Giáo trình Cơ học chất lưu

Khác với vật rắn, các phân tử của chất lưu có thể chuyển động hỗn loạn bên trong khối chất lưu, vì vậy chất lưu luôn có hình dạng thay đổi phụ thuộc hình dạng bình chứa.. Chất khí khác v

1

Chương 1

MỞ ĐẦU 1.1 Đối tượng, phạm vi và mục đích của học phần

Cơ học chất lưu là một môn khoa học thuộc lĩnh vực cơ học, nghiên cứu c c quy luật chuyển động và đứng yên của chất lưu và c c quá trình tương tá của nó với cá vật khác

Chất lưu bao gồm chất lỏng và khí giống như các môi trường liên tục, được cấu tạo từ nhiều phân tử (chất điểm) Khác với vật rắn, các phân tử của chất lưu có thể chuyển động hỗn loạn bên trong khối chất lưu, vì vậy chất lưu luôn có hình dạng thay đổi phụ thuộc hình dạng bình chứa

Chất khí khác với chất lỏng ở chỗ thể tích của một khối khí có thể thay đổi phụ thuộc thể tích bình chứa, khối lượng riêng hay mật độ phân tử của chất lỏng lớn hơn hàng ngàn lần so với của chất khí Ở điều kiện bình thường, các phân tử của chất lỏng luôn giữ khoảng cách trung bình cố định ngay cả trong quá trình chuyển động hỗn loạn, vì vậy chất lỏng được xem là không chịu nén dưới tác động của ngoại lực Đối với chất khí, lực đẩy giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi khoảng cách giữa các phân tử giảm khá nhỏ, cho nên ở điều kiện bình thường chất khí bị nén dễ dàng

Phạm vi nghiên cứu của học phần cơ học chất lưu là các trạng thái vật lý, các qui luật vận động và tương tác của chất lưu ở trạng thái tĩnh và động

Mục đích của học phần cơ học chất lưu là Trang bị cho người học những hiểu biết nền tảng về các hiện tượng Vật lý xảy ra trong chất lưu, có kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán về cơ học chất lưu Có thể vận dụng kiến thức để làm việc trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: thiết kế các phương tiện vận chuyển; tính toán cho cấp, thoát nước, công trình thủy lợi và xây dựng, thiết kế các thiết bị thủy lực, …

1.2 Tính chất vật lý cơ bản của chất lưu 1.2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích

Khối lượng riêng trung bình của chất lưu theo định nghĩa là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lưu:

m V

 = g (1.3) với g là gia tốc trọng trường tại vị trí của khối chất lưu

Trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị là N/m3

Trong thực tế còn dùng đơn vị kgf/m3

1

i V



 (m3/kg) (1.5)

Chú ý: khối lượng một vật không thay đổi nhưng trọng lượng (riêng) thay

đổi do gia tốc trọng trường g thay đổi theo vĩ độ và độ cao trên mặt đất

1.2.2 Tính nén được

Đối với chất lỏng hệ số (suất hay modun) đàn hồi K được định nghĩa:

Ví dụ: Một xilanh chứa 0,1 lít nước ở 20 oC Nếu ép pitton để thể tích giảm

1 % thí áp suất trong xilanh tăng lên bao nhiêu?

với p là áp suất tuyệt đối, Vo là thể tích ban đầu của chất lưu

Suất đàn hồi K thường dùng cho chất lỏng, hầu như là hằng số, rất ít phụ thuộc vàp áp suất và nhiệt độ Hầu hết các loại chất lỏng đều rất khó nén nên được xem như là chất lưu không nén được

Một dòng khí chuyển động với vận tốc nhỏ thì sự thay đổi khối lượng riêng không đáng kể nên vẫn được xem là chất lưu không nén được

Khi dòng khí chuyển động với vận tốc lớn hơn 0,3 lần vận tốc âm thanh (

100 m/s) thì được xem là chất lưu nén được

Đối với chất khí, hầu hết các khí thực ở điều kiện bình thường được xem như là khí lý tưởng, chúng tuân theo phương trình trạng thái khí lý tưởng:

pV = RT Hay: p = RT Trường hợp nén khí đẳng nhiệt thì:

4

pV = const Trường hợp nén khí đoạn nhiệt thì:

pV = const với  là hệ số poisson hay chỉ số đoạn nhiệt

Vận tốc truyền âm trong chất lưu:

Chất lưu không có khả năng chịu lực cắt, khi có lực này tác dụng, nó sẽ chảy

và xuất hiện lực ma sát bên trong

Ứng suất ma sát giữa các lớp chất lưu song song do sự chuyển động tương đối giữa các lớp phụ thuộc vào gradient vận tốc du/dy

Hình 1.1 Chất lỏng Newton chảy tầng

Để đặc trưng cho ma sát giữa các phần tử chất lưu trong chuyển động, ta xét một chất lỏng Newton chảy tầng theo phương vuông góc với y (hình 1.1), theo định luật ma sát nhớt Newton ta có biểu thức:

du dy

Trong đó: τ là ứng suất ma sát (đơn vị là N/m2

)

µ là hệ số nhớt động lực học

u là vận tốc chất lưu, phụ thuộc vào y

Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của µ là

5

dùng đơn vị poise, 1 poise = 0,1 Pa.s

Ngoài hệ số động lực học µ, người ta còn sử dụng hệ số nhớt động họcυ, được định nghĩa:







Đơn vị của υ trong hệ SI là m2

/s hay stoke, 1 stoke = 1cm2/s = 10-4 m2/s

Có hai loại chất lưu (hình 1.2):

Độ nhớt động lực học µ = 0 đối với chất lưu lý tưởng

Hệ số nhớt µ phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất Khi nhiệt độ tăng đối với chất lỏng µ giảm, còn đối với chất khí thì ngược lại Khi áp suất tăng µ của chất lỏng tăng, còn đối với chất khí µ hầu như không thay đổi khi áp suất tăng

Hầu hết các loại chất lưu thông thường như nước, xăng, dầu, … đều thỏa mãn công thức Newton, tuy nhiên một số chất lỏng kém linh động như hắc ín, nhựa nóng chảy, dầu thô, không tuân theo công thức Newton được gọi là chất lỏng phi Newton Đối với chất lỏng thông thường khi chảy ở trạng thái chảy rối cũng không tuân theo công thức Newton

Với khái niệm hệ số nhớt có thể định nghĩa chất lưu lý tưởng là chất lưu có

6

hệ số nhớt (ma sát) bằng không, còn chất lưu thực có hệ số nhớt (ma sát) luôn khác không

Ðộ nhớt trong chuyển động của chất lưu thực có hai vai trò:

Thứ nhất là tạo ra sự truyền chuyển động từ lớp nọ qua lớp kia, nhờ đó mà vận tốc trong dòng chất lưu thay đổi liên tục từ điểm này qua điểm khác

Thứ hai là chuyển một phần cơ năng của dòng thành nội năng của nó, tức là tạo ra sự khuếch tán cơ năng

tụ thì áp suất trong khoảng không gian kín đó được gọi là áp suất hơi bão hòa pbh

Áp suất hơi bão hoà tăng theo nhiệt độ

Ví dụ ở 25o

C, nước có pbh = 0,025 at; ở 100o C, pbh = 1at

Khi áp suất tác dụng lên bề mặt chất lỏng  áp suất hơi bão hoà thì chất lỏng bắt đầu sôi (hoá hơi) Ví dụ có thể cho nước sôi ở 25o

C nếu hạ áp suất xuống còn 0,025at

Tại một số vùng nào đó trong dòng chảy nếu áp suất tuyệt đối nhỏ hơn giá trị áp suất hơi thì chất lỏng sẽ sủi bọt Các bọt khí này khi vỡ sẽ gây tổn hại đến bề mặt của thành rắn gọi là hiện tượng xâm thực khí

1.2.5 Sức căng mặt ngoài và hiện tượng mao dẫn

Khoảng cách giữa các phân tử chất lỏng khá nhỏ so với trong chất khí, do đó lực hút giữa các phân tử chất lỏng là lớn hơn lực hút giữa các phân tử chất lỏng với các phân tử chất khí Vì vậy lớp phân tử nằm ở mặt thoáng chất lỏng chịu một lực tác dụng hướng vào trong chất lỏng ực tác dụng lên các phân tử ở lớp mặt ngoài chất lỏng ép lên các phân tử chất lỏng phía trong và gây nên một áp suất gọi là áp suất phân tử Hiện tượng này làm bề mặt chất lỏng giống như một màng mỏng bị căng, nó tạo ra một sức căng trên bề mặt chất lỏng

Theo định nghĩa, sức căng bề mặt  là lực căng trên 1 đơn vị chiều dài nằm trong bề mặt cong của chất lỏng và vuông góc với đường bất kỳ trên bề mặt chất lỏng Đơn vị trong hệ SI của  là N/m

Chính do sức căng bề mặt mà các giọt chất lỏng trong tự nhiên thường có dạng cầu Cũng do sức căng bề mặt mà gây nên hiện tượng chất lỏng làm ướt và

7

không làm ướt chất rắn, hệ quả của nó là hiện tượng mao dẫn (hình 1.2)

ọi h là chiều cao cột chất lỏng dâng lên (hay hạ xuống) trong ống mao dẫn, r

là bán kính ống mao dẫn, là bán kính cong của mặt khum chất lỏng,  là góc làm ướt, theo công thức urin (hình 1.2) ta có:

+ Nếu 0   < /2, cos > 0 chất lỏng dâng lên

+ Nếu /2 <   , cos 0 chất lỏng hạ xuống

Với chất lỏng xác định, ở nhiệt độ xác định thì khối lượng riêng  và  không đổi, ống càng nhỏ (r bé) chiều cao cột chất lỏng càng lớn

Hiện tượng mao dẫn có vai trò rất quan trọng đối với tự nhiên và kỹ thuật

8

Chương 2

TĨNH HỌC CHẤT LƯU 2.1 Áp suất thủy tĩnh 2.1.1 Khái niệm

Tĩnh học chất lưu nghiên cứu chất lưu ở trạng thái cân bằng, không có chuyển động tương đối giữa các phần tử

Một khối chất lưu được gọi là ở trạng thái tĩnh tuyệt đối khi nó nằm ở trạng thái cân bằng chỉ chịu tác dụng của ngoại lực duy nhất là trọng lực

Một khối chất lưu được gọi là ở trạng thái tĩnh tương đối: khi nó nằm ở trạng thái cân bằng chịu tác dụng của nhiều ngoại lực (trọng lực, lực quán tính, lực ly tâm, ….)

