Bài giảng đường cong KLOTOIDE

Có một số lợng vô hạn đờng klotoide tơng tự nhau về mặt hình học, khi phóng to hoặc thu nhỏ thì chiều dài của đờng cong thay đổi tỉ lệ thuận với thông số, tất cả các góc và những trị số

Đờng klotoide

Đờng klotoide là đờng phù hợp nhất để làm đờng cong chuyển tiếp trong số các

đờng cong đã đợc nghiên cứu từ trớc đến nay Đối với đờng ôtô có tốc độ tính toán

từ 60km/h trở lên nó là một yếu tố tuyến quan trọng để cải thiện hình dạng đờng

ôtô.Trong đoạn sử dụng của đờng cong này nó lệch rất ít so với bánh chuyển hớng của xe ô tô trong quá trình xe tăng hoặc giảm tốc (xem hình 21) Ngời ta sử dụng đ-ờng klotoide không chỉ để làm đờng cong chuyển tiếp mà còn sử dụng làm yếu tố tuyến Ông Max.v Leber nghiên cứu đờng klotoide ngay từ năm 1860 Trong xây dựng đờng ô tô đờng cong này đợc ông L.Oerley sử dụng năm 1937 vì lý do động lực học chạy xe, nhng do khó thực hiện nên nó đợc thay bằng đờng cong tròn nhiều bán kính (tiêu chuẩn thiết kế đờng Đức năm1937) Chỉ sau khi bảng cắm đờng cong klotoide đợc xuất bản thì nó mới đợc sử dụng trong thực tế Bảng cắm đờng cong hoàn chỉnh đầu tiên đợc xuất bản năm 1954 bởi các tác giả H.Kasper, W.Schrba và H.Lorenz

Một xe chạy với tốc độ không đổi và bánh chuyển hớng của nó quay với tốc độ góc không đổi sẽ vẽ lên quỹ đạo của đờng cong klotoide Đó là một đờng cong mà

độ cong liên tục tăng lên đều đặn theo cùng một hớng từ 1/R=0 đến 1/R= (xem hình 24) Tích số của chiều dài đờng cong và bán kính tại điểm đang xét là một hằng số:

L.R = kosntantHằng số khi định nghĩa đờng cong đợc thay bằng một thông số viết dới dạng bình phơng (tơng tự nh là vế trái của phơng trình) Theo đó lập đợc phơng trình của đờng cong klotoide :

Thông số đờng cong klotoide :

L R

có chức năng giống hệt nh bán kính R của đờng cong tròn, nó phục vụ cho việc

phóng to thu nhỏ đờng cong Có một số lợng vô hạn đờng klotoide tơng tự nhau về

mặt hình học, khi phóng to hoặc thu nhỏ thì chiều dài của đờng cong thay đổi tỉ lệ

thuận với thông số, tất cả các góc và những trị số tơng quan khác giữ nguyên không

đổi (hình 25) Góc giữa một đờng tang và đờng tang chính tại bất kỳ một vị trí nào

có trị số khác nhau, nó tăng lên cùng với chiều dài đờng cong khi thông số đờng

cong không đổi theo quy luật:

Chuyển sang góc:

biết hai đại lợng xuất phát bất kỳ có thể tìm đợc tất cả những giá trị khác còn lại:

Một điểm trên đờng klotoide mà tại đó có R=L=A gọi là điểm đặc trng Góc

có thể xác định đợc thông số của bất kỳ một đờng klotoide

nào bằng cách đo chiều dài L đến điểm tiếp xúc của đờng

τ

R

L Grad

2 6620 , 63

= τ

L R

R

A L

ˆ

R

A

= τ

+Y

+X -X

+A 2π

- A 2π

- A 2π π2 A

grad

R=0 8 L=

-L +L R=

L= 0 _+ 8 Đường tang chính

Theo hình 26 đợc biết là đờng klotoide từ điểm xuất pháp (điểm chuyển) đến

điểm hình dạng 6 và 4 (góc 1 grad

hoặc 2 grad) không phù hợp để làm

đờng cong chuyển tiếp Ngợc lại

đoạn đờng klotoide vợt quá điểm

đặc trng 1 có sự thay đổi bán kính

quá lớn Nó rất ít khi đợc sử dụng

để cấu tạo những đờng cong trong

đờng ô tô, trong đờng tầu điện đôi khi ngời ta có dùng Phạm vi sử dụng thông ờng nhất của đờng klotoide với t

th-cách là yếu tố tuyến trong xây

dựng đờng ô tô nằm giữa các

đối với các điều kiện vạch tuyến

thông thờng trung bình ở những

điều kiện địa hình rất khó hoặc là

ở nút giao thông thì thờng sự thay đổi hớng sẽ lớn hơn đến mức phải sử dụng đờng klotoide quá điểm đặc trng 1 (ví dụ quay đầu ở địa hình núi)

