CHUYÊN ĐỀ: DỰA VÀO ĐIỂM RƠI ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
Trong chuyên đề này tôi sử dụng hệ quả của bất đẳng thức côsi để giải toán và hệ quả thường vận dụng là:
y
x
y
4
1
1
a a a
n a
a
1
1 1
2 1
2
2
Sau đây là một số ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho a,b>0 và a+b=1
A,tìm GTNN của A= a b ab
1 1
2
+
Pt : ta thấy GTNN đạt được khi và chỉ khi a=b=1/2 ⇒ab=4
Giải:
6 2
4 ) (
4 2
1 2
1 1
2 2
+
≥ + + +
=
b a ab ab b
a
A
B,Tìm GTNN của B = a b ab
1 1
2
+
+ 4ab
ab ab
ab
4
1 4
16 ) (
4 ⇒ 2 = ⇒ =
=
⇒
Ta tách B như sau:B=
7 1 2 4 4
1 ) 4
1 4
( ) 2
1 1
( 2 2 + + + + ≥ + + =
a
C, tìm GTNN của C =
2 2
3 3
1 1 1
ab b a b
+
Pt :GTNN đạt được khi a=b=1/2
2 2
3
4
1
ab b a b
⇒
Trang 2Tách C như sau:C=
2 2
2 2
3
1 2
1 2
1 2
1 1
ab b a ab b a b
+
Ví dụ 2:Cho a+b+c=1 và a,b,c>0 Tìm GTNN của
A=a b c ab bc ac
1 1 1 1
2 2
+
+
Phân tích: GTNN khi a=b=c = 1/3
Suy ra :a2+b2+c2= 1/3=3ab=3bc=3ac
Tách A như sau:
30 3
7 1
100 )
( 7 ) (
100 )
3
1 3
1 3
1 ( 3
1
2 2
2
+
≥ + + + + +
≥ +
+ +
+
+
=
ac bc ab c
b a ac bc ab c
b
a
A
Ví Dụ 3: cho x,y >0 và x + y=1 Tìm GTNN của A=
)
1 )(
1
2
2
x
y y
Cách 1: ta thấy gtnn đạt được khi x=y =1/2
Nên x2=y2=1/4 suy ra x2=1/16y2
Ta b iến đổi như sau:
17 32 32
2 17
32 16
2 2
2 2
2
4
17 16
17 16
1 16
1
y
x y
x y
x y
17 32 32
2 17
32 16
2 2
2 2
2
4
17 16
17 16
1 16
1
x
y x
y x
y x
Trang 3Suy ra A= 16
289 4
4 289 4
17 )
1 )(
1
64
30 17
32 32 64
2 2 2 2
2 2
y x
y x x
y y x
Cách 2:
2
1
2 2 2
=
y x y x A
Ví dụ 4: Cho x , y , z không âm và
2014 2014
2014 y z
=3
Tìm GTLN của A = x2+y2+z2
Ta thấy dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
2012.1+x2014+x2014 ≥
2014 ( 2014 ) 2
2014 x
=2014x2 Tương tự ta có: