THẦY DUY THÀNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI bất PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

- Trước khi bình phương cần lưu ý sử dụng tập xác định đánh giá 2 vế của BPT và chỉ bình phương khi 2 vế dương.. Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung: Phương pháp đặt ẩn phụ có thể chia th

BÍ KÍP CHINH PHỤC BPT VÔ TỶ

I Phương pháp nâng lũy thừa

Nội dung:

- Bình phương 2 vế của bất phương trình sau đó thường đưa về một trong 2

( ) ( ) 0 ( ) ( )

f x g x   f x g x hoặc  2

( ) ( ) 0 ( ) ( )

f x g x   f x  g x

- Trước khi bình phương cần lưu ý sử dụng tập xác định đánh giá 2 vế của BPT

và chỉ bình phương khi 2 vế dương

Bài 1: Giải bất phương trình 2 1 2 2x 8 x

Điều kiện

2 2

x

x

x x

x

 



Với    2 x 0, bpt đã cho luôn đúng

Với x 2, bpt đã cho trở thành

3 2

4( 2) 2( 4) 4 2( 2) ( 2)

0

x

x







      

 



x

  





Vậy bpt có tập nghiệm là S  [ 2, 0)  1+ 5

II Phương pháp đặt ẩn phụ

Nội dung: Phương pháp đặt ẩn phụ có thể chia thành các dạng sau:

- Đặt ẩn phụ trực tiếp: t= một biểu thức chứa căn

- Đặt ẩn phụ sau khi đã chia 2 vế của bpt cho 1 biểu thức dương

- Đặt 2 ẩn phụ và đưa về bpt tích 2 ẩn

- Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: bpt có cả ẩn mới là t, ẩn cũ là x, nhưng chỉ coi

bpt là bậc 2 với t, còn x là tham số, tính  và giải Yêu cầu bắt buộc của

phương pháp là  phải là bình phương của một biểu thức

Bài 1: Giải bất phương trình

2

2 6( 2 4) 2( 2)

x

  

   

Điều kiện : x  2

Ta có

2 2

2

6( 2 4) 2( 2)

 

Do đó, bất phương trình tương đương với

2

2

Nhận xét x=-2 không là nghiệm của bất phương trình

Khi x>-2, chia cả 2 vế của bất phương trình (1) cho x 2 0 ta được

2

Đặt

2

x

t

x



 thì bất phương trình (2) trở thành

2

2

x x

x

x





  

Vậy bpt có nghiệm duy nhất x  2 2 3

(Chú ý: Bài này có nhiều cách giải khác như dùng véc tơ, dùng bất đẳng thức, dùng phép biến đổi tương đương…)

Bài 2: Giải bất phương trình

    trên tập số thực

Đặt 2

2

tx  , bpt trở thành 1 1 2

   Với điều kiện t0, bpt tương đương

( 1)( 1 1 ) 2

t

  (1)

Theo BĐT Cô-si ta có:

3

3

2 3 1 2 2 3 1

3 1

1 3 1 2 1 3 1

3 1

t

t

t

t









 VT 2  t0

Thay ẩn x được 2

2 ( ; 2] [ 2; )

x     x  

Bài 3: Giải bất phương trình 2 3 2

2x 2x 24xx 24x12 (1) Xét phương trình 2 3 2

2x 2x 24x x 24x12 (2) Điều kiện 3

2x 24x0  x 0 Thấy x=0 không phải là nghiệm của (2)

Với x>0, ta đặt

2 12 2

x y

x



 thì y>0 và 2 2

12 2

x   xy (3)

Từ (2) và (3) ta có:

2 2 2 2 2

2x 2 2x xy 2xy 24x12y 2x y (4) (do x>0, y>0)

Từ (3) và (4) suy ra 2 2 2 2

2 2 ( )( 2 ) 0

x y  xy  x y x y x y xy   x y (do x>0, y>0)

Thế x=y vào (3) ta được 2 3

12 2

x   x <=>x=2, suy ra y=2 (thỏa mãn x>0, y>0)

Thử lại thấy x=2 thỏa mãn phương trình (2) Như vậy (2) có nghiệm duy nhất x=2 Bây giờ ta xét hàm số liên tục f(x) = 2 3 2

2x 2x 24xx 24x12 với x [0;  ) Nhờ lập luận ở trên, ta có f(x)=0  x=2 Do đó, trên mỗi đoạn [0,2), (2,  ) hàm số không đổi dấu

