Mặt cầu ngoại tiếp

II/ Điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp : • Đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn.. • Chú ý : hình chóp tam giác tứ diện luôn có mặt cầu ngoại ti

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP

HÌNH CHÓP

I/Khái niệm :

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu

đi qua tất cả các đỉnh của đa diện

II/ Điều kiện để hình chóp có

mặt cầu ngoại tiếp :

• Đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn.

• Chú ý : hình chóp tam giác ( tứ diện ) luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

II/Kiến thức cũ :

a/Trục của đường tròn:

- Trục đường tròn là đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn và đi qua tâm của đường tròn đó

- Một điểm bất kì trên trục đường tròn thì cách đều các điểm thuộc đường tròn

b/Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng : -Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

cho trước là mặt phẳng qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó

-Các điểm trên mặt phẳng trung trực thì

cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó

III/ Phương pháp xác định tâm

và bán kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp:

*Cách 1:

-Dựng trục (d) của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

-Dựng mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bên (hoặc dựng trục (d’) của

đường tròn ngoại tiếp 1 mặt bên).

- Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

có :

+ Tâm I là giao điểm của (d) với mặt phẳng (P) (hoặc I là giao điểm của (d’) với (d))

+ Bán kính R = IA (với A là một đỉnh của hình chóp hoặc đa giác đáy)

*Đặc biệt : Nếu hình chóp có một

cạnh bên đồng phẳng với trục của

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

thì trong mặt phẳng chứa cạnh

bên đó và trục của đường tròn đã

nêu, ta chỉ cần dựng đường trung

trực của cạnh bên đó

O M

C

S

A

B H

Lúc đó giao điểm của đường trung trực của cạnh bên và trục chính là tâm của mặt cầu

ngoại tiếp

*Cách 2:

• Tâm I là trung điểm MN

• Bán kính : R = MN/2

Chứng minh các đỉnh của hình chóp cùng nhìn đoạn MN cố định dưới một góc

vuông Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

đó có :

Bài tập áp dụng :

Cho hình tứ diện ABCD có AD (ABC); ⊥(ABC);

tam giác ABC vuông tại B xác định tâm và bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giải:

*Cách 1:

AD (ABC)⊥(ABC);

=> AD AC => Tam giác⊥(ABC);

ACD vuông tại A

Gọi I là trung điểm của CD

=> IA=IC=ID (1)

A

B

C D

I

A

B

C

D

I

BC AB ⊥(ABC);

BC AD(AD (ABC)) ⊥(ABC); ⊥(ABC); => BC (ABD) => BC BD⊥(ABC); ⊥(ABC);

=> Tam giác BCD vuông tại B => IB=IC=ID (2)

Từ (1),(2), suy ra : I cách đều tất cả

các đỉnh của hình chóp => I là tâm của

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp => bán

kính : R= CD/2

B

C

D

Cách 2:

AD (ABC)=>AD AC(1) ⊥(ABC); ⊥(ABC);

{ BC AB ⊥(ABC);

BC AD(AD (ABC)) ⊥(ABC); ⊥(ABC);

=>BC (ABD)=>BC BD(2) ⊥(ABC); ⊥(ABC);

Từ (1) và (2) suy ra: Hai điểm A,

B cùng nhìn đoạn CD dưới 1 góc

vuông => tứ diện ABCD nội tiếp mặt

cầu đường kính CD có bán kính là :

R = CD/2

B

C

D

I

O M

d

Cách 3:

Tam giác ABC vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính AB, có tâm O là trung điểm AC.

Dựng trục d của tam giác ABC => d đi qua O và d (ABC) ⊥(ABC);

AD (ABC) => d // AD (d nằm ⊥(ABC);

trong (ACD))

Gọi M là trung điểm của AD

Đường trung trực của cạnh AD đi qua

M, vuông góc với d và cắt d tại I.

=> ID=IA(1) Lại có : IA=IB=IC (I thuộc trục d

của tam giác ABC)(2)

Từ (1) và (2) suy ra :

I cách đều các đỉnh của hình chóp

ABCD => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp, bán kính là : R=CD/2.

BÀI BÁO CÁO ĐẾN ĐÂY LÀ HẾT CẢM ƠN CÔ VÀ CÁC BẠN ĐÃ

CHÚ Ý LẮNG NGHE