1 sin cos 2 1 0

cos sin cos 2

xĐ

x x

Trang 23

2cos 2 1cos 2 2cos 1 cos

2052

2073

2094

Trang 24

2

8cos cos3 0 8cos 4cos 3cos 0 12cos 3cos 0

3cos 4cos 1 0 cos 2cos 1 2cos 1 0

3cos 0

2cos 1 0

32cos 1 0

x t

t

x

πππ

Trang 25

4 sin 3 cos 2 5 sin 1 4sin 3 4cos 2 5 sin 1 0

4 3sin 4sin 4 1 2sin 5 sin 1 0

Trang 26

x 1

x 2 x x

cos ) sin (cos

sin cos

sin sin

cos cos

cos )

sin )(cos

sin

(cos

Z) (k cos

sin cos

x x

x

2 2

Vậy phương trình có nghiệm x = +π m (m Z)π ∈

Trang 27

1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x

(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x) 0

0 x x 2 x 4 0 x x

x 2 0 x 2

x x

2 x 1

x 2 x x

Trang 28

Trang 29

Vậy phương trinh có nghiệm là

(k Z) 6

Vậy phương trình có nghiệm x= − +π4 kπ(k Z∈ )

Câu 33 3sinx+2cosx= +2 3 tanx ( )1

x 2 x

x 2

Trang 30

Ơn tập đại học Mơn : Toán Bùi Nhật Huy A2K44 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đơn – Trấn Yên – Yên Bái

3 3

Z) (k (loại)

cos )

sin )(cos

4

x 1

0 x x

Trang 31

x

sin

Ta có cos 2x= 2cos 2x− ⇒ 1 2cos 2x= cos 2x+ 1

thay vào phương trinh ta được:

Trang 32

Ơn tập đại học Mơn : Toán Bùi Nhật Huy A2K44 Năm học 2010-2011 Trường THPT Lê Quý Đơn – Trấn Yên – Yên Bái

tan x 1

(k Z) tan x 3

3 tan x 3

cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loại)ta cĩ sin 22 x+cos 22 x= ⇔1 sin 22 x= −1 cos 22 x= − =1 1 0

Z) (k

⇔

2

k x k x 2 0

Trang 33

x 2 x 1

x 2 x 2 x 2 x 1

x x

⇔

2

k 4 x k 2 x 2 0

Trang 34

Vậy phương trinh có nghiệm là (k Z)

x

8sin4 + cos − =

0 6 x 26 x 8 0 7 x 2 1 13

x 6 x

cos

cos )

cos (

cos cos

Điều kiện :tanx≠ 0

(1)⇔ tan 4x− 2 tan 2x+ = ⇔ 1 0 (tan 2 x− 1) 2 = 0

Trang 35

Vậy phương trinh có nghiệm là



∈

 π

8

1 x

2 x 2 8 8 8

1 x 2 8

1 x 2 4

1 x

Vậy phương trình có nghiệm nghiệm là (k Z)

5 x

2

1

0 3 x x

5 x x

Trang 36

12x

2

1

5( +sin )− (sin +cos )+ =

0 7 x x

12 x x

cos

)

Z) (k cos

) (cos cos

Trang 37

2 2

cos

)

Z) (k cos

) (cos cos

Trang 38

Vậy nghiệm của phương trình là :

2

2 (k Z) 2

3 2 3

sin x nghieäm)

(voâ sin

sin

)

Z) (k sin

) (sin sin

sin

)

2 x 1 x 0

1 x 0

1 x 2 x

sin

C1 :tan2 x+cot2 x+2(tanx+cot ) 6 (*)x =

Điều kiện : sin cos ≠ ⇔sin ≠ ⇔ ≠ π (k∈Z)

2

k x 0 x 2 0

x x

2

(*) ⇔ (tanx+ cot )x − + 2 2(tanx+ cot ) 6x = ⇔ (tanx+ cot )x 2 + 2(tanx+ cot ) 8 0x − =

Trang 39

sin sin

cos sin cos

sin sin

cos cos

sin

)

(

6 2

1 x 1

x 2 x

x 4 x x

4 x

x x

7 12

sin

cos cos

7 12

tan x+cot x+5(tanx+cot ) 6 0 (*)x + =

Điều kiện : sin cos ≠ ⇔ sin ≠ ⇔ ≠ π (k ∈ Z)

2

k x 0 x 2 0

x x

2

(*) ⇔ (tanx+ cot )x − + 2 5(tanx+ cot ) 6 0x + = ⇔ (tanx+ cot )x 2 + 5(tanx+ cot ) 4 0x + =

Trang 40

sin sin

cos sin cos

sin sin

cos cos

sin

)

(

6 2

1 x 1

x 2 x

x 4 x x

4 x

x x

x 2

sin

cos cos

x x

(1) ⇔ 2(1 cot + x) 2 tan + x+ 5(tanx+ cot ) 4 0x + =

Trang 41

5

1 x x

x 5 x x

2 2

5 x

x x

x 2

cosx sinx

Trang 42

Ta có sin x cos x 3 + 3 =(sin x+ cosx sin x cos x sin x cosx) ( 2 + 2 − ) =(sinx cos x 1 sin x cosx + ) ( − )

Vậy phương trình tương đương với hệ:

Trang 43

Câu 68 Giải phương trình sin x cosx + = 2(2 sin3x) −

sin x sin x sin x sin x

⇔ + = + Vì cosx 1 ≤ ⇒ cos x cos x 13 ≤ 2 ; sin x 1 ≤ ⇒ sin x sin x 14 ≤ 2

Vậy sin x sin x 1 13 + 14 ≤ Dấu bằng xảy ra khi

π

=

⇔ π

x2x

4 cos )2 sin

4 x x

3 4

x x 3 2

2 2

2

4 x 3

1 x 1

xx 11

4 x

1

Khi sinx = 1 ⇔ x = π+ k 2 π (k∈Z)

Trang 44

Thay vào (2) ta có : sin x = 3 − 4 = − 1 thỏa mãn

Khi sin = − ⇔ = −π+ k 2 π (k ∈ Z)

2 x 1 x

Thay vào (2) ta có : sin x = − 3 + 4 = 1 ≠ − 1 không thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là : = −π+ k 2 π (k∈Z)

2

Câu 72

x2xx

2

5+sin2 =sin + cos (1)

5 x 5

VT = + sin 2 ≥ dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔ = π (k ∈ Z)

2

k

5 x x

4 1 x 2

sin

(**)Thay (*) vào (**) không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm

Câu 73

4xx

3x2x

2

3sin −cos + sin +cos = (1)

2 x 2

1 x 2

3 x 2 2

1 x 2

x

2 cos =

cos

2 x x

1 x x

2

1

= +

⇔

= +

Vì cos x ≤ 1 và cos x ≤ 1 nên (*)

Câu 75

1 x

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0

Trang 45

3 +cos =−

Vì cos x ≥ − 1 và cos x ≥ − 1 nên (*)

π + π

4sin x 2 3 tan x 3tan x 4sin x 2 0

⇔ 4sin x 4sin x 1 3tan x 2 3 tan x 1 0 2 − + + 2 − + =

k

k 2

k

x 1

x 0 1 x x

−

Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0

Câu 80

2

x cos2x 1

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	3,15 MB