nghiên cứu về tập đóng suy rộng

Từ định nghĩa ta có nhận xét : i F đóng nếu và chỉ nếu CF ∈ τ mở; ii Giao của họ bất kỳ các tập đóng là một tập đóng; iii Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.. Không gian đều X, U

Mục Lục

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Lời cảm ơn 2

Chương I Tập đóng suy rộng và các tính chất 3 1.1 Không gian tôpô 3

1.2 Phần trong, bao đóng, tập dẫn xuất 4

1.3 ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng (mở) 6

1.4 Lưới, không gian gian đều 6

1.5 Ti-không gian 8

Chương II Tập mở suy rộng và T1 2 - không gian 19 2.1 Tập g-mở 19

2.2 T1 2 - không gian 23

2.3 ảnh của g-đóng (mở) qua ánh xạ liên tục 26

2.2 Không gian đối xứng 29

Lêi nãi ®Çu

Lêi c¶m ¬n

TËp hîp X cïng víi kh«ng gian t«p« trªn X ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«.

ii) Giao cña mét sè h÷u h¹n c¸c tËp më lµ mét tËp më;

iii) Hîp cña mét hä tïy ý c¸c tËp më lµ mét tËp më

1.1.4 §Þnh nghÜa ). Cho A ⊆X vµ V ⊆X V ®−îc gäi lµ l©n cËn cña tËphîp A nÕu tån t¹i G ∈ τ sao cho A ⊆G ⊆V

NÕu A={x} th× V ®−îc gäi lµ l©n cËn cña x NÕu V lµ tËp më th× V lµ

l©n cËn më cña A

1.1.5 Định lý ([1]). G là một tập hợp mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mỗi điểm thuộc G.

1.1.6 Nhận xét. i) Hợp các lân cận của x cũng là một lân cận của x;ii) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x

1.1.7 Định nghĩa. F ⊆X đ−ợc gọi là tập đóng nếu CF ∈ τ

1.1.8 Nhận xét. Từ định nghĩa ta có nhận xét :

i) F đóng nếu và chỉ nếu CF ∈ τ mở;

ii) Giao của họ bất kỳ các tập đóng là một tập đóng;

iii) Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng

1.2.1 Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈X và A ⊆X x đ−ợc

gọi điểm trong của A nếu tồn tại G ∈ τ sao cho x ∈G ⊆A (tức x nhận A

làm lân cận)

1.2.2 Định nghĩa. Phần trong của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểmtrong của A Ký hiệu intA hoặc A0

1.2.3 Định lý. intA là tập mở lớn nhất chứa trong A.

1.2.4 hệ quả. i) intA = S{G : G ⊆A};

ii) G mở nếu và chỉ nếu G = intG

1.2.5 Định lý. i) int∅ = ∅;

ii) Với mọi A, B ⊆X, ta có

a) int(intA) = intA;

b) Nếu A ⊆ B suy ra intA ⊆ intB;

c) int(A ∩ B) = intA ∩ intB;

d) int(A ∪ B) ⊇ intA ∪ intB

1.2.6 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và A ⊆ X Giao của họ

các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A Kí hiệu: [A] hoặc A

hoặc c(A)

1.2.7 Nhận xét. i) c(A) là tập đóng bé nhất chứa A;

ii) A đóng nếu và chỉ nếu c(A) = A.

1.2.8 Định lý. Cho không gian tôpô (X, τ ), A ⊆ X và B ⊆ X

i) c(∅) = ∅, c(X) = X,

ii) c(c(A)) = c(A);

iii) A ⊆ B suy ra c(A) ⊆ c(B);

iv) c(A ∪ B) = c(A) ∪ c(B);

v) c(A ∩ B) ⊆ c(A) ∩ c(B)

1.2.9 Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô và tập A ⊆ X Điểm x gọi

là điểm tụ của tập hợp A nếu x ∈ c(A − {x}) Tập hợp tất cả các điểm tụ của A gọi là tập dẫn xuất của tập A, kí hiệu Ad

Tập hợp A − Ad gọi là tập hợp các điểm cô lập của tập hợp A.

