các bài toán hệ phương trình

TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2015 Bài viết tổng hợp từ TOPIC của k2pi.net.vn.. Bao gồm đề và lời giải của một số thầy cô anh chị em của wed... Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình

Trang 1

TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2015

Bài viết tổng hợp từ TOPIC của k2pi.net.vn Bao gồm đề và lời giải của một số thầy (cô) anh chị em của wed

2

x y y x x y x y y x





Hướng dẫn giải:

(Nguyễn Văn Quốc Tuấn)

Điều kiện: x x y0,y y x0

Ta có:

2

3 2

y x x y

x y y x





1 5

2

, 0

2

0 2

, 0

x y

y x xy

x y

  





    



  

Với

1 5

2 , 0

x y

  

 



 



thay lên phương trình còn lại ta được:

3 3 5 15 3 5

       

    



Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y ;  0; 0

Trang 2

Bài 2: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)

2





(Hbtoanag)

Từ phương trình thứ 2 của hệ:

2

y x x y x y y x x y

y x x y x y y x xy x y

x y

y x x y x y y x



2

4 2

16

y x x y x y

     

Đặt f t( ) t3 3t23t thì phương trình thứ nhất của hệ là f x 2f y 

Do f t( )3t2  6t 3 3(t1)20nên f đồng biến trên 

Khi đó nếu x 0 thì 0 f(0) f x( )2 ( )f y  f y( )  0 y 0

Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sau

0x y 2 y x x( y)x y y( x) 0

Với x 0thì y 0, đặt ytx, t 0 và thay vào phương trình thứ hai của hệ

2 2 2

x t x  tx x xtx x tx txx

Trang 3

2 2

1

2

2 1

t



Cộng hai phương trình  a và  b theo vế

2

2 2

4 1

2

3( 2 1)

2

t t

 

 

 

      

2 t t 1 3 t 1

2

t t



 



Với t  1 2 6 3 2 ta thay yt x1 vào phương trình thứ nhất của hệ được

(2t 1)x (6t 3)x (6t 3)x0

Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương

Bài 4 Giải hệ phương trình (Phạm Kim Chung):

1

      





Phương trình thứ hai của hệ ta có:

2

2 2

2

1

1 2

2

4

0

x y x



Trang 4

Bài 5: Giải hệ phương trình sau

18 16 40 34 9 2 1 1 3









3 3

2

x y





(Trần Quốc Tuấn)

Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của pt (2)

Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được:

2

1

x y

xy





xy





Phương trình trở thành

2 2

0 1

1

2

t

t t

 



  

Với t  0 x 0 Thay vào phương trình (1) được nghiệm

4

1 2

x y

2

t   x y xy (VN)

3 3

2







Trang 5

Bài 9: Giải hệ phương trình (Lê Đình Mẫn)

2014

2015

( , )

2 3 4

x y

   

(Hbtoanag)

(x1)y 2 x  x 1 y    1 y [ 1;1]

02x4 x 3 y 2x4 x  3 1 2( x1) 0

Do đó x 1 và y  1

Bài 10: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)   

x y y x y y x





(Hbtoanag)

trường hợp sau

Nếu x 0thì y 0và có

3xy x 4x 1 y2 y  1 x2x y2y 9xy 3 9

4

y

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, nhận được

2 3

2 3 2 3

x y



   

Bài 11: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)  





Trang 6







Bài 13: Giải hệ phương trình (Trần Quốc Tuấn)

2





Bài 14 : Giải hệ phương trình (Con Phố Quen)

1

x y

xy









2

x y







Bài 16: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)  2  2 

2

3 4 1 3 1 12 12 1







Điều kiện

1 3 1

x

y

 



 



x x     y y    y x

Thay vào phương trình còn lại

2

3 4 1 3 1 12 12 1

4 1

2 1 3

x

Trang 7

Ta có 1 2

2

x

2

Dễ dàng có được

1

;1 3

min ( )

x

f x f

 

