Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h.. Sau khi đến B, ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8
Trang 1Trờng THCS Ngô Quyền
Thời gian: 90 phút
Bài 1 : (2,5 điểm)
Cho biểu thức M = − + − +
−
1
1 1
1
2 2
4
2
x x
x
x
+
− + 42
4
1
1
x
x x
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm giá trị của x thỏa mãn
2
3
2 −
= x M
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 2 : (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Hai bến sông A và B cách nhau 40 km Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h Sau khi đến B, ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8
km Tính vận tốc riêng của ca nô
Bài 3 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh ∆ CDE ∆ CAB
b) Chứng minh ∆ ADC ∆ BEC
c) ∆ ABE là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Gọi M là trung điểm của đoạn BE; tia AM cắt BC tại G.
Chứng minh: GB HD
+ .
Bài 4 : (1 điểm)
Giải phơng trình 2 x 1 x − = 2 − 2x 2 −
Bài 5 : (1 điểm)
Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3
2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ 3
4.
Trờng THCS Ngô Quyền
Năm học 2012 - 2013 đáp án & biểu điểm Đề kiểm tra clb Môn : Toán 8
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Rút gọn (1đ) Bài 2 (2 điểm)+ Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h)
Trang 2M = (
) 1 )(
1 (
1 )
1 )(
1
(
2 2
4
2 4 2
2
+ +
−
− +
− +
−
x x
x
x x x
x
x4 +1- x2)
1
2
1
1 1
2
2
2
2 4 4
+
−
=
+
− +
−
−
=
x
x
x
x x
x
b) Ta có
2
3
2 −
= x
M
⇔2x 4 – 3x 2 + 1 = 0
⇔
=
=
2
1
1
2
2
x
x
±
=
±
=
⇔
2 1
1
x x
c) Biến đổi : M = 1 -
1
3
2 +
x
1
3
1 2 ≥− ⇒ ≥−
+
−
x
Dấu "= "xẩy ra⇔x2+1 = 0
⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0
Vậy GTNN của M là - 2 khi x = 0
Bài 5 (1 điểm)
Ta có:
2
Tơng tự ta cũng có:
2 1
4
b + ≥b ; 2 1
4
c + ≥c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng
chiều ta đợc:
4
a + + + ≥ + +b c a b c
2
a b c+ + = nên: 2 2 2 3
4
a + + ≥b c
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1
2
Bài 3 (3,5 điểm)
0,5 0,25 0,25
(1đ)
0,5 0,5
(0,5đ)
0,25 0,25
(1đ)
0,25 0,25
0,25 0,25
(0,25)
(0,75) (1)
0,25 0,5
+ Vận tốc ca nô đi xuôi dòng : x+3 (km/h) + Vận tốc ca nô đi ngợc dòng : x - 3 (km/h) + Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là :
3
40
+
x (h)
+ Quãng đờng ca nô đi ngợc dòng từ B đến
điểm gặp chiếc bè là 40 – 8 = 32 (km) + Thời gian ca nô đi ngợc dòng từ B đến
điểm gặp chiếc bè là :
3
32
−
x (h)
+ Thời gian chiếc bè trôi từ A đến khi gặp ca nô là :
3
8 (h)
+ Ta có pht:
3
40
+
x + 3
32
−
x = 3
8
⇔8x 2 – 216x = 0
⇔x = 27 (TMĐK)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27 km/h
Bài 4 (1 điểm)
Viết lại phơng trình dới dạng
2
(x − 2x 1) 2 x 1 3 0 + − − − =
2
(x 1) 2 x 1 3 0
Đặt x 1 − = t ( t ≥ 0), ta có phơng trình
t2 - 2t - 3 = 0
⇔ t2 + t - 3t - 3 = 0
⇔ t(t + 1) - 3(t + 1) = 0 ⇔ (t + 1)(t - 3) = 0 ⇔ t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m) Với t = 3 ta đợc x 1 − = 3 ⇔ x 1 3 x 4
− = − = −
Vậy phơng trình có hai nghiệm
x = -2 hoặc x = 4
d) Ch/m GB HD
+ +∆ABE vuông cân tại A => AM là phân giác góc BAC =>
AC
AB GC
GB = +∆CDE ∆CAB =>
AC
AB DC
ED = + Ta có
DC
ED GC
DC
ED HC
AH = (vì ED // AH)
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
(0,5)
0,25
0,25
Trang 3a) ∆CDE ∆CAB (g.g)
b) ∆ADC vµ ∆BEC cã
Gãc C chung
CD CA
CE =CB (∆CDE ∆CAB )
=> ∆ADC ∆BEC (c.g.c)
c) Ch/m : ∆ABE vu«ng c©n t¹i A
+ Ta cã∆ADC ∆BEC (cmt)
=> Gãc BEC = gãc ADC
+∆AHD vu«ng c©n t¹i H
=> Gãc ADB = 45o
=> Gãc BEC = gãc ADC = 135o
+ Suy ra∆ABE vu«ng c©n t¹i A
0,25
(1)
0,25
0,25 0,25 0,25
=>
HC
HD GC
GB = (v× AH = HD)
HC AH
HD BC
BG
HD HC
HD GB
GC GB
+
=
=>
+
= +
=>