1.2.10 Định lý. Cho X là không tôpô A ⊆ X Khi đó

c(A) = A ∪ Ad

1.3.2 Định lý. Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y Khi đó, f liên tục tại điểm x0 ∈X nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận W của

f (x0) (trong Y ) thì fư1(W ) là lân cận của x0 (trong X).

1.3.3 Định lý. Giả sử (X, τx) và (Y , τy) là hai không gian tôpô và f là

ánh xạ từ X vào Y Các mệnh đề sau đây là tương đương

a) ánh xạ f liên tục trên X;

b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở;

c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng là một tập đóng;

d) Với mỗi A ⊆ X suy ra f (c(A)) ⊆ c(f (A));

e) Với mỗi B ⊆ Y suy ra fư1(B0) ⊆ (fư1(B))0.

1.3.4 Định nghĩa. Cho hai không gian tôpô X và Y , ánh xạ f : X → Y

được goi là ánh xạ đóng (mở) nếu mỗi tập A đóng (mở) trong X đều có

f (A) là tập đóng (mở) trong Y

1.4.1 Định nghĩa. Cho tập D và quan hệ ≥ Cặp (D, ≥) được gọi là

tập có hướng nếu thoả mãn các điều kiện sau :

i) Nếu m, n, p∈ D và m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;

ii) m ≥ m với mọi m ∈ D;

iii) m, n ∈ D thì tồn tại p ∈ D sao cho p ≥ m và p ≥ n

1.4.2 Định nghĩa. i) Cho tập hợp X và tập có hướng (D, ≥) Hàm

S : D → X được gọi là lưới trong X và kí hiệu là {Sα}α∈D hoặc S

ii) Cho X là không gian tôpô Lưới {Sα}α∈D trong X được gọi là hội

tụ về điểm x ∈ X nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại α0 ∈ D saocho Sα ∈ U với mọi α ≥ α0 Lúc đó, ta kí hiệu limSα = x hoặc limS = x

1.4.3 Định nghĩa. Cho X là tập hợp và A ⊆ X Gọi U , V là các tập concủa X ì X Ta định nghĩa

Uư1 = {(x, y) ∈ X ì X : (y, x) ∈ U };

U ◦V = {(x, z) ∈ X ìX: tồn tại y ∈ X thỏa (x, y) ∈ V và (y, z) ∈ U };

U [A] = {y ∈ X : tồn tại x ∈ A để (x, y) ∈ U };

Tập hợp ∆X = {(x, x) : x ∈ X} gọi là đường chéo;

Nếu U = Uư1 thì U được gọi là tập đối xứng

1.4.4 Định nghĩa. Không gian đều là một cặp (X, U ) trong đó X là mộttập hợp, U là một họ những tập con của X ì X thoả mãn các điều kiệni) Nếu U ∈ U thì U ∈ ∆X;

ii) Nếu U ∈ U thì Uư1 cũng thuộc U ;

iii) Nếu U ∈ U thì tồn tại V ∈ U sao cho V ◦ V ⊆ U ;

iv) Nếu U , V ∈ U thì U ∩ V ∈ U ;

v) Nếu U ∈ U và U ⊆ V ⊆ X ì X thì V ∈ U

1.4.5 Định nghĩa. Cho (X, U ) là không gian đều Lưới {Sα}α∈D trong

không gian X được gọi là lưới cauchy nếu mỗi U ∈ U đều tồn tại γ ∈ D

sao cho (Sα, Sγ) ∈ U với mọi α ≥ γ và β ≥ γ

1.4.6 Định nghĩa. Không gian đều (X, U ) gọi là đầy đủ nếu mỗi lưới

cauchy trong X đều hội tụ về một điểm nào đó

1.5.1 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T0-không gian nếu vớimỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian, luôn tồn tại lân cận của mộttrong hai điểm không chứa điểm kia

1.5.2 Nhận xét X là T0-không gian nếu và chỉ nếu với mỗi x, y ∈ X,

x 6=y ta có x 6∈ c(y) hoặc y 6∈ c(x)

1.5.3 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu vớimỗi cặp x, y khác nhau của không gian, luôn tồn tại một lân cận của xkhông chứa y và một lân cận của y không chứa x