F p

S



 (2.1)

d dS

- Từ định nghĩa ta thấy áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích

chịu lực và hướng vào diện tích ấy

- Trị số áp suất thuỷ tĩnh không phụ thuộc vào hướng của diện tích chịu lực

Ta có thể chứng minh điều này:

Xét sự cân bằng của một thể tích vi phân chất lưu hình tứ diện vuông góc có

các cạnh x, y, z, s đặt tại gốc toạ độ (hình 2.2)

Các lực lên phần tử chất lưu gồm:

ực mặt: pxyz; pyxz; pzyx; psys

ực khối: 1

2Fxyz với  là khối lượng riêng của chất lưu, F là lực khối đơn vị

Hình 2.2

Do khối chất lưu nằm cân bằng nên tổng các lực tác dụng lên nó theo

phương bất kỳ phải bằng không, chẳng hạn phương x:

2 ρFxδxδyδz là lực khối tác dụng lên phần tử chất lưu chiếu lên phương Ox

Từ phương trình (2.3) ta thấy khi x  0 thì px = ps

Chứng minh tương tự cho các phương khác, Cuối cùng ta có:

px = py = pz = pn (2.4) Biểu thức (2.4) chính là điều phải chứng minh

2.1.4 Đơn vị của áp suất

Trong hệ đơn vị SI đơn vị của áp suất là: [p] = N/m2

= Pa Ngoài ra trong thực tế còn dùng các đơn vị: kgf/cm2

, atmotphe kỹ thuật (at), atmotphe vật lý (atm), m nước, mHg, dyn2

cm

1 at = kgf/cm2 = 10 m nước = 736 mHg = 9,81.104 Pa

1 tor = 1 mHg = 133 Pa là áp suất gây nên bởi cột thuỷ ngân cao 1 mm

1 atm là áp suất gây nên bởi cột thuỷ ngân cao 760 mHg = 1,01.105

Pa

1

0,1 10

Pa

2.1.5 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất chân không

Áp suất tuyệt đối p tđ : là giá trị đo áp suất so với chuẩn là chân không tuyệt

đối, nó chính là giá trị áp suất thực, ví dụ áp suất của không khí pk = 98100 N/m2

Áp suất dư p d: là giá trị đo áp suất so với chuẩn là áp suất khí trời (p

a)tại vị trí đo (còn gọi là áp suất tương đối) hay áp suất được so sánh với áp suất khí quyển:

pd = ptđ – pa (2.3)

Áp suất chân không p ck: là áp suất còn thiếu cần phải thêm vào cho bằng áp

suất khí trời:

pck = pa – ptđ = 98100 N/m2 – ptđ = – pd (2.4)

11

2.1.6 Lực khối và lực mặt

Ngoại lực tác dụng lên mọi phần tử của

chất lỏng và tỉ lệ với khối lượng của chất lỏng

gọi là lực khối

ọi là lực khối tác dụng lên thể tích

V của chất lưu có khối lượng riêng  (hình 2.3)

Theo định nghĩa vector cường độ lực khối tại

một điểm nào đó trong khối chất lưu là:

Ví dụ các lực khối như: Hình 2.3

- Trọng lực: F  g

- ực quán tính: F   a

- ực ly tâm: F 2r

Ngoại lực tác dụng lên từng phần tử của thể tích chất lưu và tỉ lệ với diện

tích bề mặt bao bọc chất lưu gọi là lực mặt

ọi là lực mặt tác dụng lên diện tích S của chất lưu (hình 2.4), vector ứng suất  tại một điểm trên S được định

ực khối tác dụng lên khối chất lỏng là )

ực tác dụng lên khối hình hộp theo phương x gồm:

ực tổng cộng tác dụng lên khối chất lưu theo phương x phải bằng 0:

.dxdydz.Fx + p dydz p p dx dydz

(2.8) là phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học chất lưu

Nếu lực khối tác dụng chỉ là trọng lực, phương trình cơ bản tĩnh học chất lưu trở thành:

1 – 0





  p = p(y,z) 0

p y

14

p + z = C  (2.10)

p z

(2.10’) gọi là phương trình cơ bản thủy tĩnh dạng 2 là phương trình để tính

áp suất tại một điểm

trong đó: p

0 là áp suất tại mặt phân chia chất lỏng

h là độ sâu từ mặt phân chia chất lỏng đến điểm cần tính áp suất

(2.11) là phương trình thuỷ tĩnh Từ (2.11) ta suy ra một số hệ quả sau:

– Trên mặt đất mặt đẳng áp của các chất lưu là mặt nằm ngang

– Trong một khối thể tích có nhiều chất lưu khác nhau, khối lượng riêng khác nhau, không trộn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là các mặt đẳng áp

– Độ chênh áp suất giữa hai điểm A và B trong một môi trường chất lưu chỉ

15

phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng giữa hai điểm đó

Đối với chất khí: Do tính chất nén được của chất khí nên   const Xét khối khí nằm trong trường trọng lực, coi chất khí là khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái khí lý tưởng:

p C T

Cuối cùng ta thu được phương trình tĩnh học khí quyển:

2.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 2.3.1 Áp kế

Áp kế tuyệt đối:

Dùng để đo áp suất tuyệt đối của khí quyển, nguyên tắc cấu tạo của dụng cụ (hình 2.8), áp suất khí quyển pk được xác định bởi chiều cao cột thuỷ ngân dâng lên trong ống hàn kín:

