Cho tam giác nhọn ABC, AB AC< và nội tiếp đường tròn O.. Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L.. Đường thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F.. Đường thẳng qu
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).
a)
Giải hệ phương trình: 22 2 2 0 ( , )
x xy y
x y
y xy x y
∈
b) Giải phương trình: x2+3x+ +2 x2− + =1 6 3 x+ +1 2 x+ +2 2 x−1 , (x∈¡ ).
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ( 2013 2013 2013)
2 1 +2 + + n chia hết cho ( 1)
n n+
b) Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q thỏa mãn điều kiện p2−2q2 =1
Câu 3 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực bất kì Chứng minh:
a + + −b c ab bc ca− − ≥ a b b c− −
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC,
AB AC< và nội tiếp đường tròn ( )O D là điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến với ( )O tại D cắt BC tại E Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L Đường thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F Đường thẳng qua D song song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCLK nội tiếp.
b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.
c) D là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 5 (1,0 điểm) Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,3, , 20.… Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a
và b sao cho a b+ là một số nguyên tố
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:………; SBD:……….
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
—————————
A LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
a Giải hệ phương trình: 22 2 2 0 ( , )
x xy y
x y
y xy x y
∈
( ) ( )
2 2
2 2 0 1
x xy y
y xy x y
+ − − =
Cộng từng vế các phương trình (1) và (2) ta được:
0,50
1 2
x y
x y
+ =
+) Nếu x y+ = ⇔ = −1 y 1 x thay vào (1) ta được x2+x(1− −x) (2 1− + =x) 2 0
0,50
+) Nếu x y+ = ⇔ = −2 y 2 x thay vào (1) ta được x2+x(2− −x) (2 2− + =x) 2 0
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( ; ) ( )0;1 , 1 3;
2 2
x y =
b Giải phương trình x2+3x+ +2 x2− + =1 6 3 x+ +1 2 x+ +2 2 x−1 , (x∈¡ ) 1,5
Điều kiện xác định x≥1 Khi đó ta có
(x 1) (x 2) (x 1) (x 1) 6 3 x 1 2 x 2 2 x 1
0,50 (x 1) (x 2) (x 1) (x 1) 3 x 1 2 x 1 2 x 2 6
( x 1 2)( x 2 x 1 3) 0
0,50
*) x+ +2 x− − = ⇔ + + − +1 3 0 x 2 x 1 2 (x+2) (x− = ⇔1) 9 x2+ − = −x 2 4 x
4
2
x
x
≤
*) x+ = ⇔ =1 2 x 3.Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S={ }2,3 0,25
Trang 32 a Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì 2 1( 2013+22013+ + n2013) chia hết
Nhận xét Nếu ,a b là hai số nguyên dương thì a2013+b2013M(a b+ ) 0,25 Khi đó ta có
( 2013 2013 2013) ( 2013 2013) ( 2013 ( )2013) ( 2013 2013) ( )
2 1 +2 + + n = 1 +n + 2 + −n 1 + + n +1 Mn+1
(1)
0,25
Mặt khác
( )
n
0,25
Do (n n, + =1) 1 và kết hợp với (1), (2) ta được 2 1( 2013+22013+ + n2013) chia hết cho
( 1)
b Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q thỏa mãn điều kiện p2−2q2 =1 1,0
Nếu ,p q đều không chia hết cho 3 thì
1 mod 3 , 1 mod 3 2 1 mod 3
p ≡ q ≡ ⇒ p − q ≡ − vô lý Do đó trong hai số ,p q
phải có một số bằng 3
0,50
+) Nếu p= ⇒ −3 9 2q2 = ⇔1 q2 = ⇔ =4 q 2 Do đó (p q, ) ( )= 3, 2 0,25 +) Nếu q= ⇒3 p2− = ⇔18 1 p2 =19 vô lí Vậy (p q, ) ( )= 3, 2 0,25
3 Cho a b c, , là các số thực bất kì Chứng minh:
Ta có
( ) ( )
3
a b c ab bc ca a b b c
a b c ab bc ca ab ac b bc
0,25
⇔ + − ≥ (bất đẳng thức này luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a c+ =2b 0,50
4
Ta có · 1
2
ALD= (sđ »AD - sđ »DC ) = 1
N M
F
L E
K
D
O B
A
C
Trang 4Lại có: · 1
2
Suy ra ·CLK CBK+· =1800, suy ra tứ giác BKLC nội tiếp. 0,25
b Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF. 1,0
Do DE là tiếp tuyến của (O) nên ED2 =EC EB 0,25
Mặt khác trong tam giác ADF có O là trung điểm của AD, OE song song với AF nên
E là trung điểm của DF suy ra ED EF= 0,25
Do đó ED2 =EC EB ⇔EF2 =EC EB Đẳng thức này chứng tỏ EF là tiếp tuyến
c D là trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,0
Do tứ giác BCLK nội tiếp nên EB EC =EL EK ⇒ED2 =EL EK (1) 0,25
Do MN || AF nên theo định lí Talet ta có DM KD DN, LD
Do đó để chứng minh DM =DN ta sẽ chứng minh KD LD
KF = LF Thật vậy:
KD LF LD KF
KF = LF ⇔ = ⇔(EK ED ED EL− ) ( + ) (= ED EL EK ED− ) ( + ) 0,25
⇔ = (luôn đúng do (1)) Do đó KD LD DM DN DM DN
hay D là trung điểm của MN.
0,25
5
Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,3, , 20.… Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất
có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số
phân biệt a và b sao cho a b+ là một số nguyên tố
1,0
Xét tập hợp {2, 4,6,8,10,12,14,16,18, 20 , ta thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập }
hợp này đều không phải là số nguyên tố
Do đó k ≥11, ta sẽ chứng minh k=11 là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán
0.25
Thật vậy, ta chia tập hợp A={1, 2,3, , 20} thành 10 cặp số sau:
( ) (1, 2 , 3,16 , 4,19 , 5,6 , 7,10 , 8,9 , 11, 20 , 12,17 , 13,18 , 14,15 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố
0.50
Khi đó mỗi tập con của A có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng
vào một trong 10 cặp số trên Suy ra trong A luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là
một số nguyên tố
0.25