phương pháp giải bất phương trình vô tỷ

Đối tượng nhiên cứu………..3 NÔI DUNG:………....4 Chương I: Tóm tắt kiến thức cơ bản liên quan Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương Chương III: Phương pháp đặt ẩn phụ Chương IV: Phương

CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị công tác: Trường THPT ứng Hoà A – Hà Nội

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm chuyên ngành Toán – Tin.

Hệ đào tạo: Chính Quy.

Bộ môn giảng dạy: Toán.

Trình độ ngoại ngữ: Trình độ C (Tiếng Anh).

Trình độ chính trị: Sơ cấp

Khen thưởng: Sở khen năm học 2006 – 2007.

Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm 2007-2008

Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm 2009-2010

Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm 2010-2011

Tên đề tài: DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA

CĂN THỨC BẬC 2 CHO HỌC SINH LỚP 10

MỤC LỤC

SƠ YẾU LÝ LỊCH……….1

ĐẶT VẤN ĐỀ……… 2

A Cơ sở lý luận……… ……….3

B Cơ sở thực tiến……… ……… 3

C Mục đích SKKN………3

D Đối tượng nhiên cứu……… 3

NÔI DUNG:……… 4 Chương I: Tóm tắt kiến thức cơ bản liên quan

Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương

Chương III: Phương pháp đặt ẩn phụ

Chương IV: Phương pháp tọa độ véc tơ

Chương V: Bài tập áp dụng

ĐẶT VẤN ĐỀ

A Cơ sở lý luận

Dậy học phân loại dạng toán theo chủ đề hiện nay đang được áp dụng phổ biến Với việc phân loại các dạng toán giúp học sinh tiếp cận kiến thức dễ hơn Phân loại dạng toán cũng giúp cho học sinh nhìn nhận vấn đề một cách tổng quan.

Các tài liệu về lý luận dạy học đều khẳng định ở trương phổ thong dạy toán là dậy các hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện thực hiện các mục đích dậy toán ở trường phổ thong Bài toán là phương tiện hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vứng kiến thức; phát triển tư duy, hình thành

kỹ năng kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn.

B Cơ sở thực tiễn

C Mục đính SKKN

Đưa ra một số phương pháp giải bất phương trình chứa căn thức bậc hai vào giảng dậy, giúp các em học sinh nâng cao giải toán về bất phương trình nói chung và giải các bài toán khác.

D Đối tượng nghiên cứu

E Kế hoạch:

Khảo sát toàn bộ học sinh lớp 10A4 sau khi học xong chương bất đẳng thức, bất phương trình

Phân tích kết quả, phát hiện nguyên nhân, đưa ra biện pháp khắc phục.

Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài

Tổng số Số học sinh nắm vững kĩ năng giải

bất phương trình

Số học sinh chưa nắm vững kĩ năng giải bất phương trình

Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài

CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trước hết cần làm cho học sinh nẵm vững là việc đầu tiên đối với giải bấtphương trình chữa căn thức bậc hai là cần phải đặt điều kiện cho căn thức bậc hai

Giáo viên cần dạy cho học sinh các phép biến đổi tương đương của phươngtrình sau:

 Số học sinh nắm vứng kiến thức giải bất phương trình

Nếu F(x) > 0 với mọi x thuộc TXĐ của bất phương trình.

P(x) < Q(x) ⇔ P(x) Q(x) > Q(x) F(x)

Nếu F(x) < 0 với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình

Chú ý: Đây là phép biến đổi mà học sinh rất hay nhầm lẫn và làm theo thói

quen như giải phương trình, Giáo viên cần nhấn mạnh các điều kiện và phát triển

rõ bằng phép biến đổi tương đương trên

CHƯƠNG II GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

⇔ { [ x≤−1

x≥1 x≥−1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S = [1;3]∪{−1}

Chú ý: Trong bài toán này giáo viên lưu ý cho học sinh cách kết hợp nghiệm, có

thể dùng trục số để không làm mất nghiệm của bất phương trình

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S =

[1;14

5 )

Khi học đã nắm vững hai dạng cơ bản trên thì giáo viên nêu rõ việcgiải các bất phương trình chữa căn bậc hai khác ta thường dùng các phươngpháp biến đổi tương đương, hoặc đặt ẩn phụ để đưa về một trong hai dạngphương trình cơ bản.

II Phương pháp bình phương liên tiếp

Nguyên tắc cơ bản để giải bất phương trình chứa căn thức bậc 2 đó làkhử căn thức Một trong các cách khử căn thức là sử dụng phép bình phươngnhư trong dạng cơ bản Tuy nhiên có những bất phương trình, phương trình

ta cần phải sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp thì mới đưa được bấtphương trình về dạnh không còn chữa căn thức nữa

Lưu ý: Là khi bình phương hai vế của bất phương trình phải nhớ đặt điều kiện để

hai vế không âm( Cũng có thể đặt điều kiện để hai vế cùng dấu)

Ví dụ4: Giải bất phương trình sau: √ x+1+2 √ x−2≤ √ 5 x+1

Lưu ý: Trong ví dụ 5 nếu là phương trình ta có thể bình phương hai vế luôn, để

được phương trình hệ quả rồi thử lại nghiệm nhưng đối với bất phương trình ta buộc phải chuyển vế để phương trình có hai vế không âm rồi mới được thực hiện bình phương.

