Một số vấn đề hay của toán học

MỘT SỐ LƯU í KHI GIẢI PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Trong cỏc kớ thi chỳng ta thường bắt gặp cỏc phương trỡnh lượng giỏc và những bài phương trỡnh lượng giỏc này đó gõy khụng ớt khú khăn đối

Trang 1

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng

Một số vấn đề hay toán học

Trong một lần tình cờ tôi đọc đợc bài viết này trên máy tính của một ngời bạn Tôi thấy đây là một bài viết hay, tôi muốn chia sẻ với các bạn, mong rằng đây là một tài liệu bổ ích và phục vụ tốt cho quá trình giảng dạy cũng nh học tập của các bạn.

Trừ hai phương trỡnh của hệ:

Vậy phương trỡnh cú ba nghiệm:

Bỡnh luận: Bài toỏn trờn là bài toỏn khỏ đơn giản và cú lẽ nhiều bạn khụng mấy khú khăn để giải bài toỏn này Tuy nhiờn từ bài toỏn trờn ta cú thể tổng quỏt được dang phương trỡnh trờn như sau:

* Dạng tổng quỏt bài toỏn trờn: (I)

Để giải phương trỡnh này ta đặt ta cú hệ: Đõy là

hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y

* Từ dạng trờn ta cho bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta cú được những phương trỡnh mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau Do đú khi gặp phương trỡnh chứahai hàm ngược nhau ta tỡm cỏch biến đổi về dạng trờn Ta xột một số vớ dụ sau:

Trang 2

Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm:

Chỳ ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thỡ ta vẫn giải phương trỡnh bằng cỏch làm tương tự như trờn

Trang 3

Vớ dụ 5: Giải phương trỡnh :

Ta thấy khụng là nghiệm của phương trỡnh Chia hai vế phương trỡnh cho ta được:

Đặt , ta cú:

Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trỡnh

Vậy phương trỡnh đó cho cú ba nghiệm:

Những vớ dụ trờn ta đó thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x Vậy nếu thay a bằng một biểuthức chứa x thỡ như thế nào ? ta cũn giải quyết được theo cỏch trờn nữa hay khụng? Ta xột vớ

Vậy phương trỡnh đó cho vụ nghiệm

MỘT SỐ LƯU í KHI GIẢI PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

Trong cỏc kớ thi chỳng ta thường bắt gặp cỏc phương trỡnh lượng giỏc và những bài phương trỡnh lượng giỏc này đó gõy khụng ớt khú khăn đối với nhiều em học học sinh, cú lẽ lớ

do mà cỏc em học sinh thường lo sợ khi giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc là cú nhiều cụng thức biến đổi lượng giỏc nờn khụng biết sử dụng cụng thức nào để biến đổi phương trỡnh đó cho Trong chuyờn đề này tụi xin trao đổi một chỳt kinh nghiệm nho nhỏ với cỏc em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đờm ụn tập để hướng tới kỡ thi ĐH năm tới

Trang 4

Trước hết thỡ cỏc bạn cần nắm được những phương trỡnh lượng giỏc thường gặp Trong những phương trỡnh này tụi xin bàn với cỏc bạn một chỳt về phương trỡnh đẳng cấp đối với sin và cos

Với lớ do: về dạng này SGK chỉ trỡnh bày cho chỳng ta phương trỡnh đẳng cấp bậc hai mà trong cỏc kỡ thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trỡnh đẳng cấp bậc ba hay cao hơn Minh chứng là đề thi khối B – 2008

2008 ).”

Trước hết ta nhớ lại khỏi niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu

Từ đõy ta cú thể định nghĩa được phương trỡnh đẳng cấp bậc k đối với phương trỡnh chứa sin

và cos là phương trỡnh cú dạng trong đú:

bậc bốn

Tuy nhiờn ta xột phương trỡnh : mới nhỡn ta thấy đõy khụng phải là phương trỡnh đẳng cấp, những cỏc bạn lưu ý là nờn ta cú thể viết

phương trỡnh này là phương trỡnh đẳng cấp bậc 3 Do vậy với phương trỡnh lượng giỏc thỡ ta

cú thể định nghĩa lại khỏi niệm phương trỡnh đẳng cấp như sau:

“Là phương trỡnh cú dạng trong đú luỹ thừa của sinx và cosx cựng chẵn hoặc cựng lẻ.”