1.5.4 Nhận xét. X là T1-không gian nếu và chỉ nếu với mỗi x, y ∈ X,

1.5.7 Định nghĩa. Không gian tôpô X là không gian chính qui nếu với

mỗi điểm x ∈ X và với mỗi tập đóng F không chứa x luôn tồn tại lân cận

U của x và lân cận V của F sao cho U ∩ V = ∅

1.5.8 Định lý. X là không gian chính qui nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ X,

với mỗi tập mở V 3 x, tồn tại tập mở U sao cho x ∈ U ⊆ c(U ) ⊆ V

1.5.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc nếu với

hai tập đóng bất kỳ A, B rời nhau trong X luôn tồn tại tập mở U chứa A

và tập mở V chứa B sao cho U ∩ V = ∅

1.5.10 Định lý. X là không gian chuẩn tắc nếu và chỉ nếu với mỗi tập

đóng A, với mỗi tập mở G thì luôn tồn tại tập mở U sao cho A ⊆ U ⊆

c(U ) ⊆ G

compact

1.6.1 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X Họ U các tập nào đó gọi là

cái phủ của tập B nếu hợp tất cả các tập thuộc U chứa B

Nếu tất cả các tập hợp thuộc U là tập mở (đóng) thì U gọi là một

phủ mở (đóng) của tập hợp B

1.6.2 Định nghĩa. Một không gian tôpô có tính chất từ mỗi phủ mở đều

rút ra đ−ợc phủ con đếm đ−ợc đ−ợc gọi là không gian lindelof.

1.6.3 Định nghĩa. Không gian tôpô (X, τ ) đ−ợc gọi là không gian compact

nếu mỗi phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn

1.6.4 Định nghĩa. (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊆ X và A 6= ∅

A đ−ợc gọi là tập compact trong X nếu A với tôpô cảm sinh trên A bởi

tôpô trên X là không gian compact

1.6.5 Định lý. Tập hợp con A của không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi phủ mở của A đều có phủ con hữu hạn.

1.6.6 Định lý. Mỗi tập con đóng K của không gian compact X đều là tập đóng.

1.6.7 Định lý. Nếu A là tập compact trong X chính qui thì với mỗi tập

mở G chứa A, luôn tồn tại tập mở U sao cho A ⊆ U ⊆ c(U ) ⊆ G.

1.6.8 Định lý. Cho hai không gian X, Y và một ánh xạ liên tục f từ X vào Y Nếu K là compact trong X thì f(K) là compact trong Y.

1.6.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X là không gian compact địa phương

nếu mỗi x ∈ X đều tồn tại một lân cận đóng và compact

1.6.10 nhận xét. Nếu X là không gian compact thì X là không giancompact địa phương

Đ2 Định nghĩa và các tính chất của tập g-đóng

2.1.1 Định nghĩa ([3]). Cho X là không gian tôpô Một tập con A của

không gian X gọi là tập đóng suy rộng (tập g-đóng) nếu với mỗi tập mở

O của X mà A ⊆ O thì c(A) ⊆ O

2.1.2 Nhận xét. Mỗi tập đóng của không gian tôpô là tập g-đóng

2.2.1 Định lý ([3]). Cho X là không gian tôpô và A ⊆ X Khi đó, tập A

là g-đóng nếu c(A) − A là không chứa tập đóng khác rỗng

Chứng minh Điều kiện cần Cho F là tập đóng trong X và F ⊆c(A) − A, ta cần chứng minh F = ∅ Thật vậy, vì F đóng nên CF mở.Theo giả thiết, do A là g-đóng nên nếu A ⊆ CF thì c(A) ⊆ CF Từ đó suy

ra F ⊆ Cc(A) (1) Mặt khác, vì F ⊆ c(A) − A nên F ⊆ c(A) (2) Từ (1)

và (2) suy ra F ⊆ c(A) ∩ Cc(A) = ∅ Nghĩa là F = ∅

Điều kiện đủ Giả sử A ⊆ O với O là tập mở trong X và c(A) − Akhông chứa tập đóng khác rỗng, ta phải chứng minh c(A) ⊆ O Thật vậy,giả sử c(A) * O Khi đó, c(A) ∩ CO ⊆ c(A) − A và c(A) ∩ CO là tập đóngkhác rỗng Điều này mâu thuẫn với giả thiết là c(A) − A không chứa tập

