Một phương pháp xây dựng và giải các đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

Lịch sử nghiên cứu Lĩnh vực sáng tạo trong Toán học thì có rất nhiều đặc biệt là sáng tạo cho đẳng thức và bất đẳng thức bởi đây là một lĩnh vực được rất nhiều người quan tâm.. Mục tiêu

§¹i häc quèc gia Hµ n«i

§¹i häc quèc gia Hµ n«i

bé m«n To¸n M· sè: 601410

Häc viªn: NguyÔn §øc §¹i

Cao häc ngµnh S- ph¹m To¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS NguyÔn Vò L-¬ng

Hµ Néi - 2009

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Khách thể nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Những đóng góp của luận văn 3

9 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 4

1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài: 4

1.1.1 Khái niệm sáng tạo 4

1.1.2 Lịch sử của thuật ngữ sáng tạo 4

1.1.3 Điều kiện cần và đủ để thừa nhận sự sáng tạo 4

1.1.4 Phạm vi sử dụng khái niệm sáng tạo 5

1.1.5 Quá trình đáp ứng nhu cầu thúc đẩy khả năng sáng tạo 6

1.2 Tư duy sáng tạo: 6

1.3 Khoa học sáng tạo 7

1.4 Thực trạng sự sáng tạo của học sinh và giáo viên hiện nay 8

1.5 Gợi ý về một phương pháp hoạt động sáng tạo 10

1.6 Một số kỹ năng xây dựng bài toán mới 13

1.6.1.Sử dụng các kết quảtrung gian để xây dựng bài toán mới 13

1.6.2 Sử dụngcác bất đẳngthức trung gian có điều kiện 15

1.6.3.Bài tập đề nghị 22

Kết luận chương 1 24

Chương 2 XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TỪ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 25

2.1 Các kết quả cơ bản 25

2.1.1 Kết quả cơ bản thứ nhất 25

2.1.2 Kết quả cơ bản thứ hai 26

2.1.3 Kết quả cơ bản thứ ba 27

2.1.4 Kết quả cơ bản thứ tư 28

2.1.5 Kết quả cơ bản thứ năm 28

2.1.6 Kết quả cơ bản thứ sáu 28

2.2 Xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác 29

2.2.1 Xây dựng các đẳng thức đại số từ các đẳng thức lượng giác 29

2.2.2 Xây dựng các bất đẳng thức đại số từ các bất đẳng thức lượng giác 31

Kết luận chương 2 49

Chương 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG

THỨC ĐẠI SỐ ĐÃ XÂY DỰNG MÀ KHÔNG SỬ

DỤNG CÁC KIẾN THỨC CỦA LƯỢNG GIÁC 50

3.1 Chứng minh các đẳng thức đại số 50

3.2 Chứng minh các bất đẳng thức 51

Kết luận chương 3 71

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 72

1 Kết luận 72

2 Khuyến nghị 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”

Lĩnh vực khó sáng tạo và giá trị sáng tạo được đánh giá không cao chính là toán cho học sinh phổ thông Nếu chúng ta chỉ hạn chế phạm vi nghiên cứu ở những lĩnh vực cơ bản, phổ thông thì việc tìm ra những kết quả mới là không tưởng Chính vì vậy mà những nhà toán học hướng đánh giá không mấy thiện cảm những đồng nghiệp của mình đang dạy toán ở phổ thông trung học Nhưng nếu thiếu những sáng tạo trong hoạt động giảng dạy thì hiệu quả lại không cao nhất là giảng dạy cho học sinh có năng khiếu về toán học Xu hướng mới trong giảng dạy ở phổ thông trung học hiện nay bao gồm:

*) Tiết kiệm thời gian giảng dạy

*) Xây dựng những kỹ năng giải để học sinh có thể hiểu và giải những bài toán khó một cách dễ dàng

Những sáng tạo toán học trong xu hướng này được đánh giá cao, mặc

dù rất khó

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Một phương pháp xây dựng và giải đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác”

2 Lịch sử nghiên cứu

Lĩnh vực sáng tạo trong Toán học thì có rất nhiều đặc biệt là sáng tạo cho đẳng thức và bất đẳng thức bởi đây là một lĩnh vực được rất nhiều người quan tâm Ta có thể kể ra một số tác giả như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương , Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Kim Hùng, Trần Phương, Tuy nhiên chưa có tác giả nào xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đảng thức lượng giác Đây là nguồn mà chúng

ta khai thác để trở thành những bài toán hay với những lời giải đẹp Có thể nói rằng đề tài là một trong những đóng góp đầu tiên về vấn đề này