Pk = Hggh

16

Định luật hai bình thông nhau:

Một ống hình chữ U hở hai đầu đựng hai chất lỏng khối lượng riêng 1 và 2

h h

Định luật: Khi chất lưu ở trạng thái cân bằng thì áp suất tại một điểm trong

lòng chất lưu là phân bố đều theo mọi phương Nghĩa là áp suất tại điểm đó phân

bố theo mọi phương có độ lớn bằng nhau

Từ định luật Pascal có thể chứng minh được nếu chất lỏng đứng yên và chịu

17

tác dụng của một áp suất nào đó từ bên ngoài thì áp suất đó sẽ được chất lỏng truyền đi theo mọi phương với cùng độ lớn Điều này được ứng dụng trong kỹ thuật máy nén thuỷ lực

2.3.3 Biểu đồ phân bố áp suất

Từ công thức (2.10’) biểu diễn sự thay đổi áp suất trên một diện tích ta sẽ được biểu đồ phân bố áp suất (hình 2.10) Nếu biểu diễn độ cao áp suất thì ta được biều đồ phân bố áp lực (hình 2.11)

Hình 2.10 Biểu đồ phân bố áp suất Hình 2.11 Biểu đồ phân bố áp lực

Hình 2.12 biểu diễn một số biểu đồ phân bố áp lực trên mặt cong

Hình 2.12 Biểu đồ phân bố áp lực trên mặt cong

Dùng biểu đồ phân bố áp lực theo chiều sâu (hình 2.11) ta xác định được áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật có đáy nằm ngang (hình 2.13)

18

Hình 2.13 Áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật

Áp lực tác dụng lên mặt đáy (hình 2.11a): F = hLb

Áp lực tác dụng lên mặt bên (hình 2.11b): F = h2

b/2

2.4 Áp lực thủy tĩnh 2.4.1 Áp lực thủy tĩnh lên một mặt phẳng

Áp lực lên thành phẳng là tổng hợp của các lực song song và cùng chiều Gọi áp lực tổng hợp là P Ta cần xác định độ lớn và điểm đặt của P (hình 2.14) Kí hiệu C là trọng tâm của diện tích S,  là góc nghiêng của diện tích S so với phương nằm ngang, h là độ sâu của diện tích vi phân dS, po là áp suất khí trên mặt thoáng chất lỏng,  là trọng lượng riêng của chất lỏng Áp lực tác dụng lên diện tích vi phân dS là:

dP = pdS = (po + h)dS = (po + ysin)dS

Hình 2.12

Áp lực tác dụng trên toàn bộ diện tích S là:

P = pCS (2.14) với po + hC chính là áp suất tác dụng tại điểm C

Kết luận: Áp lực tác dụng lên một diện tích phẳng bằng áp suất tại trọng tâm

của diện tích nhân với diện tích đó

Xác định điểm đặt của áp lực

Áp dụng định lý Varignon's: “Mômen của hợp lực đối với một trục bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với trục đó” Ở đây ta lấy mômen đối với trục Ox:

yD là toạ độ điểm đặt của áp lực

y

C là toạ độ trọng tâm C, h

C = y

Csinα h

2.4.2 Áp lực chất lỏng lên mặt cong

Trường hợp đơn giản: mặt cong một chiều abc nằm xiên góc đối với trục

Oz và Oy, có cạnh ab song song với trục Oy (hình 2.13)

ực tổng cộng tác dụng lên mặt cong có thể viết dưới dạng tổng quát:

21

dụng lên hình chiếu của mặt cong trên mặt phẳng zOy

Tương tự theo phương Oz ta có:

Xét Trường hợp áp suất trên mặt thoáng bằng 0: ọi h là khoảng cách từ

dA theo phương thẳng đứng đến mặt thoáng ta có:

Khi một vật được nhúng trong một chất lưu, chất lưu sẽ tác dụng lên vật một lực có độ lớn đúng bằng trọng lực của phần chất lưu bị vật chiếm chỗ, phương của lực trùng với phương của trọng lựccủa vật, có chiều ngược với chiều trọng lực

Nếu vật ngập trong chất lưu ở độ sâu h nào đó, vật sẽ chịu tác dụng một áp lực:

F = W với  là trọng lượng riêng của chất lỏng, W là thể tích vật áp lực

2.5 Sự cân bằng một vật trong chất lưu 2.5.1 Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng

Ký hiệu C là điểm đặt của trọng lượng của vật, D là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật Khi vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng sẽ có thể có 2 trường hợp xảy ra (hình 2.14)

Nếu C nằm ở dưới điểm D, vì một lý do nào đó (ngoại lực tác dụng chẳng hạn) vật bị nghiêng đi, khi không còn tác dụng của ngoại lực vật sẽ tự chuyển về trạng thái cân bằng ban đầu Đó là trạng thái cân bằng ổn định

22

Nếu D nằm dưới điểm C, khi vật bị nghiêng đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu,

nó sẽ không thể tự trở về trạng thái cân bằng ban đầu được Đó là trạng thái cân bằng không ổn định

Hình 2.14

2.5.2 Vật ngập một phần trong chất lỏng

a) b)

Hình 2.15 a) Vật nổi cân bằng; b) Vật nổi mất cân bằng

Ký hiệu W là thể tích phần vật thể bị chìm trong chất lưu; C là trọng tâm của vật; D là trọng tâm của thể tích phần vật thể bị ngập khi ở vị trí cân bằng nó cũng

