1.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1... Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp: Một số dạng thường dùng phương pháp đổi
Trang 11.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Tính I = f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)dt u'(x)dx
I = f[u(x)].u'(x)dxf(t)dt
BÀI TẬP Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1 I1 = (𝑥 + 1) 3 − 2𝑥3 𝑑𝑥
2 I2 = 𝑥𝑑𝑥
2𝑥+2
3 𝐼3 = 𝑒𝑥+2.𝑒𝑑𝑥−𝑥−3
4 𝐼5 = 𝑥(1+ 3𝑙𝑛𝑥 +2)𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
5 𝐼6 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥 +1𝑑𝑥
Giải:
1 Đặt t = 3 3 − 2𝑥 = > x = 3−𝑡
3
2 => dx = - 3
2𝑡2𝑑𝑡
I = - 3
2 3−𝑡23+ 1 𝑡 𝑡2𝑑𝑡
= −3
4 5𝑡3− 𝑡6 𝑑𝑡
= −3
4 5𝑡4
4 −𝑡7
7 + 𝐶
= 3
4( 3−2𝑥 7
3
7 − 5 (3−2𝑥)4
3
4 ) + C
2 Đặt t = 3 2𝑥 + 2 => x= 𝑡
3 −2 2
3 𝑰𝟑 = e2xe−3.exdxx+2 đặt t = ex => dt = exdx
𝑰𝟑 = dt
t 2 −3t+2 = 𝑡−1 (𝑡−2)𝑑𝑡 = ln 𝑡−2
𝑡−1 + 𝐶= ln 𝑒𝑥−2
𝑒 𝑥 −1 + 𝐶
4 I 4 = 𝑥(1+ 3𝑙𝑛𝑥 +2)𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
Đặt t = 3𝑙𝑛𝑥 + 2 => ln x = 𝑡23−2; 𝑑𝑥
𝑥 = 2
3𝑡𝑑𝑡
TÍNH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Trang 2Sin x = 2𝑡
1+𝑡 2
Cos x = 1− 𝑡
2
1+𝑡 2
Bài 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ( tự luyện )
1 (5x1)dx 2 5
) 2 3
dx
3 52x dx 4 2x dx1
5 x2 7xdx
)
1
2
( 6 x3 4x2dx
) 5 ( 7 x2 1.xdx 8 dx
x
x
5
2
9 dx
x
x
3
2
2
5
3
10 2
) 1
x
dx
11 dx
x
x
ln3 12
dx e
x x2 1
13 sin4 x cos xdx 14 dx
x
x
5
cos
sin
15 cotgxdx 16 tgxdx2 x
cos
17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20 dx
x
e x
21
3
x
x
e
dx
e
22 dx
x
e tgx
2
cos 23 1x 2 dx 24 2
4 x dx
25 x2 1x2.dx 26 2
1 x
dx
27 2
2
1 x
dx x
28 2 1
x x dx
29 cos3 xsin2 xdx 30 x x1.dx 31 x 1
e
dx
32 x3 x2 1.dx
2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp: Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số :
1 f x g x dx , trong đó : g x' f x Đặt tg x
2 f u x v x dx , trong đó : u x' v x Đặt tu x
3 f x ,m f x dx , đặt tm f x
ln ,
x
, đặt t ln x
,
f x a x dx
, đặt x a sin t hoặc xacost
Trang 36 2 2
,
f x x a dx
sin
a x
t
,
f x x a dx
, đặt xatant
Bài 1 Tính các tích phân sau
𝑥 2 𝑥 2 +4
2 3
5
2𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑥 −1
𝑙𝑛 5
𝑙𝑛 2
3 𝑠𝑖𝑛5𝑥
𝜋
2
Giải:
1 I= 52 3𝑥2𝑥𝑑𝑥 𝑥2+4
Đặt t = 𝑥2 + 4 => x2
= t2 – 4 => xdx = tdt Đổi cận x = 5 => t = 3;
x = 2 3 => t = 4
I = 34 𝑡2𝑡𝑑𝑡−4 𝑡= 34𝑡2𝑑𝑡−4= 1
4𝑙𝑛 𝑡−2 𝑡+2 |34 = 1
4𝑙𝑛5 3
2 𝐽 = 𝑙𝑛 2𝑙𝑛 5 𝑒𝑒2𝑥𝑥𝑑𝑥−1
Đặt t = 𝑒𝑥− 1 => ex = t2 +1 => exdx = 2tdt
Đổi cận x = ln 2 => t = 1; x = ln5 => t = 2
J = 2 12 𝑡2+1 𝑡𝑑𝑡𝑡 = 2 𝑡12 2+ 1 𝑑𝑡 = 2 𝑡3
3 + 𝑡 |12 = 20
3
3 𝐾 = 𝑠𝑖𝑛5𝑥
𝜋 2
Đặt t = sin x => dt = cos x dx
Đổi cận: x = 0 => t = 0; x = 𝜋
2 => t = 1
𝐼 = (1 − 𝑡2)2𝑑𝑡 1
0
= 1 − 2𝑡2+ 𝑡4 𝑑𝑡 = 8
15
1
0
Bài 2 Tính các tích phân sau: ( tự luyện )