- Điều kiện thứ nhất để xác định thông số của đờng klotoide dùng làm yếu tố tuyến đờng ô tô rút ra từ các khả năng sử dụng trung bình của đờng klotoide Nó dựa chủ yếu trên những yêu cầu về hình dáng đờng Từ những yêu cầu đã nói trên các nhánh klotoide nằm giữa các điểm đặc trng 3 và 1 nên đợc sử dụng chúng ta có

điều kiện sau đây:

1 Điều kiện thứ nhất:

R A

Hình 2 : Các nhánh đường klotoide có độ lớn khác nhau (A1 < A2 < A3) và chung một đường tang

A = L đến 3L.

Khi các bán kính đờng cong tròn nhỏ nên chọn các thông số ở cận trên

Điều kiện tiếp theo xuất phát từ những yêu cầu động lực học chạy xe vì lý do an

Từ đó, chúng ta có điều kiện 2 đối với A:

2 Điều kiện thứ hai:

3 min 0 , 17 VE

2

.

max min

b p

q q

b R

Tính theo ba điều kiện trên ta đợc các trị số trên bảng 15 ( các giả định: b =

Từ các trị số ở bảng 15, chúng ta thấy rằng khi bán kính đờng cong tròn nhỏ (<300m) các ảnh hởng về động lực học chạy xe và xây dựng quyết định các thông

số tối thiểu của đờng klotoide Khi quyết định các trị số sử dụng thông thờng trong thiết kế nên chú ý đến điều đó

Bảng 15 Thông số đờng klotoide theo 3 điều kiện

8255

9866

11271

12483

14296

158107

194112

225130

Tọa độ vuông góc của đờng klotoide là Fres Intergrale và không có lời giải chính xác Để tính toán X và Y các chuỗi giảm nhanh sau đây:

5

+

− +

−

=

A

L A

L L X

42240 336

11 6

7 2

3

+

− +

−

=

A

L A

L A

L Y

Hình 27 các yếu tố cấu trúc của đờng klotoide

Các biểu diễn nói chung của đờng klotoide xuất phát từ quan điểm rằng chỉ sử dụng nhánh nằm trên góc vuông thứ nhất của đờng klotoide làm yếu tố đờng ô tô Kích thớc hình học của đờng klotoide đợc vẽ thống nhất theo quy trình thiết kế Trong hình 27 các ký hiệu đợc hiểu

nh sau:

R: bán kính đờng cong tròn

f: khoảng cách từ đờng cong tròn

đến đờng tang (độ dời của đờng cong

tròn)

đ-ờng klotoide

tiếp

G: đờng thẳng

K: đờng klotoide , GK là điểm bắt đầu của đờng cong chuyển tiếp

B: đờng cong tròn, KB là điểm kết thúc đờng cong chuyển tiếp

Độ dời của đờng cong tròn f đợc thông tính toán từ công thức:

Cũng có thể dùng các công thức gần đúng để xác định, các công thức gần đúng này đạt đợc độ chính xác của các bảng tra nếu chỉ sử dụng nhánh klotoide đến điểm

Các công thức xác định các yếu tố cấu trúc khác đợc suy ra từ công thức cơ bản tuỳ theo điều kiện địa hình

Hình 28: Bình đồ và đờng biểu diễn độ cong của đờng klotoide

Việc sử dụng đờng klotoide làm yếu tố tuyến trong xây dựng đờng ô tô chỉ đợc bắt đầu khi xuất bản các bảng cắm đờng cong Các xuất phát điểm của các bảng này

là các công thức cơ bản của đờng klotoide với thông số A = 1, đờng klotoide đơn vị