23

chính là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật; D' cũng giống như trên

nhưng ở vị trí nghiêng; là trọng lượng của vật thể; P là lực đẩy Archimède, bằng

trọng lượng chất lưu bị vật chiếm chỗ; M là tâm định khuynh, nó là giao điểm của

trục nổi (trục CD) với phương tác dụng của lực đẩy Archimède P khi nghiêng

(hình 2.15)

Khi góc nghiêng bé, điểm M giữ vị trí không đổi trên trục nổi ọi α là góc

nghiêng; Rm là bán kính định khuynh (độ cao của điểm M so với điểm D); hm là chiều cao định khuynh (khoảng cách từ điểm M tới điểm C)

Trục nổi ở vị trí cân bằng sẽ thẳng đứng, khi nghiêng nó hợp với đường thẳng đứng một góc α (góc nghiêng)

Ðường ngập chất lỏng: là giao tuyến của mặt thoáng và mặt bên của vật nổi

(ở vị trí cân bằng)

Diện tích mặt nổi: là diện tích của tiết diện do mặt thoáng cắt vật thể (ở vị trí cân bằng nó được giới hạn bởi đường ngập nước)

Ðiều kiện nổi: Vật thể sẽ nổi khi G  P Vật thể sẽ nổi ổn định khi

điểm M nằm cao hơn điểm C dọc theo trục nổi và không ổn định khi M nằm thấp

hơn C Có thể đánh giá độ ổn định bằng giá trị của chiều cao tâm định khuynh M hoặc trị số của bán kính tâm định khuynh m

Bán kính định khuynh được xác định bằng công thức :

W

o m

J

trong đó Jo là mômen quán tính của diện tích mặt nổi đối với trục nằm ngang O đi

qua tâm của diện tích mặt nổi

Chiều cao định khuynh là:

trong đó d - độ cao của điểm C so với điểm D

Trong thực tế có thể thấy rằng các vật nổi trong nước nếu tỉ khối phân bố không đồng đều thì phần có tỉ khối lớn sẽ chìm trong nước, phần có tỉ khối nhỏ nhất sẽ nổi trên mặt nước Ví dụ trứng gà, trứng vịt, … thả vào nước

Ðối với thuyền vận tải (xà lan v.v ), trị số của chiều cao định khuynh thường lấy khoảng 0,5m

24

2.5.3 Nguyên lý lắng ly tâm

uá trình phân ly dựa vào trường lực ly tâm để phân riêng hỗn hợp hai pha rắn – lỏng hoặc lỏng – lỏng thành các cấu tử riêng biệt gọi là quá trình ly tâm Máy

để thực hiện quá trình đó gọi là máy ly tâm

Trong quá trình ly tâm lắng và lọc, nguyên liệu chuyển động quay cùng với rôto của máy (hình 2.16) ực ly tâm sẽ làm cho các cấu tử có khối lượng riêng khác nhau phân lớp theo hướng của gia tốc trường lực Thành phần có khối lượng riêng lớn nhất sẽ tập trung ở vùng xa tâm nhất, còn phần có khối lượng riêng nhỏ nhất tập trung ở tâm của rôto

Hình 2.16 Nguyên l l m việc của máy ly tâm l ng

Tùy theo cấu tạo bề mặt rôto mà quá trình ly tâm tiến hành theo nguyên tắc lọc ly tâm hay lắng ly tâm Do đó cũng có hai loại máy ly tâm: máy ly tâm lắng và máy ly tâm lọc

ôto của máy ly tâm lắng có dạng hình trụ, kín, thành của rôto không có đục

lỗ Khi rôto quay dưới tác dụng của lực ly tâm, huyền phù hay nhũ tương được phân thành các lớp riêng biệt tùy theo khối lượng riêng của nó ớp khối lượng riêng lớn ở sát thành rôto, lớp có khối lượng riêng nhỏ ở phía trong y tâm lắng gồm quá trình lắng pha rắn tiến hành theo những quy luật của thủy động lực học

Kết quả của việc lắng ly tâm trong trường trọng lực là chất lỏng có tỉ khối nhỏ nhất sẽ nổi trên cùng và tập trung ở sát trục quay, chất rắn có khối lượng riêng lớn nhất sẽ lắng xuống đáy và tập trung ở xa trục quay nhất (sát thành bình)

Kết hợp với 3 phương trình đầu ta thu được phương trình:

– adx – gdz = 0 Hay adx = gdz

ấy tích phân hai vế ta được:

Từ phương trình (2.20) ta đi đến kết luận: Mặt đẳng áp l các mặt phẳng

nghiêng song song với mặt thoáng

Khi xe chuyển động và chất lỏng không bị tràn ra ngoài thì mặt thoáng sẽ đi

qua trung điểm M của mặt thoáng khi xe đứng yên

2.6.2 Chất lỏng trong bình chuyển động quay đều quanh trục thẳng đứng

Một chất lỏng trong bình chuyển động quay với góc không đổi (hình 2.18)

Chất lỏng cân bằng với lực khối trên các

phương như sau:

Thay vào phương trình cơ bản ta được

phương trình phân bố áp suất:

  (2.22)

