các bài toán về tiếp tuyến.pdf

Các bài toán về tiếp tuyến --- ý nghĩa bài toán tiếp tuyến: - Bài viết đề cập đến các bài toán về tiếp tuyến của đường cong y= f x.. cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ: Khi nói tới các b

Các bài toán về tiếp tuyến -

ý nghĩa bài toán tiếp tuyến:

- Bài viết đề cập đến các bài toán về tiếp tuyến của đường cong y= f x( ) Và lời giải cho các bài toán này được dựa trên ý nghĩa hình học của đạo hàm là:

- Đường cong ( ) : ( )C y = f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số ( )y = f x khả vi tại x0 Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f'( )x0

I cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ:

Khi nói tới các bài toán về tiếp tuyến, tôi đưa ra cho các bạn 3 bài toán cơ bản về tiếp tuyến như sau:

I/ a Bài toán 1: Giả sử đường cong ( ) : ( )C y = f x có tiếp tuyến tại điểm M với hoành độ x0 Hãy lập phương trình tiếp tuyến đó

(Các bạn hãy thử liên hệ với nghiệm kép xem sao)?

x0 được gọi là nghiệm bội d của đa thức P(x) nếu:

( ) '( ) ( ) ( )

k k

* Hệ quả 2: Với P(x) là một đa thức bậc dương thì đường cong y = P(x) tiếp

xúc với trục hoành tại điểm x0 khi và chỉ khi xảy ra nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 của đa thức P(x)

Chứng minh: Từ hệ quả 1 thì đường cong ( )y = P x tiếp xúc với trục hoành tại x0 ⇔P x( 0) = '(P x0) = 0 Điều đó tương đương x0 là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 của đa thức ( )P x

- Như vậy chúng ta lập tức có hệ quả sau:

* Hệ quả 3: Với ( )P x là một đa thức bậc dương thì đường cong y ( )= P x0

tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi ( )P x có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2

b Ví dụ:

1 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

y = 2x3 3 m+3 x2 + 18mx 8 (m là tham số) tiếp xúc với trục hoành

Vậy các giá trị cần tìm của m là

Đặt ( )f x =mx2+2(m- )1 x+3

Đường cong (C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình y =0 có nghiệm bội ≥ 2

Điều này xảy ra ⇔ ( ) f x nhận -1 hoặc 3 làm nghiệm hoặc ( )f x có dạng tam thức

bậc hai và có nghiệp kép

Từc là:

(- )( )' ( - ) -

f f

Giải

TXĐ: R-{-m}

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình:

2(3 1)

m m

m

−

≠ −+

(luôn đúng)

( )*

x m m m

2

14

5

m m

m

m m

y= −x (qua B)

y x

x (C)

(ĐHQG-A.2000) Giải

- Toạ độ giao điểm hai đường tiệm cận: I (1,2)

Xét M a y a( , ( ) ( )∈ C ) với a>1 Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng

Chó ý: NghiÖm béi lín h¬n hoÆc b»ng 2 chø kh«ng ph¶i nghiÖm kÐp nh− nhiÒu

Hay đường cong y = x không tiếp xúc với trục hoành tại 0 tức phương trình

x = 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2, tuy nhiên phương trình tương đương của nó: 3

0

x = lại nhận 0 làm nghiệm bội 3

Vì vậy, chúng ta nên nhớ rằng, biến đổi tương đương phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm Đây cũng là sai lầm mà nhiều người mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến qua ngôn ngữ phương trình

II/a Bài toán 2: Cho đường cong ( ) :C y= f x( ) và điểm M(a,b) Hãy tìm tất cả

các tiếp tuyến của (C) qua M

Giải Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t, khi đó phương trình của (D) là y= f t x t'( )( - )+ f t( )

(D) qua M(a, b) ⇔ '( )( - )f t a t + f t( )=b (*) Giải (*) tìm các nghiệm t j , j=1,n

t t

ư

ưTiếp tuyến này qua I (1, 1) nên:

t t t

ư

ư

(Đề tuyển sinh năm 1996) Giải

* TXĐ: R\ 1; 1{ ư }

* Đường thẳng x = 3 qua A không là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

⇒ Phương trình tiếp tuyến qua A(3,0) có dạng ( ) :d y=k x( - 3)

(d) tiếp xúc với đồ thị hàm số ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm

2

2

( 3)1

k x

( 3)1

k x

2

( 3)1

k x

4 Ví dụ 4: Cho hàm số 2

y=x+ x + x+ Xác định tất cả các điểm trên Oy sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đ−ợc ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị Giải

x

−

1

12

III) a Bài toán 3:

Cho hai đường cong (C): y = f(x) và (D): y = g(x)

Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến chung của (C) và (D)

Giải

Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (C) và (D)

(T) tiếp xúc với (C) và (D) lần lượt tại các điểm có hoành độ u và v Khi đó: ( ) :T y= f u x u'( )( - )+ f u( )

b Ví dụ 1: Tìm các tiếp tuyến chung cả 2 đường cong

( )

( )

3 2

1 1 2

y x x

y x

= Giải:

Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của hai đường cong trên

(T) Tiếp xúc với (1) tại điểm có hoành độ u

(T) Tiếp xúc với (2) tại điểm có hoành độ v

Khi đó:

3 2

⇒ h(u) ≥ 5 ∀ u ∈ R → (*) vô nghiệm → Hệ trên vô nghiệm

⇒ (1) và (2) không có tiếp tuyến chung

Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (A) và (B)