đóng khác rỗng Suy ra c(A) ⊆ O Vậy, A là g-đóng

2.2.2 Hệ quả ([3]). Cho X là không gian tôpô và A là g-đóng trong X Khi đó, A là tập đóng nếu và chỉ nếu c(A) - A là tập đóng

Chứng minh Điều kiện cần Với A là tập đóng, khi đó vì c(A) = Asuy ra c(A) − A = ∅ - đóng

Điều kiện đủ Với c(A) − A là tập đóng Khi đó, vì A là g-đóng vàc(A) − A ⊆ c(A) − A nên theo định lí 1.2.3, c(A) − A = ∅ hay c(A) = A,suy ra A là tập đóng.

2.2.3 Hệ quả. Tập con A của không gian tôpô X là tập g-đóng nếu và chỉ nếu A = F − N , trong đó F là tập đóng và N không chứa tập đóng khác rỗng nào

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A là tập g-đóng trong không giantôpô X, khi đó theo định lí 1.2.3 thì c(A) − A không chứa tập đóng khácrỗng nào Đặt F = c(A), N = c(A) − A Ta có A = F − N , trong đó F

là tập đóng và N không chứa tập đóng khác rỗng nào cả

Điều kiện đủ. Giả sử A = F − N trong đó F là tập đóng và N khôngchứa tập đóng khác rỗng nào Khi đó, với O là tập mở trong X sao cho

A ⊆ O, ta có (F − N ) ∩ (X − O) = ∅ Suy ra F ∩ (X − N ) ∩ (X − O) = ∅

Điều này kéo theo F ∩ (X − O) ⊆ N Mặt khác, vì (X − O) ∩ F là tập đóng

và N không chứa tập đóng khác rỗng nào nên suy ra (X − O) ∩ F = ∅ Vìthế c(A) ⊆ F ⊆ O Vậy, A là g-đóng

2.2.4 Hệ quả. Mỗi g-đóng trong T1-không gian là tập đóng.

Chứng minh. Với A là tập g-đóng trong T1-không gian X, ta cần chứngminh A là tập đóng Thật vậy, giả sử ng−ợc lại A không là tập đóng, nghĩa

là c(A) − A 6= ∅ Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho {x} ⊆ c(A) − A Vìtập một điểm trong T1-không gian là tập đóng nên c(A) − A chứa tập đóngkhác rỗng Điều này mâu thuẫn với định lý1.2.3 Vậy, A là tập đóng

2.2.5 Định lý ([3]). Cho X là không gian tôpô, A và B là các g-đóng trong X Khi đó, A ∪ B là g-đóng

Chứng minh Giả sử A ∪ B ⊆ O với O là tập mở trong X, ta cần chứngminh c(A ∪ B) ⊆ O Thật vậy, vì A và B là g-đóng trong X mà A ⊆ O

và B ⊆ O (do A ∪ B ⊆ O) ta được c(A) ⊆ O và c(B) ⊆ O Suy rac(A) ∪ c(B) = c(A ∪ B) ⊆ O Vậy, A ∪ B là g-đóng

2.2.6 Ví dụ. Giao của hai g-đóng thường không là g-đóng Thật vậy, cho

X = {a, b, c} và τ = {∅, {a}, X} Nếu A = {a, b} và B = {a, c} khi đó

A, B là các g-đóng nhưng A ∩ B không là g-đóng Dưới đây là phần chứngminh cho các kết quả vừa nêu

A{a, b} là g-đóng Thật vậy, chọn tập O = X- mở mà A ⊆ X, khi đóc(A) ⊆ c(X) = X suy ra A là g-đóng Tương tự B={a, c} là g-đóng Bây

giờ, xét A ∩ B = {a} Chọn O = {a}-mở, ta có {a} ⊆ {a} = O Khi đó,c(A ∩ B) = c({a}) * {a} Vậy, A ∩ B không là g-đóng

