Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB.. Xác định số phần tử của S.. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.. Tiếp tuyến
Trang 1ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm sốy= − +x3 3x2+3mx 1 1− ( )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 0=
2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞)
Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình sau: 1 tanx 2 2 sin x 4+ = +π ÷
Câu III(1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( )
4 4
2x 1 x 1 2y 2 y x,y
x 2x y 1 y 6y 1 0
Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 22
1
x 1
I ln x.dx x
−
Câu V(1,0 điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ·ABC 30= 0, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
C đến mặt phẳng (SAB)
Câu VI (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a c b c+ ) ( + =) 4c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
c
b 3c a 3c
+
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VII.a( 1,0 điểm) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc d: 2x y 5 0+ + = và điểm A 4;8(− ) Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu của B lên DM Tìm tọa độ của B, C biết
N 5; 4− .
Câu VIII.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :x 6 y 1 z 2
+
− − và điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho
AM 2 30=
Câu IX.a (1,0 điểm) Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1;2;3;4;5;6;7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VII.b(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : x y 0∆ − = Đường tròn (C) có bán kính
R= 10 cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB 4 2= Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc Oy Viết phương trình đường tròn (C)
Câu VIII.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x 3y z 11 0+ + − = và mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x 4y 2z 8 0+ − − = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S)
Câu IX.b (1,0 điểm) Cho số phức z 1= + 3i Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực, phần ảo của
w= +1 i z
ĐÁP ÁN
Trang 2Câu I y= − +x3 3x2+3mx 1 1− ( )
a (Tự làm)
b Ta có : y'= −3x2+6x 3m+ ; ∆ =' 9 m 1( + )
TH1: ∆ >' 0 ⇒y' 0= có hai nghiệm phân biệt x1= −1 m 1; x+ 2 = +1 m 1+ Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán (vì x2 >0)
TH2: ' 0∆ = ⇔m= − ⇒1 y' 0= có nghiệm x 1= Suy ra, không có giá trị nà của m thỏa mãn bài toán TH3: ' 0∆ < ⇔m< − ⇒1 y' 0, x< ∀ ∈¡ Suy ra y' 0, x 0,< ∀ ∈( +∞)
Vậy m< −1 thì yêu cầu bài toán thỏa
Câu II 1 t anx 2 2 sin x 4+ = +π ÷(1)
Điều kiện: cos x 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π Pt(1) sinx cosx 2 2 cos xsin x
4
π
2 sin x 2 2 cosxsin x
2
¢
4 4
2x 1 x 1 2y 2 y 1 x,y
x 2x y 1 y 6y 1 0 2
Ta có: ( ) ( )2
2 ⇔ x y 1+ − =4y 0≥
Điều kiện bài toán là: x 1; y 0≥ ≥
Đặt a= 4x 1 0; b y 0− ≥ = ≥ , pt(1) thành a+ a4+ = +2 b b4+2 (3)
Xét hàm số f t( ) = +t t4+2,t 0≥
Hàm f là hàm đồng biến với mọi t 0≥ (vì f ' t( ) > ∀ ≥0, t 0) (4)
Từ (3), (4) suy ra a b= ⇔ − =x 1 y4 (5)
pt(2) ( )2 ( ) 2
x 1 2y x 1 y 4y 0
Thay (5) vào (6) ta được: y8+2y5+y2−4y 0= ⇔y y 1 y( − ) ( 6+y5+y4+3y3+3y2+3y 4+ =) 0
y 0,x 1
y 1,x 2
⇔ = = Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( )x,y = 1;0 , x,y = 2,1
1
I ln x.dx 1 ln x.dx
Đặt
2
dx
u ln x du
x
2
2 1
Trang 3Câu V(1,0 điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ·ABC 30= 0, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
C đến mặt phẳng (SAB)
Giải:
Tam giác ABC có: µB 30 ; BC a0 AC BC.sin 300 a; AB BC.cos300 a 3
Suy ra diện tích tam giác ABC là 2
Tam giác SBC đều cạnh a nên SH a 3
2
= với H là trung điểm BC
Vậy thể tích khối SABC là V 1.a2 3.a 3 a3
Tam giác SAH vuông tại H có: SH a 3;CH a SA a
Gọi I là trung điểm AB, tam giác SAB cân tại S, ta có SI a 13
4
= Suy ra diện tích tam giác SAB là 2
Vậy khoảng cách từ C đến SAB là ( ( ) ) S.ABC
SAB
Câu VI (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a c b c+ ) ( + =) 4c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
c
b 3c a 3c
+
Giải:
Đặt x a; y b
= = Từ giả thiết ta có: xy x y 3+ + = đặt s x y; p xy= + = ta có: s 3 p= −
Ta sử dụng BĐT: 3 3 ( 2 2) ( 3 3) ( )3 3 3 (a b)3
3(a b ) 3 a b ab 4 a b a b a b
4 +
Trang 4( ) 3 2
3
(s 1)3 s
2
Xét hàm f s( ) (s 1)3 s ,s 2
2
= − − ≥ ( vì x y 2 xy+ ≥ ⇔s2−4p 0≥ ⇔ + −s2 4s 12 0≥ ⇔ ≥s 2 do s 0> ) Suy ra f s( ) ( )≥f 2 = −1 2 (vì f ' s( )> ∀ ≥0, s 2)
Vậy min P = 1− 2 khi x y 1= = hay a b c 1= = =
Câu VII.a( 1,0 điểm) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc d: 2x y 5 0+ + = và điểm A 4;8(− ) Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu của B lên DM Tìm tọa độ của B, C biết
N 5; 4−
Giải:
C∈∆ ⇒ m, 5 2m− − , gọi I AC BD= ∩ suy ra I m 4 3 2m;
Dễ thấy 5 điểm A, B, C, D, N nằm trên cùng một đường tròn đường kính BD nên ta có IA IN= ⇔IA2 =IN2
Suy ra m 1 C 1; 7= ⇒ ( − )
Do IB IN; BN IC= ⊥ nên B đôi xứng với N qua IC Goi E BN IC E 1 11;
2 2
với AC : 3x y 4 0; BN : x 3y 17 0+ + = − − = suy ra B 4; 7(− − )
Vậy B 4; 7 ,C 1; 7(− − ) ( − )
Câu VIII.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :x 6 y 1 z 2
+
− − và điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho
AM 2 30=
Giải:
Mặt phẳng (P) đi qua A 1;7; 3 có VTPT là ( ) nur= − −( 3; 2;1) có phương trình: 3x 2y z 14 0+ − − =
M thuộc ∆ nên lấy M 6 3t; 1 2t; 2 t( − − − − + ⇒) AMuuuur= −(5 3t; 8 2t; 5 t− − − + )
Theo giả thiết 2 t 1,M 3; 3; 1( )
3 51 1 17
AM 2 10 14t 8t 6 0 t ,M ; ;
Câu IX.a (1,0 điểm) Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1;2;3;4;5;6;7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn
Giải:
Các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt được chon từ A={1; 2;3; 4; 5;6;7} chính là một 3
7
A =210 Suy ra tập S có 210 phần tử
Các số chẵn có 3 chứ số trong tập S là 2
6
3A =90
Trang 5Gọi A là biến cố:” 1 số được chọn từ S là số chẵn” Vậy P A( ) 90 3
210 7
Người sọan: Đinh Công Văn
Mail dinhcongvan3003@gmail.com