Cỏch giải: Chia hai vế phương trỡnh cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trỡnh một hàm số là

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nờu trờn

2)

3)

Những phương trỡnh trờn xin dành cho cỏc bạn tự giải (vỡ đó cú phương phỏp giải)

Bõy giờ tụi xin đi vào cỏch phõn tớch để tỡm lời giải cho loại phương trỡnh mà chỳng ta khụng

ưa gỡ mấy mà ta thường gọi là phương trỡnh lượng giỏc khụng mẫu mực Khụng riờng gỡ phương trỡnh lượng giỏc khụng mẫu mực mà đối với mọi phương trỡnh đại số hay phương trỡnh mũ, logarit để giải những phương trỡnh này ta phải tỡm cỏch biến đổi phương trỡnh đó

cú cỏch giải và một trong những phương phỏp ta thường dựng là biến đổi về phương trỡnh tớch

và đưa về phương trỡnh chỉ chứa một hàm số lượng giỏc

2008 )

Với bài toỏn này cú lẽ khú khăn mà chỳng ta gặp phải là đú là sự xuất hiện hai cung

và cung Cỏc bạn lưu ý là ta luốn tớnh được giỏ trị đỳng cỏc giỏ trị lượng giỏc của cỏc cung cú dạng trong đú nờn điều đầu tiờn ta nghĩ tới là sử dụng cụng thức cộng để phỏ bỏ hai cung đú

Ta cú:

Trang 5

Nờn phương trỡnh đó cho

là 5 quả cam trừ 3 quả cam cũn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả Thế tụi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả tỏo bằng bao nhiờu? Lỳc này trờn khuụn mặt cỏc em khụng cũn những nụ cười nữa mà thay vào đú là một sự tũ mũ và cuối cựng thỡ cỏc em trả lời

là khụng trừ được, dĩ nhiờn cõu hỏi tiếp theo là vỡ sao? Cỏc em trả lời là vỡ khụng cựng một loại!

Chắc cỏc em hiểu tụi muốn núi điều gỡ rồi chứ ?

Vậy nguyờn tắc thứ nhất tụi xin đưa ra cho cỏc bạn là:

Đưa về cựng một cung.

Bõy giờ ta vận dụng nguyờn tắc này vào giải những phương trỡnh lượng giỏc cú mặt trong cỏc

đề thi của những năm gần đõy nhộ

Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh : ( ĐH Khối D – 2006 ).

Lời giải:

Vận dụng nguyờn tắc trờn ta sẽ chuyển hai cung và về cung

Áp dụng cụng thức nhõn đụi và nhõn ba ta cú:

* Cỏch giải trờn khụng phải là cỏch giải duy nhất và cũng khụng phải là cỏch giải hay nhất nhưng cỏch giải đú theo tụi nú tự nhiờn và cỏc bạn dẽ tỡm ra lời giải nhất Cỏch giải ngắn gọn

và đẹp nhất đối với phương trỡnh trờn là ta biến đổi về phương trỡnh tớch như sau

PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex]

giải phương trỡnh này ta được nghiệm như trờn

Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh : (Dự bị Khối B – 2003 ) Lời giải:

Trang 6

Ta chuyển cung về cung

Ta cú:

Nờn phương trỡnh đó cho

Từ đõy ta tỡm được cỏc nghiệm

Chỳ ý : Vỡ trong phương trỡnh chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đú ta cú thể chuyển về cung 2x nhờ cụng thức hạ bậc và cụng thức nhõn đụi

Với phương trỡnh này việc đưa về một cung gặp quỏ nhiều khú khăn, vỡ trong phương trỡnh xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiờn giữa cỏc cung này cũng cú mối quan hệ nhất định đú là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của hai phương trỡnh là tớch của hai hàm số lượng giỏc nờn ta nghĩ đến cụng thức biến đổi tớch thành tổng Thật vậy

Qua hai vớ dụ trờn tụi muốn đưa ra nguyờn tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là