Mặt đẳng áp là những mặt paraboloid tròn xoay Hình 2.18

Chú ý: Do thể tích chất lỏng trong bình không đổi nên khoảng cách từ mặt

thoáng chất lỏng khi bình đứng yên đến đỉnh và chân của paraboloid bằng nhau

28

Chương 3

ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU 3.1 Phương pháp nghiên cứu 3.1.1 Phương pháp Lagrange

Nghiên cứu chuyển động của từng phần tử chất lỏng riêng biệt Các toạ độ của phần tử chất lỏng đối với mỗi thời điểm phụ thuộc vào các toạ độ ban đầu và thời gian Chuyển động của thể tch chất lưu được mô tả bởi vị trí của c c phần của thể t ch tử theo thời gian

ọi là bán kính vecto vạch từ gốc toạ độ đến vị trí của phần từ chất lỏng ở thời điểm ban đầu (t = 0) Ở thời điểm t, vị trí của chất điểm ở vị trí r (hình 3.1) được xác định bởi:

d a

dt

d dt

  (3.2) Các thành phần của chúng là : Hình 3.1

3.1.2 Phương pháp Euler

Theo Euler, chuyển động của chất lưu được đặc trưng bằng việc xây dựng

trường vận tốc tức là xây dựng hình ảnh động của chất lỏng tại các điểm khác nhau của không gian ở mỗi thời điểm đã cho Trong đó, vận tốc tại tất cả các điểm và áp suất trong chất lỏng được xác định dưới dạng hàm số phụ thuộc không gian và thời gian, nó mô tả các yếu tố dòng chảy tại từng điểm trong không gian, do đó các thông số dòng chảy là một hàm của vị trí và thời gian (hình 3.2)

, , ,, , ,, , ,, , ,

x y z

30

( , , , )

uu x y z t (3.5’) Với 3 thành phần là:

ux = ux(x,y,z,t) uy = uy(x,y,z,t) uz = uz(x,y,z,t)

3 số hạng đầu gọi là gia tốc đối lưu, số hạng cuối gọi là gia tốc cục bộ

Phương pháp Euler có ưu điểm là chỉ cần giải 3 phương trình Tuy nhiên, nó cũng có nhược điểm là không cho thấy rõ cấu trúc của chuyển động Phương pháp Euler được áp dụng để đơn giản hoá việc tính toán

3.2 Một số khái niệm 3.2.1 Đường dòng

Đường dòng của một dòng chất lưu là các đường cong sao cho mỗi phần tử

chất lưu nằm trên đường dòng nào đều có vec tơ lưu tốc tức thời có phương tiếp tuyến với đường dòng đó Đường dòng cũng biểu thị quỹ đạo của phần tử chất lỏng đối với chất lưu chuyển động ổn định (dừng) (Hình 3.3) Trong dòng chảy tầng các

đường dòng song song với nhau

31

Hình 3.3 Đường dòng

Các đường dòng có tính chất là không cắt nhau

Phương trình vi phân của đường dòng là:

Hình 3.4 Nguyên tố dòng

3.2.3 Diện tích ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực

Diện tích ướt hay Mặt cắt ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy sao cho trực

giao với các đường dòng và nằm bên trong ống dòng

Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi dòng chảy tiếp xúc với thành

rắn (hình 3.4)

Hình 3.4 Mặt c t ướt v chu vi ướt

a b





3.2.4 Lưu lượng

à thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian Trong

hệ SI, đơn vị của là m3

/s

Xét một mặt cắt S trên một ống dòng

(hình 3.5) ấy một diện tích vi phân dS trên

mặt cắt S, vận tốc của chất lưu tại đó là

ưu lượng của dòng chảy là:

Q  udS (3.8) Hình 3.5 Lưu lượng

Như vậy lưu lượng chính là thể tích của biểu đồ phân bố vận tốc

3.2.5 Vận tốc trung bình mặt cắt ướt

Theo định nghĩa, vận tốc trung bình mặt cắt ướt (V) là lượng chất lưu chảy qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian, nó chính là lưu lượng trung bình qua mặt cắt ướt:

Q V S

 (3.9)

3.2.6 Chuyển động ổn định và không ổn định

Chuyển động của chất lỏng mà có các thông số của chuyển động như lưu tốc, áp suất thay đổi theo thời gian gọi là chuyển động không ổn định (không dừng)

Trường hợp ngược lại, nếu vận tốc và áp suất chỉ thay đổi theo toạ độ mà không đổi theo thời gian thì chuyển động gọi là ổn định (dừng)

33

3.3 Phương trình Bernoulli

ấy trong chất lưu lý tưởng một ống dòng giới hạn bởi hai diện tích S1 và S2

vuông góc với các đường dòng (hình 3.6) ọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu trên diện tích S1 và S2 tương ứng Sau thời gian t, lượng thể tích chất lưu đi vào tiết diện S1 là v1S1t = V1, lượng thể tích chất lưu ra khỏi tiết diện S2 là v2S2t =

V2 Ta phải có:

v1S1t = V1 = v2S2t = V2 = V (3.10) Chất lưu lý tưởng có thể xem như một hệ nhiều hạt Năng lượng của mỗi hạt bao gồm động năng và thế năng của nó trong trường hấp dẫn

Chọn t đủ nhỏ sao cho các hạt trong thể tích V1 có cùng vận tốc v1 và các hạt trong thể tích V2 có cùng vận tốc v2 Ký hiệu  là khối lượng riêng chất lưu,

ta có:

Động năng của các hạt trong thể tích V1 là:

2

1 1 1

2

V v

E  

Hình 3.6

Do t đủ nhỏ nên V1 và V2 cũng đủ nhỏ để xem như các hạt trong thể tích

V1 có cùng độ cao h1 và các hạt trong thể tích V2 có cùng độ cao h2 so với mặt đất Như vậy:

Thế năng của các hạt trong thể tích V1 là V1gh1

Thế năng của các hạt trong thể tích V2 là V2gh2

Biến thiên năng lượng của phần chất lưu đi vào so với phần chất lưu đi ra là:

A = p1S1l1 – p2S2l2 = (p1 – p2)V Với l1 và l2 là quãng đường phần tử chất lưu ở S1 và S2 tương ứng chảy được trong thời gian t Từ đó:

v

p  gh  const

(3.11)

(3.11) là biểu thức của định luật Bernoulli

Chú ý rằng các số hạng đều có cùng thứ nguyên của áp suất Số hạng p biểu

thị cho áp suất bên trong chất lưu chảy được gọi là áp suất tĩnh

Ý nghĩa của các số hạng trong biểu thức (3.11):

Theo (3.11) áp suất tĩnh được xác định là:

22

 xuất hiện khi vận tốc của chất lưu v  0 gọi là áp suất động

Số hạng này cho thấy do chuyển động của chất lưu mà áp suất bên trong chất lưu giảm đi Áp suất bên trong chất lưu giảm rất nhanh theo vận tốc chất lưu

Số hạng gh gọi là áp suất thuỷ lực, nó cho thấy áp suất tĩnh giảm theo sự tăng độ cao bên trong chất lưu

Ở trạng thái cân bằng (v = 0) của chất lưu:

p = po  gh Dấu (–) hay (+) phụ thuộc vị trí tính áp suất tĩnh so với mốc tính áp suất po

35

Dấu (–) khi vị trí tính áp suất p cao hơn vị trí tính Po, dấu (+) trong trường hợp ngược lại

po  gh = p được gọi là áp suất thuỷ tĩnh

Từ biểu thức (3.11) ta đi đến kết luận: Trong chất lưu lý tưởng chảy dừng,

áp suất toàn phần (gồm áp suất động, áp suất thủy lực và áp suất tĩnh) luôn bằng

nhau đối với tất cả các tiết diện ngang của ống dòng

3.4 Phân loại chuyển động 3.4.1 Phân loại theo ma sát

Đối với chất lỏng lý tưởng, hệ số nhớt  = 0 nên chuyển động của chất lỏng

là chuyển động không ma sát

Đối với chất lỏng thực, hệ số nhớt   0 nên chuyển động của chất lỏng là chuyển động có ma sát Khi đó, có thể xảy ra hai trường hợp chảy của chất lỏng là chảy thành từng lớp (còn gọi là chảy tầng) hoặc chảy rối phụ thuộc vào số Reynolds Re:

- Nếu e 2300 chất lỏng sẽ chảy tầng

- Nếu e > 2300 chất lỏng sẽ chảy rối

Xét sự chảy thành lớp của chất lưu thực trong một ống, Poiseuille tìm được công thức:

48

Trong dòng chất lưu thực mỗi hạt chịu tác dụng của áp lực P và lực nhớt FN Các lực đó làm hạt chuyển động có gia tốc

Theo định luật 2 Newton:

36

cho hạt chuyển động cong

Nếu hệ qui chiếu gắn liền với hạt chuyển động thì trong hệ đó trên hạt còn

có tác dụng của lực quán tính bằng:

d v ma

dt 

Có thể giả thiết rằng mức độ ổn định của sự chảy thành lớp được đặc trưng bởi tỉ số giữa các lực quán tính Fqt và lực nhớt FN, bởi vì nếu các lực quán tính càng lớn thì độ lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt trong dòng càng lớn, còn lực nhớt thì ngăn cản sự lệch đó

Tỉ số:

qt e N

F R

F  (3.12) được gọi là số eynolds Thực nghiệm đã xác định được đối với mọi loại chất lỏng

và các ống có đường kính khác nhau, khi Re < 2320 thì chất lỏng ở trạng thái chảy tầng; khi e > 2320 thì chất lỏng ở trạng thái chảy rối

3.4.2 Phân loại theo thời gian

ồm hai loại: chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định

Chuyển động ổn định là chuyển động mà các phần tử chất lưu có vận tốc và

gia tốc chỉ phụ thuộc vị trí không gian mà không phụ thuộc thời gian:

Chuyển động không ổn định: là chuyển động mà các phần tử chất lưu có

vận tốc và gia tốc phụ thuộc cả vị trí không gian và thời gian:

u = u(x,y,z,t) a = a(x,y,z,t)

3.4.3 Phân loại theo không gian

Phân loại thành các chuyển động một chiều, hai chiều và ba chiều

- Chuyển động của chất lưu là 1 chiều: x  0, y = z = 0

- Chuyển động của chất lưu là 2 chiều: x  0, y  0, z = 0

- Chuyển động của chất lưu là 3 chiều: x  0, y  0, z  0

3.4.4 Phân loại theo tính nén được

37

- Chuyển động của chất lưu không nén được ( = const)

- Chuyển động của chất lưu nén được (  const)

Đối với chất lưu nén được, người ta đưa vào số Mach được định nghĩa:

M = u/va vớiva là vận tốc truyền âm, u là vận tốc của phần tử lưu chấtKhi đó chuyển động của chất lưu được phân loại thành:

- Chuyển động dưới âm thanh (M < 1)

- Chuyển động ngang âm thanh (M = 1)

- Chuyển động trên âm thanh (M > 1)

- Chuyển động siêu âm thanh (M >> 1)

3.4.5 Phân loại theo trạng thái chảy

Chuyển động tầng: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử chất lưu chuyển

động trượt trên nhau thành từng tầng, từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau

Với các vận tốc nhỏ, chất lưu thực chảy trong ống thành lớp Có thể quan sát điều đó bằng thí nghiệm là đưa vào trong dòng chất lưu ở nơi vào của ống thủy tinh một luồng mảnh chất lưu màu Trong chế độ chảy lớp, luồng chất lưu màu không trộn vào dòng chất lưu Điều đó chứng tỏ các đường dòng trượt trên mhau hay các phần tử chuyển động luôn giữ phương song song

Chuyển động rối: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử chất lưu chuyển

động hỗn loạn, các lớp chất lưu xáo trộn vào nhau

38

Hình 3.7 Sơ đồ bố trí thí nghiệm Reynolds

Nghiên cứu chế độ chảy của dòng chất lưu trong ống, năm 1883 eynolds đã tiến hành thí nghiệm được mô tả trên hình 3.7

Tăng dần vận tốc của chất lưu trong ống ta thấy bắt đầu ở giá trị vận tốc tới hạn nào đó tính chất của sự chảy biến đổi uồng chất lưu màu tan nhanh do trộn mạnh vào dòng chất lưu tức là có sự chuyển từ chảy thành lớp sang sự chảy cuộn xoáy (chuyển động cuộn xoáy) Sự chảy cuộn xoáy đã chứng tỏ, có sự thay đổi qui luật phân bố vận tốc chất lưu theo tiết diện ngang của ống Đặc trưng cơ bản của dòng chảy rối là tồn tại thành phần vận tốc chuyển động ngang so với phương chuyển động của dòng chảy

Bằng cách điều chỉnh van 1, vận tốc chất lưu trong ống thủy tinh sẽ thay đổi

và Reynolds nhận thấy, khi vận tốc nhỏ, dòng mực chuyển động trong ống thủy tinh như một sợi chỉ xuyên suốt trong ống Tiếp tục tăng vận tốc tới một lúc nào

đó, dòng mực bắt đầu gợn sóng Nếu tiếp tục tăng vận tốc chất lưu thì dòng mực hòa trộn hoàn toàn trong nước, nghĩa là không còn nhìn thấy dòng mực nữa

Hiện tượng này được eynolds giải thích là khi vận tốc chất lưu nhỏ, chất lỏng chuyển động theo từng lớp song song nhau nên dòng mực cũng chuyển động theo đường thẳng Trường hợp này eynolds gọi là chế độ chảy tầng (lớp)

Khi vận tốc tăng đến một giới hạn nào đó, các lớp chất lỏng bắt đầu có hiện tượng gợn sóng (chuyển động theo phương vuông góc) do đó dòng mực cũng bị dao động tương ứng và chế độ này gọi là chảy quá độ

39

Tiếp tục tăng vận tốc chất lưu thì các lớp chất lỏng chuyển động theo mọi phương do đó dòng mực bị hoà trộn hoàn toàn trong lưu chất Trường hợp này gọi

là chế độ chảy xoáy (chảy rối)

Với việc nghiên cứu dòng mực chuyển động trong ống khi thay đổi vận tốc dòng lưu chất, eynolds đã tìm ra một giá trị không thứ nguyên đặc trưng cho chế

độ chuyển động của dòng chất lưu và được gọi là số eynolds:

w – vận tốc dòng chất lưu chuyển động trong ống

dtd – đường kính tương đương của ống

Thí nghiệm eynolds đã chứng tỏ rằng:

- Re < 2320 chất lưu chảy tầng

- Re = 2320 ÷ 10 000 chất lưu chảy quá độ

- Re > 10 000 chất lưu chảy xoáy

Trong công thức trị số e thì dtd được tính theo công thức: dtd = 4f/U, trong đó:

f – tiết diện ống

U – chu vi thấm ướt của ống

Nếu ống tròn có đường kính D thì tiết diện f = πD2

/4 và chu vi thấm ướt U =

πD Như vậy dtd = 4f/U = D

Nếu ống có tiết diện hình chữ nhật có cạnh a, b: tiết diện f=a.b và chu vi thấm ướt U = 2(a + b) Như vậy đường kính tương đương của ống có tiết diện hình chữ nhật là dtd = 4f/U = 2ab/(a+b)

Nếu ống có tiết diện hình vuông cạnh a thì dtd = a

3.5 Gia tốc của phần tử chất lưu

Xét phần tử chất lưu chuyển động trên quỹ đạo của nó (hình 3.7) Ở thời điểm to phần tử chất lưu có vận tốc ở vị trí (xo,yo,zo) Ở thời điểm t = to + t

u d a

u y y

u x x

u t t

u u

u t

y y

u t

x x

u t

u a

Xét thể tích W trong không gian chất lưu chuyển động W có diện tích bao quanh là S (hình 3.8) Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng chất lưu chuyển động qua không gian này Đại lượng X của chất lưu trong không gian W được tính bằng:

W

W

X k d (3.17)