3 Mục tiêu nghiên cứu

*) Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng sáng tạo và giải các đẳng thức

và bất đẳng thức đại số trên cơ sở đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

*) Nâng cao hiệu quả giảng dạy, bồi dưỡng cho những học sinh yêu thích và có năng khiếu về bộ môn toán

4 Khách thể nghiên cứu và đối tƣợng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và luyện thi đại học

4.2 Đối tƣợng nghiên cứu

Đẳng thức và bất đẳng thức đại số, đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

5 Phạm vi nghiên cứu

Do hạn chế về thời gian nên luận văn chỉ nghiên cứu vấn đề sau: Xây dựng những đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác của những góc trong tam giác và những góc trong tam giác chia hai Còn việc xây dựng những đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức

và bất đẳng thức lượng giác của những góc lượng giác khác nằm ngoài khuôn khổ của đề tài

6 Giả thuyết khoa học

Sự sáng tạo của người thầy trong những bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức đại số trên nền tảng của bài toán lượng giác chính là cơ sở, động lực cho học sinh sáng tạo những bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức nói riêng và cho môn Toán nói chung

7 Phương pháp nghiên cứu

*) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu

về các phương pháp hoạt động sáng tạo của học sinh, chương trình sách giáo khoa Đại số, Lượng giác ở THCS và THPT

*) Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia về đẳng thức và bất đẳng thức

8 Những đóng góp của luận văn

*) Góp phần thúc đẩy sự sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập

*) Đề xuất một phương pháp sáng tạo ra đẳng thức và bất đẳng thức mới

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài

Chương 2: Xây dựng các đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

Chương 3: Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức đại số đã xây dựng mà không sử dụng các kiến thức lượng giác

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài

1.1.1 Khái niệm sáng tạo

Thuật ngữ “Sáng tạo” đã được nhiều tác giả khác nhau đề cập đến: Theo tác giả Hoàng Phê, trong từ điển Tiếng Việt, Sáng tạo được định nghĩa là: “Tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần, hay là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có” [7, tr.817]

Theo trang Web Bách khoa toàn thư Wikipedia: “Sáng tạo là quá trình

làm phát sinh (phát hiện, phát kiến hoặc phát minh) một sự vật hoặc hiện tượng mới và hữu ích, đáp ứng nhu cầu tồn tại hoặc phát triển của con người trong xã hội đương đại Khái niệm sáng tạo được sử dụng trong mọi lĩnh vực của thế giới vật chất và tinh thần”

1.1.2 Lịch sử của thuật ngữ sáng tạo

Thuật ngữ khoa học về sáng tạo (Heuristics, Creatology hay Arsinveniendi), lần đầu tiên xuất hiện trong những công trình của nhà toán học Papp, sống vào nửa cuối thế kỷ thứ III tại Alexandri - Hy Lạp Sau đó các nhà toán học và triết học nổi tiếng như Descartes, Leibnitz, Bernard Bolzano đã có nhiều cố gắng thành lập hệ thống khoa học nghiên cứu về khả năng sáng tạo của con người Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có những công trình nghiên cứu đầy đủ về năng lực sáng tạo của con người như một ngành khoa học độc lập

1.1.3 Điều kiện cần và đủ để thừa nhận sự sáng tạo

Về thuộc tính mới của sự vật Một vật lần đầu tiên xuất hiện (ghi nhận) đều có thuộc tính (và được gọi là) mới Người tìm ra vật mới này có thể được cấp bằng phát minh hay sáng chế

Về thuộc tính hữu ích của sự vật Hữu ích (có ích) là quá trình một vật

đáp ứng được nhu cầu bảo vệ hoặc phát triển của các chuẩn mực trong đời sống vật chất, tinh thần, đạo đức, văn hóa, văn minh của xã hội loài người

