Phần 1: Phân tích ña thức thành nhân tử.. Chú ý : ðặt ñiều kiện trước khi phân tích ña thức thành nhân tử.. Bài tập 2: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử... Phần 3: Tìm sự xác ñịnh
Trang 1I Phần 1: Phân tích ña thức thành nhân tử
1 Phương pháp :
+ ðặt nhân tử chung
+ Dùng hằng ñẳng thức
+ Nhóm nhiều hạng tử
+ Tách, cộng, thêm, bớt
Chú ý : ðặt ñiều kiện trước khi phân tích ña thức thành nhân tử
2 Bài tập :
Bài tập 1: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử
1 b−4 2 a−9 3 a2 −3
4 a−1 5 a−7 6 4x2 −1
7 x3 −8 8 a3 −2 2 9 x3 +1
Bài tập 2: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử
1 x2 +y2 −2xy−4 2 21+ 3+ 7+1 3 x+2 x−3
4 1−a+ 1−a2 5 x− y+ xy2 − y3 6 x+2 x−3
7 a a +1 8 a3 + b3 − a2b − ab2
9 2a a+2 a −3a−3
Bài tập 3: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử
1 x x+ x−x−1 2 ab+2 a +3 b +6 3 (1+ x)2 −4 x
4 ab − a − b+1 5 x−2 x−1−a2 6 a+ a+2 ab +2 b
7 x x +y y +x−y 8 x− x−2
Bài tập 4: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử
1 x−3 x+2 2 x2 −3x y+2y 3.x+2 x−1
4 x3 −2 x−x 5 −6x+5 x+1 6 7 x−6x−2
7 x+4 x+3 8 2a+ ab−6b
Bài tập 5: Phân tích ña thức sau thành nhân tử
1 x−5 x+6 2 2a− ab−6b 3 3 a−2a−1
ðề cương ôn tập chương 1
Trang 24 4a−4 a −1 5 x−2+ x2 −4 6 x2 − x+x−1
7 2a−5 ab+3b 8.x4 −4x3 +4x2 9 3x−2x2 −1
Bài tập 5: Phân tích ña thức sau thành nhân tử
1 a3x−ab+b−x
2 x3 −4x2 +4x−1 3 5a(a−b)+b−a
4 x4 −3x2 +1 5 4x−x2 +5 6 3x−2x2 −1
7 ax ay− + −bx by 8 y2 −y−12 9 x2 −y2 +xy
2
II Phần 2: So sánh
1 Phương pháp :
+ So sánh giá trị
+ Áp dụng tính chất lũy thừa bậc 2, căn bậc 2
+ Xét hiệu A - B
+ So sánh nghịch ñảo
+ Áp dụng bất ñẳng thức cơ bản (cối, bunhiacopxki, trị tuyệt ñối)
+ Dùng phép biến ñổi tương ñương
2 Bài tập :
Bài tập 1: So sánh
1 5 và 2 6 2 2 5 và 19 3 3 2và 8
4 2 5 và 3 2 5 5 3 và 2 9 6 45 và 3,5 5
3
1
và 48 5
1
8 3 3 và 2 7 9 5 7 và 7 5
Bài tập 2: So sánh
1 4 7 và 3 13 2 3 12 và 2 16 3 82
4
1
và
7
1 6
4 3 12 và 2 16 5
2
17 2
1
và 19 3
1
6 3 3−2 2và 2
Bài tập 3: So sánh các số sau
1 7+ 5 và 49 2 2+ 11 và 3+5 3
2
17 2
1
và 19 3 1
4 21− 5 và 20− 6 5 82
4
1
và
7
1
6 6 6+ 20 và 1+ 5
7 7− 2 và 1 8 30− 29và 29− 28 9 8+ 5 và 7+ 6
Trang 310 27 + 6+1 và 48 11 5− 3 và
2
1
12 5 2+ 75và 5 3+ 50
Bài tập 4: sắp xếp các số sau :
1 5 2; 2 5; 2 3; 3 2 theo thứ tự tăng dần
2 21, 2 7 , 15 3 , - 123 theo thứ tự tăng dần
3 6 1
4 , 4
1
2 , - 132 , 2 3 ,
15
5 theo thứ tự giảm dần
4 28 2, 14, 2 147, 36 4 theo thứ tự tăng dần
5 - 27, 4 3, 16 5 , 21 2 theo thứ tự giảm dần