Biến đổi tớch thành tổng và ngược lại

Trang 7

Trong phương trỡnh xuất hiện tớch của cỏc hàm số lượng giỏc sin và cos thỡ ta cú thể biến đổi thành tổng (mục đớch là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện cỏc phộp rỳt gọn) Nếu xuất hiện tổng thỡ ta biến đổi về tớch (Mục đớch làm xuất hiện thừa số chung ), đặc biệt là

ta sẽ gộp những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau

Với phương trỡnh này ta khụng thể chuyển về một cung, cũng khụng thể biến đổi tổng thành tớch được! Nguyờn nhõ mà ta khụng nghĩ tới đưa về một cung thỡ quỏ rừ, cũn vỡ sao mà ta lại khụng sử dụng biến đổi tổng thành tớch được là cỏc hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trỡnh đều chứa lũy thừa bậc hai mà cụng thức biến đổi chỉ ỏp dụng cho cỏc hàm số cú lũy thừabậc nhất thụi Điều này dẫ tới ta tỡm cỏch đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta liờn tưởng đến cụng thức hạ bậc

Phương trỡnh

.Khi giải phương trỡnh lượng giỏc ta phải sử dụng cỏc cụng thức biến đổi lượng giỏc Tuy nhiờn những cụng thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giỏc cú số mũ bằng 1, do đú nếu trong phương trỡnh cú số mũ của cỏc hàm số lượng giỏc là chẵn thỡ ta cú thể hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi

Vậy nguyờn tắc thứ ba mà tụi muốn trao đổi với cỏc bạn là nguyờn tắc hạ bậc

Vớ dụ 8 : Giải phương trỡnh ( ĐH Khối A – 2005 ).

Phương trỡnh

Nhận xột: * Ở (1) ta cú thể sử dụng cụng thức nhõn ba, thay

và chuyển về phương trỡnh trựng phương đối với hàm số lượng giỏc

* Ta cũng cú thể sử dụng cỏc cụng thức nhõn ngay từ đầu, chuyển phương trỡnh đó cho về phương trỡnh chỉ chứa cosx và đặt

Tuy nhiờn cỏch được trỡnh bày ở trờn là đẹp hơn cả vỡ chỳng ta chỉ sử dụng cụng thức hạ bậc

và cụng thức biến đổi tớch thành tổng ( Vỡ cụng thức nhõn ba chỳng ta khụng được học)

Vớ dụ 9 : Giải phương trỡnh (ĐH Khối B – 2004 ).

Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trỡnh

Phương trỡnh

Chỳ ý : Nếu trong phương trỡnh xuất hiện tan, cot và sin, cos thỡ ta thay tan, cot bởi sin và cos

và lỳc đú chỳng ta dễ dàng tỡm được lời giải hơn Chỳ ý khi gặp phương trỡnh chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trỡnh !

Trang 8

Vớ dụ 10 : Giải phương trỡnh (ĐH Khối D – 2003 ).

Phương trỡnh

Trờn là một số nguyờn tắc chung thường được sự dụng trong cỏc phộp biến đổi phương trỡnh lượng giỏc Mục đớch của cỏc phộp biến đổi đú là nhằm :

1 Đưa phương trỡnh ban đầu về phương trỡnh lượng giỏc thường gặp (Thường là đưa về phương trỡnh đa thức đối với một hàm số lượng giỏc)

Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh : (ĐH Cụng Đoàn – 2000).

Giải: Điều kiện :

phương trỡnh đẳng cấp bậc ba nờn ta chia hai vế của phương trỡnh cho (do ),

ta được phương trỡnh :

thỏa điều kiện

Nhận xột: Để giải phương trỡnh này ngay từ đầu ta cú thể chia hai về của phương trỡnh cho

ban đầu về phương trỡnh chỉ chứa hàm tan như trờn

Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh : ( ĐH Khối B – 2003 ).

Giải: Điều kiện:

Phương trỡnh

(do)

Trang 9

Chỳ ý : Ta cần lưu ý đến cụng thức

– 2005 ).

Nờn phương trỡnh

2 Đưa phương trỡnh về phương trỡnh dạng tớch :

Tức là ta biến đổi phương trỡnh về dạng

Khi đú việc giải phương trỡnh ban đầu được quy về giải hai phương trỡnh :

Trong mục đớch này, ta cần làm xuất hiện nhõn tử chung

Một số lưu ý khi tỡm nhõn tử chung :

; nờn chỳng cú thừa số chung là

Phương trỡnh

Mặc dự hai cỏch biến đổi trờn khỏc nhau nhưng chỳng đều dựa trờn nguyờn tắc ”đưa về một cung”

Trang 10

Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh: (Dự bị Khối D – 2003 )

Trang 11

Từ (2) : thay vào (1) :

Thay vào (4) :

Trang 12

Ta cần xỏc định a sao cho :