Theo giáo sư - tiến sĩ khoa học Phan Dũng - Giám đốc Trung tâm sáng

tạo KHKT thuộc ĐH Khoa học tự nhiên, khái niệm sáng tạo được dùng để chỉ những sự vật mới và có ích cho đời sống con người Do đó, mọi sự vật hoặc hiện tượng mới phát sinh phải thỏa mãn điều kiện thứ hai mới được thừa nhận

là sáng tạo, đó là tính hữu ích cho đời sống con người hoặc văn minh nhân loại Có những sự vật hoặc hiện tượng mới, nhưng không thỏa mãn điều kiện

này (về tính hữu ích) thì cũng không được gọi là sáng tạo, mà chỉ dùng từ

"mới" để nói về chúng mà thôi Như vậy, không phải phát kiến nào cũng được xem là sáng tạo

1.1.4 Phạm vi sử dụng khái niệm sáng tạo

Sáng tạo là khái niệm vô cùng rộng lớn về phạm vi sử dụng Nó không

có giới hạn cuối cùng khi sử dụng (hoặc áp dụng) trong tất cả các hệ thống phân loại hiện có của nền văn minh nhân loại như: hệ thống đo, đếm, quy chiếu, chuẩn mực, các thông số theo toán học, vật lý học, hóa học đến cả tâm lý học, xã hội học, thần học, triết học, tương lai học hay vũ trụ học

Tính phổ biến của khái niệm sáng tạo thể hiện ở phạm vi sử dụng nó Ở đâu, trong bất kỳ lĩnh vực nào của nền văn hóa, văn minh nhân loại, khi xuất hiện một sự vật hay hiện tượng mới, thỏa mãn điều kiện cần và đủ của nó thì đều được xem đó là sự sáng tạo Theo đó, ta có thể thấy từ sáng tạo được gắn kết với rất nhiều khái niệm khác nhau như: ý tưởng sáng tạo, tư duy sáng tạo, quan điểm sáng tạo, việc làm sáng tạo, hành động sáng tạo, công cụ sáng tạo, phương tiện sáng tạo, phương pháp sáng tạo

Nhiều nước trên thế giới còn tổ chức các cuộc thi sáng tạo, và xem xét trao tặng các giải thưởng sáng tạo hàng năm

1.1.5 Quá trình đáp ứng nhu cầu thúc đẩy khả năng sáng tạo

Với việc vận dụng phương pháp nghiên cứu và thành quả của nhiều ngành khoa học khác nhau như Tâm lý học, Giáo dục học, Logic học, Giải phẫu học, Điều khiển học, Lý thuyết thông tin, Lý thuyết hệ thống và các tiến

bộ của y học nghiên cứu về bộ não của con người; Hiện nay đã có hàng trăm công cụ hoặc phương tiện giúp tích cực hóa tư duy - giảm sức ỳ trong tư duy, khơi gợi và phát triển năng lực sáng tạo của con người như: Phương pháp não công (Brainstorming method), Phương pháp các câu hỏi kiểm tra (Method of control questions), Phương pháp phân tích hình thái (Morphogical analysis),

Sơ đồ khối TRIZ & ARIZ, Sáu mũ tư duy (six thinking hats), Bản đồ tư duy (của Tony Buzan)

về sự kết hợp độc đáo hoặc liên tưởng, phát ra các ý tưởng đạt được kết quả mới và ích lợi Mọi người có thể dùng tính sáng tạo của mình để đặt vấn đề một cách bao quát, phát triển các phương án lựa chọn, làm phong phú các khả

năng và tưởng tượng các hậu quả có thể nảy sinh Để làm được điều đó cần phải biết:

*) Gạt bỏ những hiều biết về kiến thức thông thường

*) Gạt bỏ những kinh nghiệm trong quá khứ

*) Tạo điều kiện phát triển khả năng sáng tạo

Giữ gìn truyền thống là điều không ai chối cãi Những trong thời đại tên lửa hiên nay, bất cứ ai cũng cần có những sáng tạo trong tư duy Nhưng thực tế thì hầu hết những người thông thường không có sự cố gắng trong việc rèn luyện tính sáng tạo tư duy của mình Bởi lẽ họ cho rằng khả năng sáng tạo là bẩm sinh Không thể rèn luyện hoặc nhờ sự cố gắng mà có

Giới hạn con người trong khuôn khổ lấy những hiểu biết về kiến thức thông thường, những tập tục, những truyền thống, những ký ức để ràng buộc con người sẽ không thể có sáng tạo trong tư duy và công việc