 

 

 

 

 



   

 

3 3

2 1 3

x

x x x



Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  1; 1 

Bài 16*: Giải hệ phương trình (Đặng Thành Nam)  2  2 

2

3 4 1 3 1 12 12 1







(Nguyễn Thế Duy)

Xử lý phương trình một như sau :

2 2

1 2

1 1

2

a x

a

a x

a









2 2

1 2

1 1

2

b y b

b y

b







Khi đó phương trình  1 trở thành:

1

      

1

ab



 





2

3

x y xy





Trang 8

Cách 1: (Nguyễn Thế Duy)

3x y x y 2xy xy 2xy    3 0 3 xy1

Xét phương trình hai chúng ta được :

x y





3

xy x   y    xy

3

x y

x y x y





Cách 2: (Con Phố Quen)

2 2

1

5

xy

  





Bài 18: Giải hệ phương trình (Hbtoanag)

2





(Songviuocmo123)

Trang 9

2 2

x  y xy  xy  x   x  x

f t  t  t tVới t  1

1

t

2x 4x 3 5x 6x 3 3x2

3

x

3

x

2

3 2

x

x x  x  x  x

2

1

2

x



 







Nghiệm x y ;   51; 5





Bài 20: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)    







(Hbtoanag)

Do x  2 không là nghiệm nên chia theo vế, ta nhận được

2

x

y



Trang 10

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

2 2 2

1 1

x

Bài 21

Tìm nghiệm dương của hệ phương trình (Hbtoanag)

2





(Thanh Phong)

Đặt a x y b,  y 1,c 13x

2

ab a b c



  



(ac) b a(  c) 2b 0 (a c 2 )(b a c b) 0

Tới đây có : x 13x y 2hoặc x 1 2y 13x0

Thay y theo x vào phuơng trình 2 ta tìm được x

2





  







(Nguyễn Thế Duy)

Trang 11

Phương trình hai được viết lại thành:    2 2    

xy x  xyy  xy  xy x y

Bài 24: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)     

3

2





 4 2 4 2

2015



         











(Past Present)

Điều kiện: x y , 0

1

   



2

1

2

1

2

1 2

a

a a

b







 x y1 x 1 y1

Trang 12

1 1 1 1

4

        

2

             



Mà

4

1 0

a

b

  



  

Dấu "=" xảy ra khi a b 1 Hay x y 0

Thay x y 0 vào phương trình  1

thỏa

Nghiệm của hệ là 0; 0

Bài 28: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng) 3    





2







(Lazyman)

2

x y

1 2 x 1 2y (2y x 1) 1 2y 1

+ Nếu y 0 hệ có nghiệm x y ;  0; 0

2 2 2

2 1

1

2 1 1

1

x

x x y

x

   



   



2 2

2

2 1 1 ( 2 1 1)

1

2 1 1

1

x y

x

x y

x



 





2

Trang 13





Bài 31: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng) 28

x x y y





2014 2014

2015 2015

2 2





Bài 33: Giải hệ phương trình sau ( Nguyễn Ngân) 2 (33 7) 3 1 23





35

x x y y





8( ) 9( 9) 0

xy





2

5

2

x y



 



Bài 37: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng)    2

4 3

x y xy

    





4

5





Trang 14

2

24

3





2





2





(Thanh phong)

( ) 7 21 21 15

2 2

x x x

Vì x  0 x 1

Vậy x y ,  1, 49

Bài 42: Giải hệ phương trình (Hungdang)

3 4 2( 2 1)





3

4 2

x x y y xy



x

y

x







Trang 15

1

y









   

3

2 2

4





 2 2 3



3 1 1

x x y x x

    





Bài 53: Giải hệ phương trình (Nguyễn Duy Hồng) 2 2 2 3 1

8 2 2( 2) 2 3





Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	325,7 KB