III Phần 3: Tìm sự xác ñịnh của các căn thức bậc hai
1 Phương pháp :
+ A xác ñịnh khi A≥0
B xác ñịnh khi B≠0
2 Bài tập :
Bài tập 1: Tìm ñiều kiện của x ñể các biểu thức sau có nghĩa
1 6x + 1 2 -3
2 + x 3 5 - 3x
- x + 5 5 - 8x 6 (x + 5)
2
7 6x - 4x 8 2011 - m 9 4 - 5x
m + 2 11 ( x - 7)( x + 7) 12
2 15 - 59
x - 7
13 ( 3 - x)2 14 16x - 1
x - 7 15 (x - 6)
6
16 4z2 + 4z + 1 17 x2 + 2x +1 18 2x + 5
19 -12x + 5 20 49x2 - 24x + 4 21 1
4 - 2a
22 3
12x - 1 23 2 - 4 5x +8 24
12x + 5 3
25 4x - 20 - 3 x - 5
9 26 4x + 8 + 2 x + 2 - 9x + 18
27 3x2 - 4x + 3 28 16(x + 1) - 9(x + 1)
Trang 4IV Phần 4: Thực hiện phép tính rút gọn phân số
1 Phương pháp : sử dụng các tính chất
A khi A
A khi A
≥
= =
+ A B2 = A B với B≥0
khi A B
A B A B khi A B
khi A B
A B
−
±
∓
2 Bài tập :
Dạng 1: RÚT GỌN căn bậc hai theo HẰNG ðẲNG THỨC 1 và 2
Phương pháp: rút gọn ñưa về dạng A2 = | A |
B1: Xác ñịnh 2ab thuộc biểu thức của A
B2: phân tích thành hằng ñẳng thức với a 2 + b 2 = hệ số còn lại
B3: ñưa về dạng A 2 = | A |
B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt ñối sao cho biểu thức A > 0
1 8 + 2 15 2 23 + 4 15 3 11 + 4 6
4 14 - 6 5 5 22 - 8 6 6 16 - 6 7
7 9 - 4 2 8 13 - 4 3 9 7 - 4 3
10 21 - 8 5 11 4 - 2 3 12 9
4 - 2
13 129
16 + 2 14 3 + 8 15
289 + 4 72
16 28 - 10 3 17 2 7 - 3 5 18 2 4 + 15
19 5 - 2 6 20 227 - 30 2 21 59
25 +
6
5 2
22 2 8 + 3 7 23 123 + 22 2 24 10 - 2 21
25 9- 4 5 26 11 + 6 2 27 12 - 3 7
Trang 528 2 - 3 29 3 - 5 30 7 - 3 5
31 2 - 3 ( 6 + 2) 32 ( 21 +7 ) 10 - 2 21
33 2.( 10 - 2 ). 4 + 6 - 2 5
34 (4 2 + 30)( 5 - 3) 4 - 15 35 ( 7 + 14 ) 9 - 2 14
Dạng 2: RÚT GỌN căn cho một số bằng phép KHAI PHƯƠNG :
Phương pháp khai phương: A2 B = |A|.B với
A 2 B = AB nếu A ≥≥≥≥ 0
A 2 B= - AB nếu A<0 Với B ≥≥≥≥ 0
Lưu ý: ðể tạo nên A 2 trong căn ta lấy biểu thức chia cho các số chính phương như : 2 2 = 4,
3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25, 6 2 = 36, 7 2 = 49, 8 2 = 64, 9 2 = 81, 10 2 = 100, 11 2 = 121, 12 2 = 144,
13 2 = 169, 14 2 = 196, 15 2 = 225, 16 2 = 256, 17 2 = 289, 18 2 = 324, 19 2 = 361, 20 2 = 400
1 A = 112 - 7 1
7 - 14
1
28 -
21
7 2 B = 3 2( 4 - 2 ) + 3( 1 - 2 2)
2
3 C = 2 27 + 5 12 - 3 48 4 D = 147 + 54 - 4 27
5 E = ( 15 - 2 3)2 + 12 5 6 F = 3 50 - 7 8 + 12 18
7 G = 2 80 - 2 245 + 2 180 8 H = 28 - 4 63 + 7 112
10 I = 44 - 176 + 2 275 11 J = 50 - 9
2 + 3 24
12 K = 27 - 2 48 + 5 12 13 L = 5 3 - 3 48 + 2 75 - 1
3 108
14 M = 20 - 2 10 + 45 15 N = 2 12 - 48 + 3 27 - 108