1.3 Khoa học sáng tạo

Hoạt động sáng tạo gắn liền với lịch sử tồn tại và phát triển của xã hội loài người Từ việc tìm ra lửa, chế tạo công cụ bằng đá thô sơ đến việc sử dụng năng lượng nguyên tử, chinh phục vũ trụ , hoạt động sáng tạo của loài người không ngừng được thúc đẩy Sáng tạo không thể tách rời khỏi tư duy - hoạt động bộ não của con người Chính quá trình tư duy sáng tạo với chủ thể

là con người đã tạo các giá trị vật chất, tinh thần, các thành tựu vĩ đại về mọi mặt trong cuộc sống và tạo ra nền văn minh nhân loại

Ý định "khoa học hóa tư duy sáng tạo" có từ lâu Nhà toán học Hy Lạp Pappos, sống vào thế kỷ III, gọi khoa học này là Ơristic (Heuristics) Theo quan niệm lúc bấy giờ, Ơristic là khoa học về các phương pháp và quy tắc làm sáng chế, phát minh trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, văn học, nghệ thuật, chính trị, triết học, toán, quân sự Do cách tiếp cận quá chung và không có nhu cầu xã hội cấp bách, Ơristic bị quên lãng cho đến thời gian gần đây

Cùng với cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật, số lượng bài toán phức tạp

mà loài người cần giải quyết tăng nhanh, đồng thời yêu cầu thời gian phải giải được chúng rút ngắn lại Trong khi đó không thể tăng mãi phương tiện và số lượng người tham gia giải bài toán Thêm nữa, cho đến nay và trong tương lai khá xa sẽ không có công cụ nào thay thế được bộ óc tư duy sáng tạo Ngưòi ta

đã nhớ lại Ơristic và phát triển tiếp để tìm ra cách tổ chức hợp lý, nâng cao năng suất, hiệu quả quá trình tư duy sáng tạo - quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề và ra quyết định trong mọi lĩnh vực không riêng gì khoa học kỹ thuật

Trên con đường phát triển và hoàn thiện, khoa học sáng tạo (Heuristics, Creatology) tách ra thành một khoa học riêng, trong mối tương tác hữu cơ với các khoa học khác (có đối tượng nghiên cứu, hệ thống các khái niệm kiến thức riêng, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu riêng )

Một số nước tiên tiến trên thế giới đã bắt đầu đào tạo cử nhân, thạc sỹ về chuyên ngành sáng tạo và đổi mới (BA, BS, MA, MS in Creativity and Innovation) Ví dụ Trung tâm nghiên cứu sáng tạo (Center for Studies in Creativity) thuộc Đại học Buffalo bang New York (Mỹ) đến cuối năm 1994

đã đào tạo được 100 thạc sỹ

1.4 Thực trạng sự sáng tạo của học sinh và giáo viên hiện nay

Theo báo điện tử Dân trí: Một nguyên nhân sâu xa khiến chủ trương đổi mới cách dạy và học chưa đạt được nhiều kết quả là chỗ, ta yêu cầu các giáo viên rèn óc thông minh sáng tạo cho học trò nhưng lại không trang bị cho giáo viên khoa học về sự sáng tạo

Học sinh được dạy phân tích, tổng hợp, suy diễn, được rèn luyện qua những bài tập đòi hỏi khả năng phân tích, tổng hợp nhưng thiếu những bài tập yêu cầu sáng tạo ra cái mới, dù chỉ là mới đối với họ

Ngay ở các kỳ thi toán quốc tế, thí sinh cũng chỉ làm những bài toán khó trong đó người ta cho biết giả thiết và kết luận, thí sinh chỉ phải tìm ra cách suy diễn từ giả thiết ra kết luận Tư duy của họ giống như một con chim

trong lồng, có thể nhảy nhót nhưng không ra khỏi cái lồng kín Cái lồng đây chính là đề bài Dĩ nhiên, rèn được óc thông minh cũng tốt và không dễ, nhưng dù sao trong dạy học ngày nay, việc này là chưa đủ

Thời đại ngày nay đòi hỏi sự sáng tạo ra cái mới Vậy giáo dục phải làm gì để tạo ra được năng lực sáng tạo ở học sinh? Hiện nay, trong cán bộ quản lý giáo dục và giáo viên cũng còn nhiều nhận thức cảm tính không đúng xung quanh hai chữ "sáng tạo", ví như cho rằng phải dạy thật tốt, học thật tốt, chờ cho học sinh có nhiều kiến thức đã rồi mới dạy sáng tạo, học sáng tạo