Để tính cho các đờng cong klotoide nhỏ hơn hoặc lớn hơn thực hiện bằng cách nhân các trị số trong bảng với thông số thực của chúng Bảng đầy đủ nhất là của tác giả Kasper, Schurba và Lorenz Với độ dài đờng cong thay đổi theo bớc 1/1000 từ l =

tính toán cắm tuyến ngời ta dùng các sổ tay cắm đờng klotoide rất tiện lợi

Các giá trị của đờng klotoide đơn vị đợc biểu thị bằng các chữ cái nhỏ Đối với những nhiệm vụ cắm tuyến thực tế tuỳ thuộc vào các

điều kiện ban đầu (khi cắm tuyến mới, khi nâng cấp

cải tạo đờng, khi điều kiện địa hình hạn chế v v )

ngời ta làm việc với những đại lợng nhất định sau

8

1 E

k = R X

k = X R

E R

X

R

Hình 5 : Bình đồ và đường biểu diễn

độ cong của đường klotoide

- Độ dịch chuyển đờng cong f

Các tài liệu tham khảo đã dẫn chỉ ra rằng cần phải biết đợc hai trong số các đại ợng đã kể trên khi tính toán đờng klotoide (xác định khi thị sát hay là thiết kế sơ bộ tuyến)

l-Phần lớn các trờng hợp trong thực tế sử dụng đờng klotoide đều đợc thực hiện với các thông số và với bán kính đờng cong tròn là số nguyên dơng Dựa vào đấy ngời

ta xây dựng các bảng cắm đờng klotoide bao quát và dễ sử dụng Các bảng này chứa những giá trị đã tính sẵn cho các đờng klotoide với các thông số hay sử dụng nhất để ngời thiết kế lựa chọn Mối liên hệ với bảng klotoide đơn vị đợc xác lập

- Bảng - A (70 đờng klotoide tiêu chuẩn, A = 15 đến A = 3000)

Đó là các bảng klotoide tiêu chuẩn có thông số A nguyên sắp xếp theo bán kính

đờng cong tròn nối R nguyên Mỗi một bảng chứa các giá trị của một đờng klotoide

- Bảng - L (60 đờng klotoide tiêu chuẩn, A = 15 đến A = 3000)

Các bảng L là các bảng cắm đờng cong đợc chia theo các đoạn nguyên của R

- Bảng - R (65 bán kính nguyên, R = 15 đến R = 10000)

Mỗi một bảng chứa một loại các đờng klotoide phù hợp đối với bán kính đờng

Để tiếp tục giảm nhẹ công việc với đờng klotoide ngời ta chế tạo ra thớc mẫu klotoide có các thông số nguyên hay sử dụng

nhất Thớc này đợc tạo thành từ hai đoạn liên

kết với nhau và có dạng đờng cong chữ S Với

cái thớc ấy có thể vẽ đợc các nhánh đờng

klotoide theo cả hai chiều (hình 29) Thớc mẫu

klotoide có tỉ lệ 1:100 (tất cả các kích thớc tính

bằng m), khi sử dụng với các tỉ lệ khác phải tính

đổi thông số và bán kính Thông số của đờng klotoide khi đó thay đổi giống nh sự thay đổi tỉ lệ vẽ.

Hình 29: Thớc vẽ đờng klotoide

Các ví dụ:

Các đờng thẳng, đờng cong tròn, đờng klotoide đợc sử dụng làm các yếu tố tuyến khi thiết kế đờng ô tô thoả mãn đợc tất cả các nhiệm vụ đặt ra đối với đờng ở các mục dới đây trình bày những sự phối hợp quan trọng nhất của các yếu tố tuyến nói trên.

2.2.3.1 Đờng cong tròn

Sự sử dụng các đờng cong tròn đơn giản để thiết kế đờng cong do những nhợc

điểm đã biết chỉ nên hạn chế trong những trờng hợp đặc biệt Những trờng hợp ấy

có thể là:

- Đờng cong ở những vị trí địa hình hạn chế đặc biệt, tại đó đờng klotoide

- Đờng cong có bán kính rất lớn

Nhằm khắc phục ấn tợng đờng bị gẫy phải đảm bảo chiều dài dờng cong đủ lớn

2.2.3.2 Đờng cong tròn nhiều thành phần.

