Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm m để đường thẳng d :y=2x+m cắt C tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của C tại hai điểm đó song song với nhau.. Trong mặt ph
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN-TIN
ĐỀ THI THỬ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG 2013
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
2
x y x
+
=
−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng ( )d :y=2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau
Câu II (2,0 điểm)
sin cos 2x x+cos x tan x−1 +2 sin x=0
2 Giải hệ phương trình ( )
2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 2( 3 )
4
2sin 3 cos sin
dx x
π
π
Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình
chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 0
60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2 2 2 4
3
x +y +z = Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P 2(xy yz zx) 3
x y z
+ +
Câu VI (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết phương trình cạnh BC là
( )d :x+7y−31 0= , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
2 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng ( )P :x−y− + =z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục
Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON
Câu VII (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình
2 1+i z −4 2−i z− −5 3i=0 Tính z12+ z2 2
- Hết -
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1 (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
* TXĐ: D = R\{2}
*
( )2
7
2
y
x
= − <
− Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 0.25
* Hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 2
0.25
2
2
Đồ thị:
0.25
2 (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
x
0.25
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và
khác 2
0
g
g
∆ >
≠
0.25
I
(2.0
điểm)
Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ x1≠x2 Ta
có 1 2 6
2
m
Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi
( )1 ( )2 1 2
y x = y x ⇔x +x = ⇔m= − 2
0.5
1 (1.0 điểm) Giải phương trình…
sin cos 2x x+cos x tan x−1 +2 sin x=0
sinx 1 2 sin− x +2 sin x− +1 2 sin x=0
0 25
2
2 2
6 sin
2
5 2 6
x
x
π π π
π π π
= − +
0 25
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm 2 ;5 2
0.25
II
(2.0
điểm)
2 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình…
Trang 3( ) ( )
2
hpt
x y
2
1 3
2
− =
0.5
Nếu
2
3 13
2
x
y
=
⇔
=
hoặc
3 13 2
11 3 13 2
x y
=
− −
=
0.25
Nếu
2 1
2
2
x
y
⇔
=
hoặc
3 17 2
10 3 17 2
x y
=
=
0.25
Tính tích phân…
0.25
4
2 4
cot
x
π
π π
0.25
III
(1.0
điểm)
IV
(1.0
điểm)
Tính thể tích…
Gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC, B’C’
⇒ A’, G, M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình hành A’M’⊥ B’C’, AG⊥B’C’
⇒ B’C’⊥(AA’M’M) ⇒ góc giữa (BCC’B’)
và (A’B’C’) là góc giữa A’M’ và MM’ bằng
M MA =
0.25
a
A'
C'
B'
C
B
A
M H
M' G
Đặt x = AB Ta có∆ABC đều cạnh x có AM
là đường cao
Trong∆AA’G vuông có AG = AA’sin600= 3
2
a
;
0.25
Trang 40 3 3
ABC
' ' '
0.25
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của…
Đặt x+y+z= t 2 3 2
≤ ≤
nên
3
t
Xét hàm số ( ) 2 3 4
3
t
= + − xác định trên 2 3; 2
3
;
2
2
t
= − = ⇔ = (loại) 2 3 3 3; ( )2 25
0.25
V
(1.0
điểm)
Vậy min 3 3
2
P = khi 2 3
3
t = ⇔ 2 trong 3 số x, y, z bằng 0 số còn lại bằng 2 3
3
Vậy max 25
6
P = khi t =2⇔ 2
3
x=y=z=
0.25
1. (1.0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình a x( −2)+b y( +3)=0( 2 2 )
0
AB BC = nên 0
7 cos 45
50
a b
a b
=
= −
0.25
Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được (AB): 4x+3y+ = 1 0 (AC): 3x−4y+7=0
Từ đó A(-1; 1) và B(-4; 5) Kiểm tra MB=2MA
nên M nằm ngoài đoạn AB (TM)
Từ đó tìm được C(3; 4)
0.50
Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được (AB): 3x−4y−18=0, (AC): 4x+3y−49=0
Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại)
0.25
VI
(2.0
điểm)
Nếu không kiểm tra M nằm ngoài AB trừ 0.25 điểm
Trang 5
By: Thuan TranQuang
Maths – Hanoi National University of Education Tel: 0912.676.613
2. (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng…
Giả sử n Q
là một vecto pháp tuyến của (Q) Khi đó n Q ⊥n P(1; 1; 1− − )
Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại M(0; ;0 ,a ) N(0;0;b phân biệt sao cho OM = ON )
0
a b
a b
= ≠
= − ≠
0.25
Nếu a = b thì MN =(0;−a a; )//u(0; 1;1− )
và n Q⊥u
nên n Q=u n, P=(2;1;1)
Khi đó mặt phẳng (Q):2x+y+ −z 2=0 và ( )Q cắt Oy, Oz tại M(0; 2; 0) và N(0; 0; 2)
(thỏa mãn)
0.25
Nếu a = - b thì MN =(0;−a;−a)//u(0;1;1)
và n Q ⊥u
nên nQ =u n , P=(0;1; 1− ) Khi đó mặt phẳng (Q):y−z=0
0.25
( )Q cắt Oy, Oz tại M(0; 0;0) và N(0; 0; 0) (loại) Vậy ( )Q : 2x+y+ −z 2= 0 0.25
Tính z12+ z22
Có ∆ =' 4 2( −i)2+2 1( +i)(5 3+ i)=16 Vậy phương trình có hai nghiệm phức 0.25
,
VII
(1.0
điểm)