Kiểm tra thấy f(0) = -12 < 0 nên f(x) < 0 với mọi x [0; 2) và f(3) = 18 126 93  > 0 nên f(x) > 0 với mọi x (2,  )

Vậy (1)  0  x 2

x  x  x  x  Điều kiện : x  2

Đặt 2

x  u x v, bất phương trình đã cho trở thành

u v u v

     

Ta có

2 2

2

1

x x

 

Do đó, (1) tương đương với 2

x   x  

2

2

2

2 2

2 3 0

1 33

2

1 ( 1) ( 4 8) 0

x

x

   



       





 





Vậy bpt đã cho có nghiệm x=-1 và     2 x 2 2 3

(4x  x 1) x   x 2 (4x 3x5) x  1 1

Điều kiện 1

1

x

x

 



 



u x  x v x  u v ta có

2 2 2 2 2 2

4x   x 1 u  3 , 4v x  3x  5 3u v

Bất pt đã cho có dạng

2 2 2 2 3

(u  3 )v u (3u v v)    1 (u v)        1 u v 1 u v 1

Xét

2

2

2

2 0

2

1 0

2

2 0

2

3

2 2 7

3

2 2 7 3

x

x x

x x

x x

x x

x x

  

 











 



  



  

  



 



Vậy tập nghiệm của bpt là ( ;2 2 7] [2 2 7; )

  

x  x  x  x 

Điều kiện: x   2.

Đặt: 2

x   u x   2 v , bất phương trình đã cho trở thành:

u   vv  uu v   u v u  v

Ta có:

2 2

2

1

x x

 

Do đó: (1) tương đương với 2

2

2

x



2

2

7

x



2

1

x

 





Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm: x   1 và     2 x 2 2 3

Bài 7: Giải bất phương trình: x 2   x 3 x 3   x 2 x 2   x 1 ( x  R ).

x2 x 3 x3 x 2x2 x 1 (1)

Điều kiện: 2 0 [ 1;0] [1; )

x x

x

x x







Với    1 x 0, VT  0, VP  0 nên    1 x 0 không là nghiệm của bpt

(1) 1- + 3 x +1 1- < 2x

 ( chia cả 2 vế của bpt cho x )

Đặt t 1 1

x

   0   t 1  Bất phương trình trở thành

t 2   3 x   1 1  t  2 x  0

1 3

x







(loại)

Với t x 1 1 1 1 x 1 1

x

2

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm

2





III Phương pháp nhân liên hợp

Nội dung:

- Sử dụng chức năng mode 7 trong máy tính casio để tìm nghiệm của phương

trình xuất phát từ bpt đã cho ( xem bài giảng sử dụng máy tính casio giải hpt của thầy trên trang fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán và kênh youtube Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán, http://goo.gl/Z5vTyT , ở đó thầy có hướng dẫn giải pt vô tỷ bằng máy tính casio)

- Từ nghiệm đã tìm được sẽ lựa chọn được biểu thức liên hợp

Bài 1: Giải bất phương trình

2

2 2

1

x x

x

  trên tập số thực

Điều kiện x > -3, bất pt đã cho tương đương với

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2 4

( 1)( 6) ( 3)( 3)

1 0

2 2

6

2 2 ( 3)( 3)

1 0 1 1

x x

x

x x

x x x

x x

  

           



  

 

  

   

      

      

(Với x>-3 thì biểu thức trong ngoặc luôn dương)

Vậy tập nghiệm của bpt là S=[-1;1]

Bài 2: Giải bpt

2

x x

 

ĐK: x 1

Do x 1 nên bất pt đã cho tương đương với

2

2

(2 3)(2 1 1) 9 4(2 1) (2 3)(2 1 1)

Ta có nhận xét sau

2

2

(*)





Vậy bpt xảy ra khi và chỉ khi VT=0

2

2





1

x

 

Bài 3: Giải bất phương trình 2 2

9x  3 9x 1 9x 15

9 1 9 15 9 3 0

9

x  x   x    x

Với điều kiện trên, bất pt tương tương với

x

Kết hợp với điều kiện ta có 1

3

x là nghiệm của bpt

Bài 4: Giải bất phương trình 2 2

1 4x 20 x 4x 9 (1) Bất phương trình đã cho tương đương với

x

Từ bất pt (1) suy ra 2 2

x  x   x    x

4 9 5 4 20 6 ( 4 9 5)( 4 20 6)

x

           

Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Bài 5: Giải bất phương trình sau trên R :

2

2

5 13 57 10 3

3 19 3

Điều kiện

19 3

3 4

x x

  





 



Bất phương trình tương đương

2

2

2

2

2

( 3 19 3 )(2 3 19 3 )

2 3 2 9

3 19 3

4 3 19 3 2 9

2

9 3 9 19 3

( 2) 1

5 9( 3 ) 9 19 3

3

x x

x x

x

          

  

      

         

     

       

     

   13 0 (*)

3

x



Vì biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn 0 với mọi [ 3;19] \ {4}

3

x 

Do đó (*)  2

2 0 2 1

x       x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của bpt là S=[-2;1]

(x  x 6) x   1 (x 2) x  1 3x  9x 2

Điều kiện x 1

Với điều kiện trên, bpt tương đương với

2

2

2

2

2 2

1 1

x

x



 

 

2

0

1 2

x x



1x x  1 x  x 1 1 x  x 2 trên tập số thực Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

0

( 1) 0 (1)

x

 

 



Nếu x 0thì

2

2

    

        



   



          Nếu x>0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

2 2 2

2

1 1

2

x x

x x

x A

x x





 



(vì

2

1

x

x x



   )

Tóm lại, với mọi x là số thực, ta có A>0, do đó (1)  x-1 >0 x>1

Vậy nghiệm của bpt là (1;)

IV Phương pháp hàm đặc trưng

Nội dung: Đưa bất phương trình về dạng

f u( ) f v( ) f u( ) f v( ) xác định trên D

- Nếu f đồng biến trên D thì bpt u v u v

- Nếu f nghịch biến trên D thì bpt u v u v

Bài 1: Giải bất phương trình

3

2 2 1 1

2 1 3

x

x

 

  trên tập số thực

Điều kiện x  1

Khi đó, bpt tương đương với

2

3

6

1 2

2 1 3

x x x

x

 

  

( 2)( 1 2)

2 1 3

x

 

 

- Nếu 3

2x  1 3>0  x > 13(1) thì (*)  3

(2x  1) 2x  1 (x 1) x  1 x 1

Do hàm f(t)= 3

t t là hàm đồng biến trên R, mà (*):

f x  f x  x  x x x  x

Suy ra: ;1 5 0;1 5

    

    Kết hợp với điều kiện => VN

- Nếu 3

2x  1 3<0     1 x 13(2) thì (*) 3

(2x  1) 2x  1 (x 1) x  1 x 1

Do hàm f(t)= 3

t t là hàm đồng biến trên R, mà (*):

1 1

2 1

( 2 1) ( 1) 2 1 1

13 2

(2 1) ( 1)

x

x

   





            



   





Suy ra [ 1; 0] 1 5;

2

   

  Kết hợp với điều kiện =>

1 5 [ 1; 0] ;13

2

   

Vậy nghiệm của bpt là [ 1; 0] 1 5;13

2

   

 

Bài 2: Giải bất phương trình

3

( 2 3 3)( 4 1)

Điều kiện : x  2,x 12, bpt tương đương với

3

3

( 3)( 2)

2 2

2 3 3 ( 3)( 2 2)

2 3 3

x

x

x

 

  

 

  

 

 

TH1: x>12

(2)  ( 2x 3)  2x  3 ( x 2)  x 2  3)

Hàm số 3

( )

f t  t t đồng biến trên R nên:

3

3 2

(3) 2 3 2 (2 3) ( 2)

2 1 0

       

   

 vô nghiệm vì x>12

TH2:    2 x 12

(2)  ( 2x 3)  2x  3 ( x 2)  x  2 4)

Hàm số 3

( )

f t  t t đồng biến trên R nên:

3

x

Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm của bpt là 1 5; 1 1 5;12

S      

    

   

1 x x   1 x  x 1 1  x  x 2 trên tập số thực Đặt 2

1

u x  x => 2 2

1 u x x, thế vào bất pt đã cho ta có

f t   t t t t 

2 2 2

2

1

t

 nên hàm nghịch biến trên R

f u  f x   u x x     x x x

Để nhận tài liệu PDF và xem các video bài giảng trực tuyến hãy truy cập:

- Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán

- Kênh Youtube: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán