Phuong trinh va bat phuong trinh dai so

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.. Đồ thị C’ của hàm số yfxb với b > 0 ,được suy từ đồ thị C bằng cách tịnh tiến đồ thị C sang phải b đơn vị theo phương

Chương 0 - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Định nghĩa giá trị lượng giác

 cot a xác định khi và chỉ khi sin a    0 a k

Chú ý Từ ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác ta có :

a) sin a k2  sin a và cos a k2  cos a ( với kZ) ;

tan a   k  tan a và cot a   k  cota ( với kZ)

b) sin a k  sin a khi k 2l k, l Z

2

1

cos a1

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

 

cos  a cos a sin a sin a

sin a cos a2

sin 2a 2.sin a.cos a

2 2 2

1 cos 2asin a

3 2

3

32

22

1

12

IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

Chương 2 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG

 Hàm số y = sinx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

 Hàm số ĐB trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 )

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số đồng biến trên khoảng 0,

 Hàm số y = cosx là hàm số chẵn và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 )  và NB trên mỗikhoảng(k2 ;  k2 )

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0,

 Hàm số y = tanx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k ; k )

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

4 Hàm số y = cotx

 Hàm số y = cotx có tập xác định D2  R \ { k , k Z } và có tập giá trị là R

 Hàm số y = cotx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k ;    k )

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D

II HỆ THỐNG PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP



A PHƯƠNG PHÁP : Cho hàm số y f(x) xác định trên D

1 Hàm số y f(x) gọi là chẵn trên D nếu : x D ; x D

Câu 2 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

Câu 3 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sin2x + cos2x

d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx

sin x



i) y = tan x

Vấn đề 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Vấn đề 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm

số lượng giác trên tập D

Câu1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

d) y tan x trên đoạn ;

3 6

  

 

  e ) ysin xcos x f) y 3 sin 2x cos 2x

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

Câu 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :

a) y = 3sin3x + 5 b) y= sin3x + cos3x c) y 2 2(43 sin x)

d) y = sin4x + cos4x e) y = sin6x + cos6x f) 1 2 2

Vấn đề 4 : Suy ra đồ thị hàm số lượng giác từ đồ thị một hàm số

lượng giác cho trước

2 Đồ thị (C’) của hàm số yf(xb) với b > 0 ,được suy từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) sang phải b đơn vị theo phương song song với trục hoành

3 Đồ thị (C’) của hàm số yf(x) được suy từ đồ thị (C ) bằng cách : c

 Tịnh tiến theo phương của trục tung lên trên c đơn vị nếu c > 0

 Tịnh tiến xuống dưới theo phương của trục tung c đơn vị nếu c < 0

4 Đồ thị (C’) của hàm số yk.f(x) ( k0), được suy từ đồ thị (C) bằng cách :

 Nếu k > 1 thì giản (C) dọc theo trục Oy k đơn vị

 Nếu 0 < k < 1 thì co (C) dọc theo trục Oy k đơn vị

5 Đồ thị (C’) của hàm số yf(k x) ( k0) , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :

 Nếu k > 1 thì co (C) dọc theo trục Ox với tỷ 1

k

 Nếu 0 < k < 1 thì giản (C ) dọc theo trục Ox với tỷ 1

k

6 Đồ thị ( C’) của hàm số y f(x) , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Lấy phần đồ thị của (C) nằm phía dưới trục hoành đối xứng qua trục hoành

7 Đồ thị ( C’) của hàm số yf x  , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :

 Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm phía bên phải trục tung

 Lấy phần đồ thị của (C) nằm phía bên phải trục tung đối xứng qua trục tung

d) ysin x 3 e) y sin x f) ysin x

Câu 2 Từ đồ thị của hàm số y = cosx , hãy suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số sau :

a) y cos x b) ycos x  1 c) y2 cos x

Bài 2- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

 Nếu có số thực  thỏa điều kiện :

thì ta viết  arcsin a , khi

đó nghiệm của phương trình (1) là : x arcsin ak2 ; x   arcsin ak2

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau :

a) sin 2x 1sin x 3 b) sin 3x cos x 3 c) sin 5xsin 2x0

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 2.Giải các phương trình sau :

a) sin 3xsin x 0 b) sin 5xsin 2x0

c) sin 3xcos x 0 d) sin xcos x0

 a 1 : Phương trình (2) vô nghiệm

 a 1 , đặt cos a , khi đó : cos x a cos x cos x k2 k Z

    



 thì ta viết  arc cos a , khi

đó nghiệm của phương trình (2) là : x arccos ak2 ; x  arccos ak2

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau :

a)  2 2 cos x 4 cos x 0 b) 2cos x 1 2 cos x0

c) 34 cos x 1 cos 2x 0 d) 12 cos x 2 sin 2x   3 0

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1 Giải các phương trình sau :

e) 4 sin x 6 cos x6  2 sin x4 cos x4  8 4 cos 2x2

f) sin x2 cos x2 cos x2 cos 3x2 g) 16 sin x cos x cos 2x cos 4x 3

Bài 2 Giải các phương trình sau :



BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1 Giải các phương trình sau :

Bài 2 Giải các phương trình:

a) sin x2 sin x tan x2 2  3 b) sin x tan2x 3 sin x  3 tan 2x3 3

Bài 3 Giải các phương trình sau :

* Nếu đặt tsin x2 hoặc t sin x , điều kiện 0 t 1

* Nếu đặt tcos x2 hoặc t cos x , điều kiện 0 t 1

Các công thức thường dùng khi giải các loại phương trình này :

I - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG

GIÁC

1.Hằng đẳng thức cơ bản :

2 2

2

1

cos a1

sin 2a 2.sin a.cos a

1 cos 2asin a

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau :

c) 3 tan x2  3 1 tan x   1 0 d) cot x2 4 cot x  3 0

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau :

a) 3 cos x2 2 sin x  2 0 b) 5 sin x2 3 cos x  3 0

c) 3 cos 6x2 8 sin 3x.cos 3x 4 0 d) 32

i) cos 2xsin x2 sin x  1 0 k) 23

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau :

a) 2 cos x2 5 sin x  4 0 b) cos 2x 4 cos x 5 0

2  2   h) sin x4 cos x4 sin x cos x  0

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1 Giải các phương trình sau :

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a) cos 3x.cos 2x2 cos x2 0 b) 4 4 3

c) 2 cos 2x2 cos 2x4 sin 2x.cos x2 2 d) tan x2 cot2x sin 2x

Bài 4 Giải các phương trình sau :

e) 4 cos x.sin x5 4 sin x.cos x5 sin 4x2 f) 4 cos x3 3 2 sin 2x8 cos x

cos x cos x cos 3x cos 3x

4

Bài 5 Cho phương trình : cos 4x6 sin x cos x m (1)

a) Giải phương trình ( 1) khi m = 1

x2

Bài 7 Cho phương trình sin x6 cos x6 m sin 2x ( 1)

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình ( 1) có nghiệm ( Đáp số : 1

m4

 )

Bài 8 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan x2  1 3 tan x  3 0 5) 4 sin x2 2 31 sin x  3 0 6) 4 cos x3 3 2 sin 2x 8 cos x

7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

Bài 9 Giải các phương trình sau:

1) 4sin23x + 2 3 1 cos 3x  3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

Bài 10 Cho phương trình sin 3x cos 3x

Bài 11 Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Tìm các nghiệm của phương

trình thuộc   ; 

A Định nghĩa Phương trình có dạng : a sin ub cos uc ( trong đó a2 + b2 ≠ 0)

B Cách giải Chia cả hai vế của phương trình cho a2 b2 ta được :

 

bsin

 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi : a2 + b2 ≥ c2

 Khi a ≠ 0 và b ≠ 0 còn c = 0 thì PT tương đương : b

tan u

a

 

 Phương trình trên được mở rộng cho dạng : a sin ub cos uc sin v d cos v

( trong đó a2b2  c2d2 ) Để giải phương trình này ta chia cả hai vế của phương trình cho a2 b2rồi đưa phương trình về một trong các dạng :

sin(u  ) sin(v  ( hay : cos(u)   ) cos(v  ) )

C CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG :

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau :

a) sin x 3 cos x   2 b) cos 2xsin 2x1

e) 4( sin4x + cos4 x ) + 3sin4x = 2 f) 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3x3 g) cos8x cos3x - 3sin5x = 1 – sin8x.sin3x h) 4 4 1



i) 4sin3x cos3x + 4cos3x.sin3x + 3 3cos4x = 3 k) tanx – 3.cotx = 4( sinx + 3cosx)

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau :

e)sin xcos x.sin 2x 3 cos 3x2 cos 4x sin x3  f) (1 2 sin x)cos x

a) 2sin2x – cos2x = 7 sinx + 2cosx – 4 b) 9 sin x6 cos x3 sin 2xcos 2x8

c) sin 2x2 cos 2x 1 sin x4 cos x d) sin 2xcos 2x3 sin xcos x2

e) sinx + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0 f) sin2x – cos2x + 3sinx - cosx -1 = 0

g) 2 3 sin x cos x 2 cos x2 3 4 sin x2 cos x cos x

Bài 5 Giải các phương trình sau:

1) 2 sin x2  3 sin 2x 3 2) sin 8xcos 6x  3 sin 6x cos 8x

5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

Bài 6 Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

Bài 7 Giải các phương trình sau:

A Định nghĩa Phương trình có dạng : a sin x2 b sin x cos xc cos x2 d (1)

B.Cách giải :

 Kiểm tra cos x 0 x k

2



 Chia cả hai vế của phương trình (1) cho cos x2 0 ta được :

ad tan x 2 b tan xcd0

Chú ý : cos x  0 sin x2  1 sin x 1

B Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau :

a) 4 cos x2 3 sin x cos xsin x2  3 b) 2 sin x2 sin x cos xcos x2 2

c) 4 sin x2 4 sin x cos x3 cos x2 1 d) 2 cos x2 3 sin 2xsin x2  1

Hướng dẫn

a) 4 cos x2 3 sin x cos xsin x2  3 4 cos x2 3 sin x cos xsin x2 3 sin x 2 cos x2 

 4 sin x2 3 sin x cos xcos x2 0

 Với cosx = 0 thì vế trái bằng 4 vế phải bằng 0 nên cosx = 0 không thỏa mãn phương trình

 Chia hai vế của phương trình cho cos x2 0 , ta được :

c) Làm tương tự , ta có phương trình đã cho vô nghiệm

d) 2 cos x2 3 sin 2xsin x2  1 2 cos x2 3 sin 2xsin x2 1 sin x 2 cos x2 

 cos x2 3 sin 2x 0 cos x2 6 sin x cos x  0 cos x(cos x6 sin x)0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x k

a) sin2x – sin2x -3 cos2x = 0 b) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2

g) sin4x – 4sin2x cos2x + 3 cos4x = 0 h) sin2x + 2 tanx = 3

i) sinx sin2x + sin3x = 6 cos3x k) sinx - 4 sin3x + cosx = 0

Bài 2 Giải các phương trình sau:

1) 2 sin x2  1 3 sin x.cos x  1 3 cos x 2 1

2) 3 sin x2 8 sin x.cos x8 39 cos x 2 0

3) 4 sin x2 3 3 sin x.cos x2 cos x2  4

2

5) 2 sin x 32   3 sin x.cos x  3 1 cos x 2  1

6) 5 sin x2 2 3 sin x.cos x3 cos x2  2

7) 3 sin x2 8 sin x.cos x4 cos x2  0

8)  2 1 sin x  2 sin 2x 2 1 cos x 2  2

9)  3 1 sin x 2 2 3 sin x.cos x 31 cos x 2 0

10) 3 cos x4 4 sin x cos x2 2 sin x4  0

11) cos2x + 3sin2x + 2 3sinx.cosx – 1 = 0 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) sin x3 2 sin x.cos2x – 3 cos x3  0 2) 2 2 1

3 sin x.cos x sin x

2



3) sin x3 5 sin x.cos x2 3 sin x.cos x2 3 cos x3  0

Bài 4 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Công thức biến đổi tổng thành tích :