16 O = 343 - 112 - 63 - 21
Dạng 3: RÚT GỌN biểu thức NHIỀU CĂN
Phương pháp : sử dụng kết hợp phương pháp ở dạng 1 và dạng 2
Rút gọn các biểu thức sau :
1 A = 4 - 21 - 8 5 2 B = 4 - 2 3 + 1
3 C = 8 + 2 15 - 5 - 2 6 4 D = 28 - 10 3 + 4 + 2 3
5 E = 14 - 6 5 - 21 - 8 5 6 H = 19 - 3 40 - 19 + 3 40
7 F = 21 - 6 6 + 9 + 2 18 - 2 6 + 3 3 8 G = 6 + 2 2 3 - 4 + 2 3
Trang 69 I = 4 + 15 - 7 - 3 5 10 J = 2 + 3 + 2 - 3
11 K = 12 - 3 7 - 12 + 3 7 12 L = (3 2 + 6) 6 - 3 3
13 M = 9- 4 5 - 14 - 6 5 14 N = 9 - 4 2 - 13 - 4 3
15 O = 9
4 - 2 + 2 16 R =
13
4 + 3 -
7
4 - 3
17 S = 289 + 4 72
129
16 + 2 18 P = 11 + 6 2 - 8 + 3
19 T = 227 - 30 2 + 123 + 22 2 20 U = 11 + 4 6 - 5 - 2 6
21 V = 16 - 6 7 + 10 - 2 21 22 W = 28 + 300 + 19 - 192
23 Y = 5 - 3 - 29 - 12 5 24 Z = ( 7 - 2 )2 + ( 7 - 5)2
Dạng 4 : RÚT GỌN biểu thức căn có PHÂN SỐ ở dạng SỐ
Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( hằng ñẳng thức số 3 ) ñể trục căn ở mẫu
A - B =
C( A + B) (A + B)(A - B) =
C(A + B)
A 2 - B
Chú ý: Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng CHỮ và SỐ ðể rút gọn ñược, ta
cần lưu ý các ñiểm sau :
+ Có thể ñặt thừa số chung ñược không
+ Có thể ñưa về hằng ñẳng thức hay không
+ Có thể liên hợp ñược không
+ Có thể qui ñồng ñược không
Rút gọn các biểu thức sau
1 A = 1
5 + 2 6 -
1
5 - 2 6 2 B =
1
3 + 2 -
1
3 -2
3 C = 3
3 +
2 3
15 - 12
5 - 2 -
1
2 - 3
5 E = 3 + 5
3 - 5 +
5 - 3
5 + 3 6 F =
5 + 2 5
5 +
3 + 3
3 - ( 5 + 3)
7 G = 6 + 2 5 - 15 - 3
4 ( 2 - 5)2 -
4 ( 2 + 5)2
9 I = 10 - 2
5 - 1 -
2 - 2
1 + 2 + 2
1 + 2
1 - 2 - 2
1 - 2
Trang 711 K = 2
2 - 5 -
2
2 + 5 12 L =
6 - 2
1 - 3 - 3
: 1
2 - 3
13 M = 3 2 - 2 3
3 - 2 :
1
6 14 N =
6
1 + 7 +
1
7
15 O = 3 + 2 3
3 +
2 + 2
1 + 2 -
1
2
1 - 2 -
2
1 + 2
17 Q =
6 - 2
1 - 3 -
5
5
( 5 - 2) 18 R = 2
7 + 4 3 +
2
7 - 4 3
19 S = 2
5 + 1 -
2
3 - 5 20 T =
4
1 - 3 -
15 + 3
1 + 5
21 U =
2 - 5 +
2
5 + 3
21 - 12 3
22 V = 2
3 - 1 -
2
6 - 3 3
23 W = 5 3
3 - 5 - 3
3 - 5 + 3
2 2 + 3 + 5
Dạng 5: RÚT GỌN biểu thức căn có PHÂN SỐ ở dạng CHỮ
Phương pháp : Ngoài việc xem kĩ phương pháp dạng 4, chúng ta cũng cần lưu ý cách tìm Tìm tập xác ñịnh và cách tìm giá trị của ẩn x khi thay biểu thức bằng 1 giá trị xác ñịnh
1 A = a + b
a - b -
a - b
a + b ( với a ≥ 0, b ≥ 0, a≠b)
2 B = a - b
a - b -
a3 - b3
a - b ( với với a ≥ 0, b ≥ 0, a≠b)
3 C =
x3 + y3
x + y - xy
.
x + y
x - y
(Với x ≥ 0, y ≥ 0, x≠ y)
4 D = x - 4 - 16 - 8x2 + x4 ( x > 4)
5 E = a + b - 2 ab
a - b :
1
a + b (a>0,b>0,a≠b)
6 F =
2 + a - a
a - 1
.