Đành rằng nhiều kiến thức là một thuận lợi cho sự sáng tạo nhưng không nhất thiết người nhiều kiến thức hơn thì sáng tạo hơn người ít kiến thức; thậm chí người mù chữ cũng có thể sáng tạo Cho nên, một đặc điểm của "sáng tạo" là nó có thể xuất hiện ở những người trình độ học vấn rất khác nhau Từ trước tới nay, ta chỉ đưa công tác nghiên cứu khoa học vào các trường đại học mà không đưa vào các trường phổ thông

Đã là con người thì ai cũng chán khi phải kéo dài mãi một việc mà không hề có đổi mới gì cả; các cháu ở nhà trẻ cũng đã bộc lộ rõ tâm lý đó Cho các cháu một đồ chơi dù hay, dù đẹp đến mấy, chơi mãi rồi cũng chán Khi đó các cháu sẽ bày ra những đồ chơi, cách chơi do các cháu tự nghĩ ra Ngày nay, nhiều người nói đến việc học sinh bỏ học, chán học, không hứng thú học và chỉ ra nhiều nguyên nhân nhưng hay quên nguyên nhân cốt lõi là một số giáo viên coi thường tâm lý "thích sáng tạo" của học sinh, chỉ lo nhồi nhét kiến thức

Nhiều giáo viên đồng nhất việc đổi mới cách dạy với việc giảng dạy nêu vấn đề Đó là một sự tiến bộ so với giảng dạy áp đặt, nhồi nhét, nhưng vẫn là một sự hạn chế vì học sinh vẫn thụ động ngồi chờ thầy nêu vấn đề cho Sức ỳ tâm lý là một trở ngại cho việc phát hiện vấn đề Ngày nay, người ta có nhiều cách để chống sức ỳ tâm lý nhưng chưa có cách nào xuất hiện trong nhà trường chúng ta

Trong quản lý Giáo dục và quản lý dạy học, các ngành giáo dục Singapore, Hàn Quốc cách đây rất lâu cũng đề ra một yêu cầu chặt chẽ: “Cần phải có cái gì để phân biệt một bên là thợ dạy bên kia là thầy giáo; một bên là thợ học, bên kia là học sinh” Với họ, không thể đánh đồng giữa thầy với thợ, giữa người học theo lối “cầm tay chỉ việc” với người học theo kiểu tìm tòi nghiên cứu

Bởi vậy, từ Nhật Bản, Hàn Quốc đến nhiều nước mới phát triển ở Đông Nam Á, trong giáo dục người ta chú trọng tới cách học (phương pháp ) nhiều hơn học cái gì (nội dung)

Với thầy giáo đúng nghĩa, chức năng chính yếu của họ là dạy cách học (thay vì truyền đạt nội dung) Với học sinh đúng nghĩa, nhiệm vụ quan yếu của họ là học cách học (thay vì “dùi mài kinh sử”, hay là “cày sâu cuốc bẫm” – một văn hóa học phương Đông đã tồn tại tương đối lâu)

Trong cách học họ đề cao hai điểm then chốt là tự học và sáng tạo Hai mặt đó quan hệ mật thiết với nhau: sẽ không có sáng tạo nếu không có tự học tích cực, sẽ không có tự học hiệu quả nếu không mài sắc trí sáng tạo Tự học

để khám phá nhận thức và khai phá sáng tạo Sáng tạo để khẳng định sự tìm tòi siêu thoát trong tự học Các nhà giáo dục Nhật Bản và Singapore đều cho rằng đó là những kĩ năng “kép” cần cho một người học sinh hiện đại, để rút ngắn khoảng cách thua kém và để trở thành người chủ thực sự của tương lai

Vậy, phải xây dựng được một khoa học về sáng tạo để chỉ đạo việc dạy và học sáng tạo Muốn vậy phải có một sự nhất trí cao và một quyết tâm lớn để xây dựng nên một lộ trình từng bước thích hợp Không thể vội

vã nhưng phải nhanh chân vào cuộc, đừng chần chừ, nấn ná như trước đây đối với tin học

1.5 Gợi ý về một phương pháp hoạt động sáng tạo

Theo giáo sư Phan Trọng Ngọ: “Hoạt động sáng tạo luôn có một con đường riêng đầy bí ẩn và không bao giờ đi theo một khuôn mẫu quen thuộc,

cứng nhắc, vì vậy không dễ hoạch định nó Tuy nhiên nếu quan tâm sâu sắc đến hoạt động này thì có thể phác hoạ một quy trình mà nhờ nó có thể cải thiện được hiệu quả sáng tạo Dưới đây là một gợi ý về quy trình như vậy

*) Quy trình khuyến khích tính sáng tạo theo mô hình sáu bước: cảm hứng – làm rõ - chắt lọc - ấp ủ - đổ mô hôi – đánh giá

+ Cảm hứng Đây là giai đoạn nghiên cứu, tìm kiếm các ý tưởng Quá

trình này mang tính trực giác Trí tưởng tượng được tự do và ngẫu hứng, bột phát, không e ngại, dám liều, tự tin Trong cảm hứng không có sự phê phán Giai đoạn này giống như cuộc công não, với mục tiêu sản sinh ra càng nhiều ý tưởng càng tốt Để tạo ra nguồn cảm hứng và sản sinh ý tưởng, có thể sử dụng rất nhiều thủ pháp: lục tìm trong quá khứ (hồi tưởng về kinh nghiệm); liên kết (phối hợp, chắp ghép) các sự kiện quan sát được; phát triển một cách ngẫu hứng từ một sự kiện ban đầu (phát triển theo lôgic thuận và ngược); rà soát

mọi khả năng v.v.Cảm hứng không có tính chỉ trích

+ Làm rõ Làm rõ mục đích của hoạt động đang được tiến hành Đây

là nếp tư duy có tính chiến lược, không vội vàng và thường xuyên đặt ra các câu hỏi: ta đang định làm gì? Ta muốn công việc này được tiến hành như thế nào? v v

+ Chắt lọc Những ý tưởng đã có cần được phân tích, đánh giá và sàng

lọc để có ý tưởng tốt Những ý tưởng này sẽ được tiếp tục phát triển và chọn lọc Quá trình chắt lọc la sự biên tập mang tính tự phê phán Nó đòi hỏi phải

có sự phân tích, đánh giá một cách sâu sắc, lạnh lùng Tuy nhiên cũng không nên quá khắt khe với bản thân, tới mức cản trở khả năng sản sinh ý tưởng của mình

+ Ấp ủ Đay chính là thời kì tĩnh lặng quý báu trong hoạt động sáng tạo

Trong học tập bình thường thì điều này khó diễn ra do hoạt động là một chuỗi liên tục Tuy nhiên trong sáng tạo việc ngưng nghỉ tạm thời giữa các giai đoạn

là rất bổ ích Nó giúp cho tiềm thức có điều kiện quay trở về với những vấn đề

đang vướng mắc trong tư duy, giúp cho con người tách ý thức ra xa các ý tưởng, để đánh giá chúng tốt hơn Những người có khả năng sáng tạo cao ít khi bị thu hút ngay lập tức vào những ý tưởng mới nảy sinh, họ thường để cho những ý tưởng đó tiếp tục nung nấu trong tiềm thức cho đến khi nào “nảy ra được điều gì đó”

+ Đổ mồ hôi Khi các ý tưởng đã được sản sinh thì không có nghĩa là đã

sáng tạo Ngay cả trước và sau khi chúng được chắt lọc và trong lúc suy tư, tĩnh lặng vẫn diễn ra sự làm việc vất vả và căng thẳng với những ý tưởng đó, cho đến bao giờ chúng hiện hữu đầy đủ trước cá nhân và người khác Cần lưu

ý tới câu nói nổi tiếng của Th Edison mà mọi người đều biết: “Thiên tài gồm 1% cảm hứng và 99% là mồ hôi”

Trong giai đoạn này cần xem xét lại bản thảo, để tìm ra điểm mạnh, điểm yếu và cân nhắc cách thức hoàn thiện ra nó Sau đó tiếp tục đổ công sức

để thực hiện những chỉnh sửa Để có được sản phẩm cuối cùng, có thể phải trải qua nhiều lần chắt lọc, ấp ủ, lao động, đánh giá Đó là quá trình đầy tính kiên trì, không phê phán và sãn sáng đáp ứng mọi phê phán