Thỏa món (3)

Thay lại vào (2) :

Thay vào (*) : Vậy GTLN của hàm số là 3 Đạt được khi

Trang 13

Phương phỏp đặt ẩn phụ trong giải phương trỡnh vụ tỷ (2)

II Phương phỏp dựng ẩn phụ khụng triệt để

* Nội dung phương phỏp :

Đưa phương trỡnh đó cho về phương trỡnh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trỡnh

ĐK : ; Đặt

Lỳc đú :

(1)

Phương trỡnh trở thành :

Giải phương trỡnh trờn với ẩn t , ta tỡm được :

Do nờn khụng thỏa điều kiện

Trang 14

Cỏi khộo lộo trong việc đặt ẩn phụ đó được thể hiện rừ trong ở phương phỏp này và cụ thể là

ở vớ dụ trờn Ở bài trờn nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thỡ khụng dễ để giải quyết trọn vẹn nú Vấn đề tiếp theo chớnh là ở việc kheo lộo biến đổi phần cũn lại để làm biến mất hệ số

tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn

Phương phỏp đặt ẩn phụ trong giải phương trỡnh vụ tỷ

Phương phỏp đặt ẩn phụ trong giải phương trỡnh vụ tỷ

A Phương phỏp đặt ẩn phụ

Cú 3 bước cơ bản trong phương phỏp này :

- Đặt ẩn phụ và gỏn luụn điều kiện cho ẩn phụ

- Đưa phương trỡnh ban đầu về phương trỡnh cú biến là ẩn phụ

Tiến hành giải quyết phương trỡnh vừa tạo ra này Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thớch hợp

- Giải phương trỡnh cho bởi ẩn phụ vừa tỡm được và kết luận nghiệm

* Nhận xột :

- Cỏi mấu chốt của phương phỏp này chớnh là ở bước đầu tiờn Lớ do là nú quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toỏn

Trang 15

- Cú 4 phương phỏp đặt ẩn phụ mà chỳng tụi muốn nờu ra trong bài viết này đú là :

+ PP Lượng giỏc hoỏ

+ PP dựng ẩn phụ khụng triệt để

+ PP dựng ẩn phụ đưa về dạng tớch

+ PP dựng ẩn phụ đưa về hệ

Sau đõy là bài viết :

B Nội dung phương phỏp

I Phương phỏp lượng giỏc hoỏ

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương trỡnh cú 1 nghiệm :

Trang 16

TQ :

Vớ dụ 6 :

Trang 17

với a,b là cỏc hằng số cho trước :

3 Đặt để đưa về phương trỡnh lượng giỏc đơn giản hơn :

Vớ dụ 7 :

(1)Lời giải :

Do khụng là nghiệm của phương trỡnh nờn :

Kết hợp với điều kiện su ra :

4 Mặc định điều kiện : sau khi tỡm được số nghiệm chớnh là số nghiệm tối đa của

Trang 18

Vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm chớnh là S

Ứng dụng đạo hàm trong cỏc bài toỏn tham số

CHỨA THAM SỐ

Khi giải cỏc bài toỏn về phương trỡnh, bất phương trỡnh, hệ phương trỡnh ta thường hay gặp cỏc bài toỏn liờn quan đến tham số Cú lẽ đõy là dạng toỏn mà nhiều học sinh lỳng tỳng nhất Trong chương này chỳng ta sẽ đi nghiờn cứu một số dạng toỏn mà chỳng ta thương hay gặp (như xỏc định tham số để phương trỡnh cú nghiệm, cú k nghiệm, nghiệm đỳng với mọi x thuộc tập D nào đú… ) và phương phỏp giải cỏc dạng toỏn đú

Bài toỏn 1: Tỡm điều kiện của tham số để phương trỡnh f(x)=g(m) cú nghiệm trờn D Phương phỏp: Dựa vào tớnh chất phương trỡnh cú nghiệm hai đồ thị của hai hàm số

và cắt nhau Do đú để giải bài toỏn này ta tiến hành theo cỏc bước sau:1) Lập bảng biến thiờn của hàm số

2) Dựa vào bảng biến thiờn ta xỏc định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số

Trang 19

Chỳ ý : Nếu phương trỡnh chưa cú dạng trờn thỡ ta tỡm cỏch cụ lập m đưa về dạng trờn.

