a Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho.. b Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện.. Đường thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F.. Xét 20 số nguyên dương
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho
b) Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện
Câu 3 (1,0 điểm) Cho là các số thực bất kì Chứng minh:
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, và nội tiếp đường tròn D là điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến với tại D cắt BC tại E Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L Đường thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F Đường thẳng qua D song song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCLK nội tiếp.
b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.
c) D là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 5 (1,0 điểm) Xét 20 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương nhỏ
nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt
và sao cho là một số nguyên tố.
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:………; SBD:……….
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
—————————
A LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
Cộng từng vế các phương trình (1) và (2) ta được:
0,50
+) Nếu thay vào (1) ta được
0,50
+) Nếu thay vào (1) ta được
0,25
Điều kiện xác định Khi đó ta có
0,50
0,50
Trang 3*) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là . 0,25
2 a Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết
Khi đó ta có
(1)
0,25
Mặt khác
0,25
Do và kết hợp với (1), (2) ta được chia hết cho
Nếu đều không chia hết cho 3 thì
vô lý Do đó trong hai số phải có một số bằng 3
0,50
3 Cho là các số thực bất kì Chứng minh:
1,0
Ta có
0,25
0,25 (bất đẳng thức này luôn đúng)
4
N M
F
L E
K
D
O B
A
C
Trang 4Ta có (sđ - sđ ) = sđ (1) 0,25
b Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF. 1,0
Mặt khác trong tam giác ADF có O là trung điểm của AD, OE song song với AF nên
Do đó Đẳng thức này chứng tỏ là tiếp tuyến
Do MN || AF nên theo định lí Talet ta có (2) 0,25
Do đó để chứng minh ta sẽ chứng minh Thật vậy:
0,25
(luôn đúng do (1)) Do đó
hay D là trung điểm của MN.
0,25
5 Xét 20 số nguyên dương đầu tiên có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất
phân biệt và sao cho là một số nguyên tố. 1,0 Xét tập hợp , ta thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập
hợp này đều không phải là số nguyên tố
Do đó , ta sẽ chứng minh là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán
0.25
Thật vậy, ta chia tập hợp thành cặp số sau:
Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố
0.50
Khi đó mỗi tập con của có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng
vào một trong 10 cặp số trên Suy ra trong luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là