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
Trang 43
2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5
6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
8
1
3 2
0
1
x x dx
9
3
x dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2 3 1
1 1
dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1 1
dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 x ) dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2
sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22 2
1
2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25
2
0
sin
1 3
x dx cosx
Trang 526
4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28
6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
3 2 0
1
x x dx
32
3
x dx
x
33
1
0
1
x x dx
34
2
3 1
1 1
dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln
e
x x dx x
38
2ln 1
1
e
dx x
39
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
41
2
x dx x
42
1
x dx
x
43
1
0
1
x x dx
44
1
0
1
x x
45
1
0
1
x x
46
3
1
1
x dx x
1
1 ln
e
x dx x
47
1
sin(ln )
e
x dx x
48
1
1 3ln ln
e
x x dx x
49
2ln 1
1
e dx x
50
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
51
2
1
e
dx
1
5
x x dx
Trang 653 2 4
0
54
4
2
0
4 x dx
55
4
2
0
4 x dx
1
2
0 1
dx x
57 e x dx
0
1
3 2
0
dx
e x
59
1
3 0
(2x 1)
60
1
0
x dx 2x 1
61
1
0
x 1 xdx
62
1 2 0
4x 11 dx
63
1
2 0
2x 5 dx
64
2 0
x 2x 1
65
6
0
(sin x cos x)dx
3 2
0
4sin x dx
1 cos x
67
4
2 0
1 sin 2xdx
cos x
2 4 0
cos 2xdx
69
2
6
1 sin 2x cos2xdx
sin x cosx
1 x 0
1 dx
e 1
71 4(cos x sin x)dx
0
4 4
72 4
01 2sin2
2 cos
dx x
x
73 2
02cos3 1
3 sin
dx x
x
74 2
05 2sin cos
dx x
x
75
0
2
2
3 2
2 2
x x
x
76
1
1 x2 2x 5
dx
Trang 7
77
2
0
cos xsin xdx
2 5 0
cos xdx
79
4
2 0
sin 4x dx
1 cos x
1
0
x 1 x dx
81
2
2 3 0
sin 2x(1 sin x) dx
4 4 0
1 dx cos x
83
e
1
1 ln xdx x
4
0
1 dx cosx
85
1
1 ln xdx
x
1
0
x (1 x ) dx
87
6
2 0
6 5sin x sin x
0
tg x dx cos2x
89
4
0
cos sin
3 sin 2
x x dx x
90
2
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
x
91 ln5
3
ln e x 2e x 3
dx
92
2
0(2 sin )2
2 sin
dx x
x
93 3
4
2 sin
) ln(
x
tgx
0
8
) 1
(
dx x
tg
95
2
4
2 sin 1
cos sin
x
x x
2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x
97 2
0 1 cos
cos 2 sin
dx x
x x
98 2
0
sin
cos ) cos (
xdx x
99
2
11 x 1dx
x
100 e dx
x
x x
1
ln ln 3 1
41 2sin2
Trang 8103
1
2 0
1 dx
1 x
1
2 0
1 dx
4 x
105
1
2 0
x x 1
1
0
x x 1
107
2
0
1
1 cosx sinx dx
2 2 2
2 0
1 x
109
2
1
x 4 x dx
2 3 2 2
x x 1
101
2 1
9 3x dx x
1
5 0
1 (1 x dx)
x
113
2 2 2
3
1
1dx
x x
2
0
cos
7 cos2
x dx x
115
6 0
1 1
x dx x
2 0
cos
1 cos
x dx x
117
0
1x2 2x 2
dx
118
1
01 1 3x
dx
119 2
1
dx x
x x
120
8 2 3
1
1dx
x x
121
0 1
x dx x
122
3
0
1
x x dx
123
ln2
x 0
1 dx
e 2
7 3 3 0
1
x
125
2
2 3
0
1
x x dx
126
3 2
5 x x2 4
dx