Kết hợp điều kiện thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =

(−15;−4)∪(−1;1]

III Phương pháp chia khoảng, xét dấu

Ta thường sử dụng phương pháp này đối với bất phương trình vô tỷ ở dạngtích hoặc thương Sử dụng phép biến đổi tương đương nhân hoặc chia với biểuthức F(x) thì cần biết rõ dấu của F(x) là dương hay âm.

Bất phương trình đã cho tương đương với 4 x−3)(√x2−3 x+4−2≥0

Trường hợp 3: Với x∈(34;+∞)

Bất phương trình: ⇔ √x2−3 x+4≥2 ⇔ x2−3 x≥0 ⇔

[ x≤0 x≥3

Trường hợp 1:

[ x=4 x=1

là nghiệm của bất phương trình

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Một trong các phương pháp khử căn thức đó là đặt ẩn phụ, trong nhiềutrường hợp khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp biến đổi tương đương sửdụng phép bình phương hai vế có thể dẫn đến bất phương trình bậc cao có cáchgiải phức tạp hoặc không giải được Để khắc phục tình trạng đó ta có thể dungphương pháp đặt ẩn phụ chuyển về phương trình dạnh quen thuộc

Ta thường thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ, điều kiện cho ẩn phụ

+ Bước 2: Chuyển bất phương trình đã cho về bất phương trình chứa ẩn phụ

Giải bất phương trình chứa ẩn phụ đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ đã nêu

để tìm nghiệm thích hợp của bất phương trình này

+ Tìm nghiệm của bất phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ.

Trong ba bước trên, thì quan trọng nhất là bước 1, vì nó quyết định tính chính xác,ngắn gọn và độc đáo của lời giải bài toán

Sau đây tôi xin nêu một vài dạng bất phương trình cơ bản với cáh đặt ẩn phụtương ứng

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (0;4)

Từ dạng 2 này ta có thể mở rộng cho các bất phương trình tương tự

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: √3x−2+√x−1≤4 x−9+2√3 x2−5 x+2>13

Lời giải:

ẩn x điều kiện của t

Giáo viên có thể minh họa một vài ví dụ về dạng bất phương trình trên:

Trường hợp1: x=1 là nghiệm của bất phương trình

Trường hợp1: x>1 chia hai vế của bất phương trình cho x−1>0 ta được

⇔ x2−8 x+10>0 ⇔

[ x>4+ √ 6

x<4− √ 6Kết luận tập nghiệm của bất phương trình là: S = [1;4−√6)∪(4+√6;+∞)

Nhận xét: Dễ thấy x

2−1=( x−1)(x2+x+1)

Đặt Q(x) = x-1, P(x) = x2+x+1

Mẫu chốt của lời giải là phân tích vế trái của bất phương trình (1) như sau:

Vế trái(1) = 2(P(x) + 3 Q(x) nếu học sinh nào tinh ý sẽ thấy 2 là hệ số x2trong vế trái(1) từ đó suy ra 3 Ta cũng có thể làm theo phương pháp tổng quát sửdụng phương pháp hệ số bất định

Trường hợp 1: x=1 là nghiệm của bất phương trình

Trường hợp2: x>1 chia hai vế cho x-1>0

Bất phương trình trở thành: t

2

[ t≤1 t≥3

(1)

¿ ¿

Với t≥3 , tương tự VD5 thì ta cũng tìm được tập nghiệm của bất phươngtrình là : S = [1; 4−√6]∪[4+√6;+∞)

Nhận xét: Trong ví dụ 6 thì ta phải chuyển vế, bình phương rồi mới đưa

được về dạnh 3 Như vậy với cách hướng dẫn học sinh giải bài toán như vậy, giáo viên coc thể hướng dẫn học sinh các đề toán bài toán khác nhau của cùng một dạng toán.

Điệu kiện: 0≤x≤2−√3 hoặc x≥2+√3

Với x = 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho

Với x>0, bất phương trình tương đương với

Nhận xét: Trong ví dụ 8 đòi hỏi học sinh có khả năng phân tích nhận xét

mỗi quan hệ giữa các biểu thức trong căn và ngoài căn để từ đó dẫn đến việc chia hai vế cho √x và chọn biểu thức làm ẩn phụ.

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VEC TƠ

3 |⃗ a| - |⃗ b| ¿ |⃗ a+⃗b| đẳng thức xẩy ra khi hai véc tơ ⃗ a và ⃗b ngược

⃗b = (1;1)

Ta có ⃗u⃗v=( x−3+√x−1)

|⃗ u||⃗v|≥ √ 2 √ ( x−3)2+( x−1)= √ 2 x2−10 x+16Suy ra bất phương trình (2) có dạng ⃗ u.⃗v≥|⃗u||⃗v|

Mặt khác ta luôn có ⃗ u.⃗v≤|⃗u||⃗v| do đó để bất phương trình có nghiệm thì

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=5

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

Nhận xét: Trong ví dụ 2 giáo viên cần phân tích để học sinh nhớ

rằng để giải bất phương trình chữa ẩn ở mẫu nguyên tắc chung là ta thường

khử mẫu, do đó cần xét dấu của mẫu thức trước khi đưa về bất phương trình

có thể sử dụng phương pháp vức tơ.

CHƯƠNG V: CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNGGiải các bất phương trình sau