2 - a + a
a + 1
(Với a>0,a≠1)
7 G = a - 3 a
a - 3 -
a + 4 a + 3
a + 3 ( với a ≥ 9 )
8 H = 9 - x
x + 3 -
9 - 6 x + x
x - 3 - 6 ( với x ≥ 9)
Trang 89 I =
x x + x + x + 1 -
1
x + 1:
2 x
x + 1 - 1
( với x ≥ 0, x≠1)
10 J = x + 12 + 6 x + 3 - x + 12 - 6 x + 3 ( với x ≥ 6 )
11 K = m2 + 6m + 9 + m2 - 6m + 9 (Với bất kì m)
12 L = a + 2 a -1 + a - 2 a - 1 ( với 1 ≤ a ≤ 2)
−
+
− +
−
1
1 1
1
x
x x
x
:
2 1
2 2
x x
−
(Với x>0,x≠1)
14 N =
x
x x x
x
x
+
−
1 1
2
(với x>0)
15 O =
x
x x
x x
x
x
−
+
−
−
+
− +
−
−
3
1 2 2
3 6
5
9 2
16 P =
x
x x x
x x x x
x
+
+
−
−
−
17 Q =
1
1 1
1 1
2
−
− + +
+ +
−
+
x x
x
x x
x
x
18 R =
1 2 1 2
1
1 1
2
−
+
− +
−
−
+
−
−
− +
x
x x
x
x x
x x x
x
x x x x
19 S =
x x x x
x x
+
−
1 :
1
20 T =
xy
x y y
:
y x
y x
−
−
4
a
−
− +
−
+
+
1 1
1 1
1
x
x x
23 W =
( )2
:
24 X =
x
x x x
x x
x
x
3
1 3 1
4 2 : 3 1
2 3
+
−
− + + +
Trang 9
25 Y =
+ +
+
−
−
−
+
1
2 :
1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
26 Z =
( )( )
: 4
x
+
−
−
+ +
+
1 1
1
x x x
x x
Dạng 6: CHỨNG MINH ñẳng thức căn
Phương pháp : thực tế, Bài toán CM cũng chỉ là bài toán rút gọn, ta chọn 1 vế bất kì rồi thu gọn cho
thành vế còn lại Vẫn sử dụng hết các tính chất của các dạng ñã nêu trên
Chứng minh các ñẳng thức sau :
1 21 - 6 6 + 9 + 2 18 - 2 6 + 3 3 = 0 2 2 + 3 + 4
2 + 3 + 6 + 8 + 4 = 2 - 1
3 6 + 2 5 - 13 + 48 = 1 + 3 4 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 =
3
5
x x + 27 y y
3 x + 9 y - xy
.(3 x + 9 y )
2 (x - 9y)2 > 2 2 6
(5 + 2 6 )(49 - 20 6) 5 - 2 6
9 3 - 11 2 = 1
7 a b + b a
ab :
1
a - b = a - b
25 + 24 +
1
24 + 23 +
1
23 + 22 + +
1
2 + 1 = 4
9
1 - a a
1 - a + a
(1 - a)
2 (1 - a)2 = 1 10 (4 + 15)( 10 - 16) 4 - 15 = 2
11 2
7 + 4 3 +
2
7 - 4 3 = 28 12 12 - 3 7 - 12 + 3 7 = - 6
V Phần 5: Bài toán tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
1 A=5a2 −4a−1 với
5
1
5+
=
3
5 5
=
a
3 C= 2a2 −4a 2+4 víi
2
1
2−
=
a
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
Trang 101 A=x2 +2x+16 Khi x= 2−1 2 B= x2 +12x−14 khi x=5 2−6
3 C= x2 −x 10 khi
2
5 5
2 +
=
2
3
1+
=
x
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau
1
1
1 1
1
+
−
;
b
a+ +1+
1 1
1
3
y x
xy
+ khi x=5+2 6;y=5−2 6
4
xy
y
khi x= 4+ 3;y = 4− 3
5 15x2 −x 15−2 khi
3
5 5
3+
=
x
6 ( )
2
1
x
−
− + khi x=2+ 3
Bài 4: Cho biểu thức : D=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
1 Chứng minh rằng D>0 với mọi giá trị của x
2 Tính D khi
2
5
7−
=
Bài 5: Cho biểu thức A= y−5x y +6x2
1 Phân tích ña thức A thành nhân tử
2 Tính A khi
7 4
18
; 3
2
+
=
−
3 Tìm ( )x y, ñể x− y+1=0 và A=0
Bài 6: Cho biểu thức : A=x2−3x y+2y
1 Phân tích ña thức trên thành nhân tử
2 Tính A khi
5 4 9
1
; 2 5
1
+
=
−
x
Bài 7: Cho biểu thức :
b ab a a
a a b
ab
a D
2 2
2
+
−
−
=
1 Rút gọn D
2 Tính D khi a= 2000 và b= 4+2 3
Trang 11Bài 8: Tính giá trị các biểu thức sau
1 6x2 −x 6+2 khi
2
3 3
=
x
2
2
2 +
−
x
x
khi x=5+2 6
3 x2 −x
khi
2
1
2−
=
x
4
1
1
−
+
x
x
khi x=1+ 2
Bài 9: Tính giá trị biểu thức :
+
+
−
+
+
−
=
1
1 1
1 : 1
1 1
1
x x
x x
ab
b a x
2
2
2 +
=
2.