Trên đây là các giai đoạn của quá trình sáng tạo Trong thực tiễn các giai đoạn này không hoàn toàn theo lôgic trên, mà có đảo lộn giữa các công đoạn, thậm chí phải lặp lại nhiều lần một số công đoạn nhất định Điều quan trọng là mỗi công đoạn có chức năng và tính chất riêng Vì vậy một mặt cần triệt để thực hiện đúng tính chất của từng công đoạn và không được thâm nhập vào nhau, mặt khác phải linh hoạt chuyển từ công đoạn này sang công đoạn khác Khi đang tìm kiếm những ý tưởng thì thái độ phê phán hay cầu toàn là điều không tốt Ngược lại, việc lựa chọn những ý tưởng lại chất đầy chất ngẫu hứng và thiếu sự phê phán, sẽ dẫn đến hỏng việc Triệt để thực hiện đúng tính chất của các công đoạn là việc rất khó trong tư duy sáng tạo, nhất là đối với những học sinh và cả những giáo viên đã quen với nếp tư duy hỗn hợp đan xen.” [6, tr.318 - 320]

1.6 Một số kĩ năng xây dựng bài toán mới

1.6.1 Sử dụng các kết quả trung gian để xây dựng bài toán mới

Trong phần này chúng ta xét một vài ví dụ điển hình:

Ta có kết quả: Với a, b, c > 0, chứng minh rằng:

Và chúng ta thu được bài toán mới sau:

Bài 1: Với a, b, c R+, chứng minh rằng:

     

32

Hoàn toàn tương tự ta thu được bài toán

Bài 2: Với a, b, c R+, chứng minh rằng:

31

Hoặc khó hơn ta thu được

Bài 4: Với a, b, c R+, abc = 1, chứng minh rằng:

Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta suy ra đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =

2 1

Bài 3 Với a, b, c > 0, a + b + c ≤

2 3

, chứng minh rằng:

33

Giải

Ta có:

3 2sin 2sin 2sin

sin sin sin

Giải

Ta có 3

3

33

cos cos cos 3

sin sin sin 3

sin sin sin

sin sin sin 3

sin sin sin 2

2 cos cos cos 3 3

cos cos cos 3

1.6.3 Bài tập đề nghị

Bài tập 1 Chứng minh rằng:

sin sin sin

2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2

sin sin sin

Bài tập 4 Từ bất đẳng thức: CosA + CosB + CosC ≤

2

3

và cosA > 0, CosB > 0, CosC > 0 ta suy ra

cos cos cos

cos cos cos 2

2 cos cos cos

2 cos cos cos

cos cos cos

Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã phân tích cơ sở lí luận về hoạt động sáng tạo trong quá trình dạy học bao gồm các khái niệm sáng tạo, tư duy sáng tạo, khoa học sáng tạo Luận văn đã phân tích được thực trạng về sự sáng tạo của học sinh và giáo viên hiện nay Luận văn đã đưa ra một gợi ý

về phương pháp hoạt động sáng tạo Như vậy theo nghĩa thông thường sáng tạo là một quá trình phát kiến ra các ý tưởng và các quan niệm mới, hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm đã có Đơn giản hơn sáng tạo là một hành động làm nên những cái mới Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có ý tưởng, như lời của nhà Toán học vĩ đại Poincaré: “Trong sáng tạo khoa học, ý tưởng chỉ là những ánh chớp, nhưng ánh chớp đó là tất cả”

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

TỪ CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

2.1 Các kết quả cơ bản

2.1.1 Kết quả cơ bản thứ nhất

Cho a, b, c là số thực dương thoả mãn: ab + bc + ca = 1 thì luôn tồn tại

3 góc A, B, C của một tam giác sao cho: tan

a ABC nhọn khi và chỉ khi F > 0

b ABC vuông khi và chỉ khi F= 0

c ABC tù khi và chỉ khi F < 0

Chọn : F > 0 , Xây dựng được bất đẳng thức đại số:

1 tan 1

2cos

1 tan

12cos

1 tan 1

2cos

2.1.2 Kết quả cơ bản thứ hai

Với a, b, c là các số thực dương, thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 và abc + a + b + c < 2, khi đó tồn tại ba góc của một tam giác nhọn A, B, C sao

2 1

A

A a

2

A a

A

A a



2.1.4 Kết quả cơ bản thứ tư

Với a, b, c là những số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = abc, khi đó tồn tại các góc của một tam giác A, B, C sao cho:

2.1.5 Kết quả cơ bản thứ năm

Với a, b, c là những số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = abc, 1+ab+bc+ca < 2abc, khi đó tồn tại các góc của một tam giác A, B, C sao cho:

2.2 Xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lƣợng giác

2.2.1 Xây dựng các đẳng thức đại số từ các đẳng thức lượng giác

A

C B

A C

B A

sin

1 sin

1 sin

1 2

2

cot 2

cot 2

cot 2

tan 2

tan 2

ca bc ab

c b a

CMR:

c

c b

b a

a c

b a c b a

2 2

2

1 1

1 1 1

A C

B A

C B

A

cotcot

cotsin

1sin

1sin

12

cot2

cot2

ca bc ab

c b

a

CMR:

c

c b

b a

a c

c b

b a

a c

b

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

+ Bài toán gốc: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sinA.sinB.sinC

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b

a

        2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

1 1

1

8 1

1 1

1 1

1

c b

a

abc c

c c b

b b a

a a

ca bc ab

c b a

2 2

2 2

2

11

1

41

1

11

11

1

c b

a

abc c

c b

b a

+ Bài toán gốc: cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C   1  4 cos A cos B cos C

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

CMR:

        2  2  2 

2 2

2 2

2

4 2 2

2

4 2 2

2

4 2

11

1

11

1411

611

611

6

1

c b

a

c b

a c

c c b

b b a

a a

+ Bài toán gốc: tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

+ Bài toán gốc: cot A.cosBcosB.cosCcosC.cosA1

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

4 1

1 1

1 1

ac

c a

bc

c b

ab

b a

Bài 9:

+ Bài toán gốc: tan 2 A  tan 2 B  tan 2 C  tan 2 A tan 2 B tan 2 C

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

CM:

 2 4 2 4 2 4

2 2

2 4

2 2 4

2 2 4

2 2

616

16

1

11

1166

1

16

1

16

1

1

c c b

b a

a

c b

a abc c

c

c c b

b

b b a

a

a a

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

CMR:

4

331

b a

ca bc ab

c b a

3 2

2 2

4

31

sin2

sin2sin A B  C 

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

CMR:

2

3 1

b a

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

31

+ Bài toán gốc: 2 2 1

2

tan2

tan2

ca bc ab

c b a

CMR: a  b  c  2 2  1

Bài 6:

+ Bài toán gốc: sin A  sin B  sin C  1  2, với ABC có A ˆ  900

+ Bài toán mới: Cho

, 1 , 1

ac bc ab

c b a

CMR:

2

2 1 1

b a

cos cos

ca bc ab

c b a

11

81

1

41

11

1

2 2

2 2

2

2 2

b

bc c

b a

1sin

C B

ca bc ab

c b a

CMR:    1  1 1  4 3

c b a c b a

Bài 9:

+ Bài toán gốc: 2 3

2

cos2cos

2cos

2

cos2cos

2cos

2

cos2cos

C C

A

B C

B A

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

3 2 1

1 1

1

1 1

1

1 1

2

2 2

2

2 2

2

2 2

b

a c

a

c b

Bài 10:

2

sin 2

sin 2

ca bc ab

c b a

1 1

b a

cos 2

ca bc ab

c b a

1

11

11

1

2 2

+ Bài toán gốc: cos3 A  cos3B  cos3C  1

+ Bài toán mới: Cho

0 , 0 , 0

abc c

b a

ca bc ab

c b

a

CMR: 1

1

11

11

2

2 3

2

2 3

b a

a

Bài 13:

+ Bài toán gốc: sin3 A  cos2 B  cos2C với mọi ABC tù

+ Bài toán mới: Cho

0,0,0

abc c

b a

ca bc ab

c b

a

CMR:  

2 2

2 2

2

2 3

2

3

1

11

11

b a

cos 2

ca bc ab

c b a

1

1 1

1 1

1

2 2

+ Bài toán gốc: cosAcosBcosC 1

+ Bài toán mới: Cho

ca bc ab

c b a

1 1

2 2

2 2

b a

11cos

ABC nhọn