(T) tiếp xúc với (A), (B) lần l−ợt tại các điểm có hoành độ u và v

→

( ) : '( )( - ) ( )( ) : '( )( - )+ ( )

m ≠ 1 → (3) cã hai nghiÖm ph©n biÖt

→ (A), (B) cã hai tiÕp tuyÕn chung

II Các bài toán áp dụng:

Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y= ư1 x ( )d tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,

C sao cho các tiếp tuyến (Cm) tại B và C vuông góc với nhau

Hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là nghiệm phương trình

3 2

3 2

2 2

12

+ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

- Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng thì

y’(0) = 0 ⇒ m2 – 16 = 0 → m = ± 4 (thoả mãn m ≠ 0)

- Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận xiên thì

k.y’(0) = -1 (k: là hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0)

ư +

ư (C)

a Có nhận xét gì về ác tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đường thẳng

y = 7

b Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kể

đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450

Bảng biến thiên

a Đường thẳng y = 7 tiếp xúc với (C)

tại điểm (2, 7), nên nó là một tiếp tuyến

của đồ thị Do đó trong các tiếp tuyến

Vì y = 7 đã là 1 tiếp tiếp tuyến và là

đường thẳng nằm ngang nên tiếp tuyến kia phải có hệ số góc = ± 1

(x 1)

ư

ư

0 0

213

Cho A(0, a) Xác định a để từ A kể được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía đối với 0x

Giải

TXĐ : R-{1}

- Dễ thấy đường thẳng có dạng x =α không là tiếp tuyến (C) với ∀ α ∈R

- Đường thẳng qua A(0, a) có dạng y = k(x) + a là tiếp tuyến của (C)⇔hệ sau có nghiệm:

2 điểm tiếp xúc nằm về hai phía Ox ⇔ y(x1).y(x2) < 0

1

*1

t t

+

− < 0 ⇔ 2

3

− < a < 1 (Tho¶ m·n a > - 2 vµ a ≠ 1)

* t > 1 ⇒ 2

1

a a

+

− > 1 ⇔ 3

1

a − > 0 ⇔ a > 1 (Tho¶ m·n a > -2 vµ a ≠ 1) VËy víi

4

1

t t

th× bµi to¸n tho¶ m·n

Bài 6: : Trong kh«ng gian cho ®−êng th¼ng (∆m)

⇒ ∆m luôn tiếp xúc với đường tròn cố định (0; 1) trong Oxy vì M0 luôn cách ∆m một khoảng không đổi là 1

1

x x x

++ Tìm những điểm trên đường thẳng y= 1 mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyên đến đồ thị hàm số

( 1)

x k x

+ a ≠ - 1 Từ A kẻ dc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm s khi (1) có nghiệm kép khác 4

1

a + hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 4

1

a + và một nghiệm 4

1

a

≠ +

Vởy tồn tại 4 điểm A(-1,1); B2(1,1); A3( 1

2 ,1); A4( 1

2

ư,1)

III mở rộng vấn đề:

- ở những phần trên chúng ta chỉ xét tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng một

đường thẳng Nếu bây giờ thay đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số cho trước

là một đường cong, thì bài toán về các đường cong tiếp xúc nhau liệu có gì khác những bài toán mà ta đang xét ở trên hay không?

Số giao điểm (C1) và (C2) chính là số nghiệm phương trình trên

Vậy để (C1) và (C2) tiếp xúc nhau thì phương trình (*) phải có nghiệm bội x0 tức:

- Để thấy được ý nghĩa của bài toán tiếp xúc của 2 đường cong chúng ta sẽ

có những bài toán như: chứng minh họ đường cong tiếp xúc nhau, chứng minh một họ đường cong cho trước luôn có một đường không đổi tiếp xúc với nó

Dạng 1: Chứng minh (tìm) đường thẳng, đường cong luôn tiếp xúc với đồ thị cho trước với điều kiện ta đã biết dạng đường cần tìm

Bài 1: Chứng minh rằng họ đường cong (Cm) của hàm số

0 0 0 0

0 0

Chứng minh rằng ∀m ≠0, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố

định

Giải:

- Rõ ràng đường thẳng x = ∝ luôn không tiếp xúc với đồ thị hàm số

- Giả sử y = ax + b là đường tiếp xúc với (cm) ∀m ≠0

b=1

a a

Khi a = b = 1 ⇒nghiệm kép (*) là x = 0 Với x + m ≠0 ⇒m ≠ 0

Vậy ∀m ≠ 0 đồ thị luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x + 1 cố định

Bài 4: Cho đồ thị (Cm) của hàm số,

2(m 2)x (m 2m 4)

Trước hết là ta có nhận xét không có đường thẳng nào song song với 2 trục là tiếp tuyến của đồ thị (Cm)

Vì thế ta xét tiếp tuyến (Cm) có dạng: y = kx + b (k ≠0) (d)

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (Cm) cần và đủ là hệ

2 2

k k

Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với 1 parabol cố định Tìm quỹ tích tiếp

2

114

y= x +Hoành độ tiếp điểm xác định bằng hệ thức x = 2cosα

Với α ≠ kπ → 0 ≤ x < 2

⇒ Tập hợp các tiếp điểm là 2 cung parabol kể trên ở trên 2 miền (-2,2)

Dạng 2: Tìm (chứng minh) đồ thị hàm số đã cho luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định

Cụ thể Cho hàm số y = f(x, m) Hãy tìm đồ thị hàm số cố định luôn tiếp xúc với

y = (x, m)

- Giả sử đố là hàm số y = g (x) Đồ thị hàm số này tiếp xúc với

Gi¶i:

XÐt hÖ:

( , )0

y f x m df