x x
x B
− +
−
−
=
1
1 2
2
2
−
−
−
=
a
a a
a x
1
1 2
1
và 0<a<1
3 C a x a x
= + + − khi
b b
a x
1 +
= (a>0;b>0)
D
+ − −
=
2
2 +
=
a
a
x với 0<a<1
5
1
1 2
2
−
−
+
=
x x
x
+
=
a
b b
a x
2
1
với a<0; b<0
Bài 10: Cho
2
2 1
; 2
2
−
VI Phần 6: Bài tập tổng hợp
Bài 1: Cho biểu thức :
1
1 1
1 1
1 : 1
1 1
1
+ +
+
−
−
+
+
−
=
x x x
x x
D
1 Tìm ñiều kiện của x ñể D có nghĩa
2 Rút gọn D
3 Tính giá trị của D khi x2 −x=0
4 Tìm x khi
2
3
=
D
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
=
2
2 1
1
1 : 1
1 1
1
2
x x
x x
x
x x
x E
Trang 121 Tìm x ñể E có nghĩa
2 Rút gọn E
3 Tìm x ñể E<0
4 Tìm x khi E−x−3=0
Bài 3: Cho biểu thức :
4
100 10
2 5 10
2 5
2 2 2
−
+
− +
−
+
=
x
x x x
x x x
x M
1 Tìm x ñể M có nghĩa
2 Rút gọn M
3 Tính M khi x=2004
2 3
2 2
1 2 : 1 1 1
2
1
x x
x x x x x
x x
x
N
+
+
−
−
−
−
− +
−
=
1 Tìm tập xác ñịnh của N
2 Rút gọn N
3 Tính giá trị của N khi x= −1
4 Tìm x ñể N = −1
5 CMR N<0 với mọi x thuộc tập xác ñịnh
−
+
− +
−
−
=
1 1
2
1
a a a
a a a
a A
1 Tìm ñiều kiện của a ñể A có nghĩa
2 Tìm a ñể A> −6
3 Tính A khi a2 −3=0
−
+ +
−
−
−
+
=
a a a a
a a
a
1
1 1
1
1 Tìm a ñể A có nghĩa
2 Rút gọn A
3 Tính A khi
6 2
6 +
=
4 Tìm a ñể A > A
Bài 7: Cho biểu thức:
2
1 :
1
1 1 1
−
+ + +
+
−
+
x x
x
x x
x
x B
1 Tìm x ñể B có nghĩa
2 Rút gọn biểu thức B
3 CMR: B>0 với mọi x>0và x≠1
Trang 13Bài 8: Cho biểu thức :
−
+
−
−
−
−
=
1
2 1
1 : 1
a
a K
1 Tìm ñiều kiện của a ñể K có nghĩa
2 Rút gọn biểu thức K
3 Tính giá trị của K khi a=3+2 2
4 Tìm giá trị của a sao cho K <0
1
2
+
+
− +
−
+
=
a
a a a
a
a a D
1 Tìm tập xác ñịnh của D
2 Tìm a ñể D=2
3 Cho a>1 hãy so sánh D và D
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 10: Cho biểu thức :
a a
a a
a H
−
+
− +
− +
+
=
2
1 6
5 3
2
1 Hãy rút gọn H
2 Tính H khi a2 +3a=0
3 Tìm a ñể H =5
−
+
− + +
+ +
−
+
=
1
1 1
1 1
2 :
1
x
x x x
x x
x
x N
1 Tìm x ñể N có nghĩa
2 Rút gọn N
2 So sánh N với 3
Bài 12: Cho biểu thức :
x
x x x
x x
x
M
−
−
−
−
−
−
− +
=
1 1
1 1
1 Rút gọn M
2 Tìm x ñể M >0
3 Tính M khi
7 2 9
53
−
=
+
−
− + +
1
3 : 1 1
3
2
a
a a
V
1 Tìm a ñể V có nghĩa
2 Tìm a ñể V = V