ra c({x}) ∩ c(A) = ∅ Do đó {x} ∩ c(A) = ∅ Điều này mâu thuẫn với

x ∈ c(A) Vậy với mỗi x ∈ c(A), c({x}) ∩ c(A) 6= ∅

Điều kiện đủ. Với mỗi x ∈ c(A), c({x}) ∩ A 6= ∅ Ta cần chứng minh A

là g-đóng Thật vậy, giả sử F ⊆ c(A) ư A với F là tập đóng khác rỗng Khi

đó, tồn tại điểm x ∈ F ⊆ c(A) ư A Từ đó ta có c({x}) ⊆ F ⊆ c(A) ư A.Suy ra ∅ 6= c({x}) ∩ A ⊆ F ∩ A ⊆ (c(A) ư A) ∩ A = ∅ Vô lý Chứng tỏc(A) ư A không chứa tập đóng khác rỗng nào cả, theo định lý 1.2.3, A làg-đóng

2.2.8 Định lý ([3]). Giả sử B ⊆ A ⊆ X, B là g-đóng trong A, A là g-đóng trong X Khi đó, B là g-đóng trong X.

Chứng minh Giả sử B là g-đóng trong A, A là g-đóng trong X, tacần chứng minh B là g-đóng trong X, nghĩa là cần chứng minh c(B) ⊆ Ovới O là tập mở trong X và B ⊆ O Khi đó, vì B ⊆ A nên B ⊆ A ∩ O

- mở trong A, và vì B là g-đóng trong A nên c(B) ⊆ A ∩ O, suy ra

A ∩ c(B) ⊆ A ∩ O và A ⊆ O ∪ Cc(B) Mặt khác, do A là g-đóng trong Xnên ta có c(A) ⊆ O ∪ Cc(B) Vì c(B) ⊆ c(A) ⊆ O ∪ Cc(B) nên c(B) ⊆ O.Vậy, B là g-đóng trong X

2.2.9 Hệ quả. Cho X là không gian tôpô và A là một tập g-đóng trong

X và F là tập đóng Khi đó, A∩F là g-đóng.

Chứng minh Vì F đóng nên A ∩ F đóng trong A Với mọi O mở mà

A ∩ F ⊆ O, ta có c(A ∩ F ) ⊆ O (A ∩ F đóng), suy ra A ∩ F là g-đóngtrong A Ta có A ∩ F ⊆ A ⊆ X và A ∩ F là g-đóng trong A, A là g-đóngtrong X nên theo định lí 1.2.10, A ∩ F là g-đóng trong X

2.2.10 Định lý ([3]). Nếu A là g-đóng và A ⊆ B ⊆ c(A) thì B là g-đóng

Chứng minh Do B ⊆ c(A) nên c(B) ⊆ c(c(A)) = c(A) c(B) ⊆ c(A)

Từ A ⊆ B ⊆ c(A), ta có A ⊆ B ⊆ c(B) ⊆ c(A), suy ra c(B) − A ⊆c(A) − A, dẫn đến c(B) − B ⊆ c(A) − A Vả lại, A là g-đóng nên c(A) − Akhông chứa tập đóng khác rỗng, do đó c(B) − B cũng không chứa tập đóngkhác rỗng, theo định lý 1.2.3, B là g-đóng

2.2.11 Định lý ([3]). Cho A ⊆ Y ⊆ X và giả sử rằng A là g-đóng trong

X Khi đó, A là g-đóng trong Y

Chứng minh Giả sử A ⊆ Y ∩O với O mở trong X Khi đó, A ⊆ O, dẫn

đến c(A) ⊆ O (A là g-đóng trong X) Điều này kéo theo Y ∩c(A) ⊆ Y ∩O

Do A ⊆ Y suy ra A ∩ Y ⊆ c(A) ∩ Y = c(A) ⊆ Y ∩ O ⊆ Y Suy rac(A) ⊆ Y ∩ O ⊆ Y Vậy, A là g-đóng trong Y

2.2.12 Định lý. Cho X là không gian tôpô và A ⊆ X Khi đó, tập dẫn xuất Ad của A là tập g-đóng.

