Luyện thi đại học Thầy giáo: Đồng Thái Lâm CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD , E và F lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BD, O
Trang 1Luyện thi đại học Thầy giáo: Đồng Thái Lâm
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD , E và F lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BD, O là trung
điểm của EF
1 Chứng minh : OA OB OC OD 0JJJG JJJG JJJG JJJG+ + + = G
2 Gọi G1 là trọng tâm tam giác BCD chứng minh AG1 qua O, từ đó chứng minh bốn đoạn thẳng nối từ đỉnh của tứ diện với trọng tâm của các mặt đối diện đồng quy tại O
3 CM ba đoạn thẳng nối các cặp trung điểm của các cặp cạnh đối của tứ diện cũng đồng quy tại O
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, CD, G
và G1 lần lượt là trọng tâm c đáy và mủa ặt bên SCD
1 Xác định điểm I sao cho IAJJG JJG JJG JJG JJG G+IB IC ID IS 0+ + + =
2 Chứng minh SG và MG1 qua I, từ đó chứng minh rằng đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm của đáy cùng với bốn đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh đáy với trọng tâm mặt đối diện thì đồng quy tại I
3 E là trung điểm SA, đường thẳng EI cắt mặt phẳng đáy tại F, chứng minh F là trọng tâm của tam giác BCD
Bài 3: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, trung đoạn là 2a
1 Chứng minh rằng với O là tâm hình cầu n tiếp nh ội hì chóp S.ABCD thì
OA OB OC OD OS 0JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G+ + + + =
2 Chứng minh rằng tám đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh với trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại thì đồng quy tại O (Trung điểm I của BC và trọng tâm ∆SAD…)
3 Tìm tập hợp các điểm M sao cho
a
2
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG
4 Tìm tập hợp các điểm N sao cho
2
NA +NB +NC +ND +NS
4
=
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', E và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆BDA' và
∆CB'D'
1 Chứng minh rằng bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại O và O là trung điểm của mỗi đường
2 Chứng minh E và F đối xứng qua O
3 Chứng minh E, F là giao điểm của đường chéo AC' với các mặt phẳng (BDA'), (CB'D') và
AE = EF = FC'
4 Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a , M là điểm di động trong không gian sao cho : MA MB MC MD MA ' MB' MC' MD'JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG+ + + + + + + =k
Hãy xác định k để tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm O tiếp xúc với các cạnh của hình lập phương
5 Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật đường chéo là 6d, tìm tập hợp các điểm N sao cho : NB2 + NC2 + ND2 + NA'2 + NB'2 + NC'2 + ND'2 - 7NA2 = 72d2
Bài 5: Cho hình chóp SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F Gọi
trung điểm các đoạn AD, BC, EF lần lượt là I, J, K Gọi G, G1, là trọng tâm của ∆ABC và
∆DEF Gọi N là trung điểm của IK, T là trung điểm của JK
1 Chứng minh rằng ba đoạn thẳng GG , IT , JN đồng quy tại O 1
2 Chứng minh rằng : SA SB SC SD SE SF 6SOJJJG JJG JJG JJJG JJG JJG+ + + + + = JJJG
3 Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA 2MB 2MC MD 2ME 2MFJJJJG+ JJJG+ JJJG JJJJG+ + JJJG+ JJJG =k