Đờng cong tròn nhiều thành phần có phạm vi sử dụng giống nh đờng cong tròn (đờng biểu diễn độ cong xem hình 22)

Bởi vậy đờng cong nhiều thành phần cũng chỉ nên dùng trong những trờng hợp

đặc biệt (địa hình hạn chế)

2.2.3.3 Đờng cong tròn với các đờng cong chuyển tiếp

Dạng thông dụng nhất của tổ hợp đờng cong là một đờng cong tròn kẹp giữa hai nhánh đờng cong chuyển tiếp Các đờng klotoide có thể có thông số giống nhau hoặc khác nhau Khi thông số đờng klotoide khác nhau (đờng cong không đối xứng) thì để đảm bảo mỹ quan tỷ

Cũng vì lý do mỹ quan cần phải

chú ý đến chiều dài tối thiểu của

đờng cong tròn chêm giữa (xem

Cung tròn

Hình 7 : Bình đồ và đường biểu diễn độ cong của tổ hợp đường cong

k= 1 R

Cấp đờng I II III

Bảng 19 Các trị số quy định (bán kính đờng cong tròn và thông số đờng cong

G G

T

α τ β α

R

R+f

2 K

Hình 8 : Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp

đường cong đối xứng

1)So sánh với trị số tối thiểu ở bảng 15.

Tất cả các trị số của đờng klotoide đợc lấy trong các bảng hớng dẫn

Nếu địa hình thực tế đòi hỏi phải dùng các nhánh đuờng cong klotoide không

2 đờng cong (hình 32) và xuất hiện hai độ dời đờng cong tròn khác nhau Theo hình

' 1

β

tg f R

2)

' 2

β

tg f R

d t X

1 1

2 2 2

)

β

Hình 31: các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đờng cong đối xứng

Để đơn giản cho công tác cắm tuyến nên chọn R và A nguyên Nếu trong thực tế không thể thực hiện đợc điều đó, ví dụ chiều dài đờng tang cần phải chính xác đối với một hoặc là cả hai phía của đờng cong, thì nên u tiên thông số đờng klotoide nguyên còn bán kính đờng cong tròn có thể không nguyên, bởi vì cả hai nhánh đ-ờng klotoide hợp lại thành một đoạn tuyến dài hơn

Để tính toán đầy đủ cho trờng hợp cha biết thông số thiết kế ở địa hình hạn chế

có thể sử dụng các công thức gần đúng trong tài liệu tham khảo số /14/, phạm vi sử dụng của nó cho đến góc tiếp tuyến bằng 150 grad

Hình 32: sự dịch chuyển của điểm hai đờng tang

cắt nhau khi tổ hợp đờng cong không đối xứng

f f R

f

f X

.6

2

≈

)

3 ).(

3 (

)4

.(

.2

.3662,63

R

f R

f

τ

f f R

T β β

200 - 2

t' 2

β

200 - 2

f 2

Đườ ang

2.2.3.4 Tổ hợp đờng cong hai nhánh đờng klotoide đối đầu

Các đờng klotoide tiếp xúc nhau tạo thành một tổ hợp đờng cong có hai nhánh klotoide đối đầu Tại điểm tiếp xúc 2 đờng klotoide sẽ có cùng một bán kính cong

và chung một đờng tang (hình 33) Tuỳ theo việc sử dụng các nhánh đờng klotoide

có thông số bằng nhau hoặc không bằng nhau để

chia ra tổ hợp đờng cong đối xứng (hình 34)

hoặc không đối xứng (hình 35)

Hình 33: Bình đồ và đờng biểu diễn độ cong

của tổ hợp đờng cong có hai nhánh klotoide đối

đầu

Hình 34: Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đờng

cong có hai nhánh klotoide đối đầu đối xứng

Hình 35: Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đờng

cong hai nhánh klotoide đối đầu không đối xứng

Việc sử dụng tổ hợp đờng cong có hai nhánh

klotoide đối đầu đã nhiều lần bị chống lại bởi vì

xuất hiện các vấn đề khi tạo nên độ dốc ngang

phù hợp với động lực chạy xe do đờng chuyển

trực tiếp từ độ cong tăng sang độ cong giảm tại

điểm giao nhau Sự ổn định chạy xe và mỹ quan khi đó sẽ bị xấu đi, nhng điều đó chỉ xảy ra khi bán kính cong tại chỗ giao nhau t-