Chứng minh Trước hết chứng minh khẳng định sau : Nếu Ad ⊆ O với

O là tập mở nào đó thì Add ⊆ O, trong đó Add

là tập dẫn xuất của tập hợp

Ad Thật vậy, giả sử có x ∈ Add nhưng x 6∈ O, khi đó x 6∈ Ad Suy ratồn tại lân cận U của x sao cho U ∩ (A ư {x}) = ∅ Điều này kéo theo(U ∩ A) ư (U ∩ {x}) = ∅, hay (U ∩ A) ư {x} = ∅ Từ đó ta có U ∩ A ⊆ {x}.Lại vì x ∈ Add nên ta có U ∩(Adư{x}) 6= ∅ Suy ra (U ∩Ad)ư{x} 6= ∅ nêntồn tại y ∈ X sao cho y ∈ U ∩Ad∩(X ư{x}) ⊆ U ∩O Vì y ∈ Ad và Y ∩O

là lân cận của y nên ∅ = A ∩ U ∩ O ∩ (X ư {y}) ⊆ A ∩ U ⊆ {x} Do vậyA∩U ∩O∩(X ư{y}) = {x} Điều này mâu thuẫn với x 6∈ O Vậy Add ⊆ O

Từ khẳng định trên và theo định lý 1.1.8, ta có c(A)d = Ad ∪ Add ⊆ O.Vậy Ad là tập g-đóng

2.2.13 Định lý. Trong không gian tôpô (X, τ ), τ = τF (các tập đóng) nếu

và chỉ nếu mọi tập con của X là g-đóng

Chứng minh Điều kiện cần Với τ = τF và A ⊆ X Ta cần chứngminh A là g-đóng Thật vậy, giả sử A ⊆ O ∈ τ , suy ra c(A) ⊆ c(O) Vì

τ = τF nên O ∈ τF, suy ra O là tập đóng, do đó c(O) = O nên c(A) ⊆ O.Vậy, A là g-đóng

Điều kiện đủ Giả sử O là tập g-đóng bất kỳ trong X, O ∈ τ Khi đó,vì O ⊆ O và O là g-đóng, nên c(O) ⊆ O Nhưng O ⊆ c(O) nên c(O) = Ohay O đóng, do đó O ∈ τF, suy ra τ ⊆ τF Ngược lại, nếu lấy F ∈ τF.Khi đó, CF ∈ τ ⊆ τF suy ra CF ∈ τF, dẫn đến CF đóng, do đó F mở suy

ra F ∈ τ nên τF ⊆ τ Vậy, τ = τF

Đ3 các tính chất của tập g-đóng trong không gian

tôpô

3.1.1 Định lý ([3]). Cho (X, τ ) là không gian tôpô compact và giả sử A

là g-đóng trong X Khi đó, A compact

Chứng minh Giả sử A là g-đóng trong X, ta chứng minh A là tậpcompact

Giả sử Φ là phủ mở của A Khi đó, A ⊆ ∪Φi (i∈ K) Vì A là đóng trong

X nên c(A) ⊆S Φi(i ∈ K) Vì c(A) là tập đóng trong không gian compactnên c(A) là tập compact, do đó từ phủ mở Φ của c(A) lấy ra đ−ợc phủ conhữu hạn : c(A) ⊆ O1∪ O2 ∪On với Oi ∈ Φ mà A ⊆ c(A) ⊆ O1 ∪ O2

∪ On với Oi ∈ Φ, suy ra A ⊆ ∪ Oi Vậy, A là tập compact

3.1.2 Định lý. Cho (X, τ ) là không gian lindelof (paracompact hoặc pact đếm đ−ợc) và giả sử A là g-đóng của X Khi đó, A là lindelof (para- compact hoặc compact đếm đ−ợc)

3.2.1 Định lý ([3]). Cho (X, τ ) là không gian chuẩn tắc và giả sử Y là g-đóng của X Khi đó, (Y , Y ∩ τ ) là chuẩn tắc.

Chứng minh. Cho E và F đóng trong X và E ∩ F = ∅ Giả sử(Y ∩ E) ∩ (Y ∩ F ) = ∅ Khi đó, Y ⊆ (E ∩ E) ∈ τ Mặt khác, Y là g-đóngtrong X nên c(Y ) ⊆ c(E ∩ F ) Do đó, (c(Y ) ∩ E) ∩ (c(Y ) ∩ F ) = ∅ Từ(X, τ ) là không gian chuẩn tắc và c(Y ) ∩ E, c(Y ) ∩ F là các tập đóng, tồn