I - Một số phương trình lượng giác giải được bằng cách sử dụng công thức biến đổi :

Tổng thành tích và tích thành tổng và sử dụng công thức hạ bậc

21

1 cos 2asin a

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau :

a) sin x.sin 7x sin 3x.sin 5x b) sin 5x.cos 3x sin 9x cos 7x

c) cos x cos 3xsin 2x.sin 6xsin 4x.sin 6x  0

d) sin 4x sin 5xsin 4x.sin 3xsin 2x.sin x 0

e) sin 4x.sin 7x cos 3x.cos 6x f) cos 5x.cos xcos 4x

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau :

a) sin x + sin2x + sin 3x + sin4x = 0 b) sin2x + sin23x = cos22x + cos24x

c) cos x2 cos 2x2 cos 3x2 cos 4x2  2 d) sin 3x2 cos 4x2 sin 5x2 cos 6x2

e) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x f) (2cosx -1 )( 2sinx + cosx ) = sin2x – sinx g) sin6x + cos6x = 2 ( sin8x + cos8x ) h) sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x )

tử chung …

Dưới đây là một vài kĩ thuật giúp các em phát hiện nhân tử chung một cách nhanh chóng :

Nếu trong phương trình chứa các hàm số :

 sin2x , sin3x , tanx , tan2x , tan3x thì ta có thể đặt nhân tử chung là : sin x

 sin2x , cos3x , tan2x , cot3x , cotx thì ta có thể đặt nhân tử chung là : cos x

2 2 thì có thể đặt nhân tử chung là : 1cos x

2 2 thì có thể đặt nhân tử chung là : 1cos x

II -Phương trình lượng giác tích số

    thì có thể đặt nhân tử chung là : 1sin x

 cos 2x , cot2x ,1sin 2x , 1tan x ,1cot x , tan xcot x thì có thể đặt nhân tử chung

là : sin x cos x

 cos 2x , cot2x ,1sin 2x , 1tan x ,1 cot x , tan x cot x thì có thể đặt nhân tử chung

là : sin x cos x

B.CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau :

a) 4sin x 3cos x 3sin x sin x.cosx3  3   2  0 b) 2 x 2 2 x

f) 1 sin x cos x 2   1 cos x sin x2   1 sin2x

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau :

a)2sin 2x sin 7x 1 sin x2    b)sin2x cos2x cos x 2cos2x sinx    0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau :

a)tan x 1 cos2x  b)2sin x cosx 1 cos x   sin x2

c)1 sin x.cos2x sin x cos2x   d)sin x.tan x cos x.cot x sin2x 1 tan x cot x2  2    

2   f)sin x cos x3 sin x.cos x3 2

8

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1 Giải các phương trình sau :

sin 2x



c) tan x tan x cot x cot x cot x 6 2   2  3  d) tan x cot x 4 

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a) 4 cos x4 cos 2x 1 sin 2x 

c)

2 2

g) 3 cos x3 sin xtan x sin xsin x tan x2  0

h) 2 sin x2 sin 2xsin xcos x  1 0

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a) 4 cos5xcos3x 2 8 sin x 1 cos x 5

2 2    b) cos x3 4 sin x3 3 cos x sin x2 sin x 0

g) 2 sin x3 cos 2xcos x  0 h) 2 cos 2x2 cos 2x4 sin 2x cos x2 2

Khi đó phương trình (1) trở thành : bt2 2at2c b 0 (2) Giải phương trình (2) ta tìm

III- Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

( tham khảo thêm )

được t Thay vào chổ đặt t ta tìm được x

2 Dạng : a sin x cos xb.sin x cos x c 0 (1')

a) 3 sin x cos x2 sin 2x 3 0 b) sin xcos x4 sin x cos x 1 0

c) sin 2x12 sin x cos x120 d) sin x3 cos x3  1

2 sin xsin x2 cos xcos xcos 2x

c) sin x3 cos x3 cos 2x d)sin x.cos x2 cos2xsin xcos x.sin x2 cos x

…… Hết……