ơng đối nhỏ và góc chuyển hớng lón Vì thế ngời

ta khuyên chỉ dùng loại tổ hợp đờng cong này

trong trờng hợp địa hình bị khống chế và bán

kính cong tại điểm tiếp xúc nhau lớn, đồng thời

grad)

đối đầu đối xứng

Đường tang chung

Đường klotoide Đường klotoide

L

min

R 1

k =

Hình 10 : Bình đồ và đường biểu diễn độ cong của tổ hợp

đường cong có hai nhánh klotoide đối đầu

β

T

R 1 k min

k 2

β β τ τ

g t

E X t'

1 C

τ 1 2

Hình 12 : Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đường cong

có hai nhánh klotoide đối đầu không đối xứng

Đờng phân giác T-S chia đôi góc β (hình 34) Theo đó ta có

E Y

t tg

'

t X

Tuỳ theo dạng khống chế của địa hình trong tài liệu tham khảo /39/ đã đa ra các giải pháp khác nhau cho các trị số đầu vào khác nhau

Các công thức dùng để tính toán đợc lập ra nhờ định luật Cosin trong tam giác

β β

sin

2 1 2

1 2

sin

2 1 2

1 1

t t

t t

Về nguyên tắc để đơn giản trong tính toán cắm tuyến nên dùng các thông số

hiện theo công thức sau:

2

662,63

2 2

2 1 min

grad

A A R

Đờng cong chữ S đợc tạo thành bởi hai nhánh klotoide ngợc chiều nhau, hai đờng

chung và điểm ấy cũng chính là điểm gặp nhau của hai nhánh klotoide Nó đợc sử dụng để nối hai đờng cong ngợc chiều nhau, sự chuyển tiếp của hai đờng cong ấy đ-

ợc bảo đảm hài hoà (hình 36) Điều kiện để bố trí đờng cong chuyển tiếp là khoảng cách giữa hai đờng tròn “D” không đợc qúa lớn, hai đờng tròn không đợc bao nhau, không đợc cắt nhau hoặc tiếp xúc nhau Cả hai đờng klotoide và các đờng cong tròn nối với nó phải đảm bảo các điều kiện của tổ hợp đờng cong đơn giản (bảng 18 và 19) Nhằm mục đích giảm nhẹ công tác cắm tuyến và nâng siêu cao đợc đều đặn, cả hai nhánh klotoide nên có thông số bằng nhau Nếu trong thực tế do hạn chế của địa

tự nh vậy khi thiết kế điều kiện lý tởng là đảm bảo cho hai bán kính đờng cong tròn bằng nhau Nếu do điều kiện địa hình không thể thực hiện đợc yêu cầu ấy thì nên tuân theo những giới hạn dới đây:

Hình 36: Nguên tắc của đờng cong chữ S

Hình 37: Bình đồ của đờng độ cong của đờng

klotoide với các thông số nguyên, cho phép tồn tại

một đoạn thẳng ngắn chêm giữa hai điểm xuất

phát của hai nhánh klotoide, chiều dài của nó

không đợc vợt quá trị số dới đây:

K 1

u l

Hình 14 : Bình đồ của đường độ cong đường cong chữ S

đoạn thẳng giữa hai

đ-ờng cong ngợc chiều

Trị số xuất phát dể tính toán đờng cong chữ S khi thiết kế là khoảng cách của hai

đờng cong tròn sẽ tạo nên đờng cong chữ S (hình 36) Có nhiều phơng pháp khác nhau để xác định trị số của khoảng cách “D” :

a) Nếu cả hai tâm của hai vòng tròn đều nằm trên bản vẽ thì đo trực tiếp độ dài

b) Tâm của các đờng tròn nằm ngoài bản vẽ Hớng

của “D” đợc xác định nhờ hai đờng tròn phụ

tiếp xúc với hai đờng cong tròn, sau đó đo trực

tiếp khoảng cách (hình 38)

Hình 38: Xác định “D” nhờ hai đờng tròn phụ tiếp

xúc

c) Xác định khoảng cách “D” nhờ đờng tiếp tuyến

chung với hai đờng tròn (hình 39)

Hình 39: Xác định khoảng cách “D” nhờ đờng tiếp

tuyến chung “T”

)(