Vớ dụ 2: Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm:

Vậy f(x) là hàm đồng biến trờn [0;4]

Suy ra phương trỡnh cú nghiệm

Chỳ ý : Khi gặp hệ phương trỡnh trong đú một phương trỡnh của hệ khụng chứa tham số thỡ ta

sẽ đi giải quyết phương trỡnh này trước Từ phương trỡnh này ta sẽ tỡm được tập nghiệm (đối

Trang 20

với hệ một ẩn) hoặc sẽ rỳt được ẩn này qua ẩn kia Khi đú nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trỡnh thứ hai với kết quả ta tỡm được ở trờn

Vớ dụ 5: Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm:

Giải:

Ta thấy (2) là phương trỡnh khụng chứa tham số nờn ta sẽ giải quyết (2) trước

(3)

Hệ cú nghiệm cú nghiệm Xột hàm số f(y) với

đồng biến trờn cỏc khoảng và

Trang 21

Chỳ ý : Khi bài toỏn yờu cầu xỏc định số nghiệm của phương trỡnh thỡ ta phải lưu ý

Số nghiệm của phương trỡnh chớnh là số giao điểm của đồ thị hai hàm số

và Do đú phương trỡnh cú k nghiệm hai đồ thị trờn cắt nhau tại k giao điểm

Vớ dụ 6: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm phõn biệt: Giải:

Xột hàm số

.Dựa vào bảng biến thiờn suy ra phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt

Vớ dụ 7: Tỡm m để phương trỡnh : cú ba nghiệm phõn biệt

Giải:

Xột hàm số

Vớ dụ 8: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh : cú đỳng một nghiệm

Trang 22

Vớ dụ 9: Tỡm m để hệ phương trỡnh : cú ba cặp nghiệm phõn biệt

Giải:

trỡnh )

Hệ cú ba cặp nghiệm (a) cú ba nghiệm phõn biệt thỏa món

.Dựa vào bảng biến thiờn ta thấy (a) cú ba nghiệm phõn biệt

Chỳ ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tỡm miền xỏc định của ẩn phụ và giải quyết bài toỏn ẩn phụ

trờn miền xỏc định vừa tỡm Cụ thể:

* Khi đặt , ta tỡm được và phương trỡnh (1) trở thành

(2) Khi đú (1) cú nghiệm (2) cú nghiệm

* Để tỡm miền xỏc định của t ta cú thể sử dụng cỏc phương trỡnh tỡm miền giỏ trị (vỡ miền xỏc định của t chớnh là miền giỏ trị của hàm )

* Nếu bài toỏn yờu cầu xỏc định số nghiệm thỡ ta phải tỡm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗigiỏ trị thỡ phương trỡnh cú bao nhiờu nghiệm ?

Vớ dụ 10: Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm.

Trang 23

Xột hàm số

Dựa vào bảng biến thiờn của

Suy ra (1) cú nghiệm cú nghiệm

Suy ra là hàm đồng biến trờn

Chỳ ý : Trong cỏc bài toỏn trờn sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khú khăn khi xỏc định miền

xỏc định của t Ở trờn chỳng ta đó làm quen với ba cỏch tỡm miền xỏc định của t Tuy nhiờn ngoài những cỏch trờn ta cũn cú những cỏch khỏc để tỡm miền xỏc định của t Chẳng hạn:

Ở cõu 2) ta cú thể ỏp dụng BĐT Cụsi để tỡm xỏc định của t :

Trang 24

Dựa vào bảng biến thiờn, ta thấy phương trỡnh cú nghiệm

Phương trỡnh đó cho trở thành:

Phương trỡnh đó cho cú nghiệm trờn cú nghiệm

Xột hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trờn [1;2]

Vậy phương trỡnh cú nghiệm

Vớ dụ 12: Xỏc định mọi giỏ trị của tham số m để hệ sau cú 2 nghiệm phõn biệt

Từ cỏch đặt ta cú: Với mỗi giỏ trị thỡ cho ta đỳng một giỏ trị

Suy ra (2) cú 2 nghiệm phõn biệt cú 2 nghiệm phõn biệt

Suy ra (3) cú 2 nghiệm phõn biệt

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN

Vớ dụ 1: Tớnh cỏc giới hạn sau:

1)

Trang 25

Trang 26

Ngoài ra cỏc bạn cú thể sử dụng thờm một số kết quả sau để tỡm giới hạn

Trang 27

Phương phỏp hàm số trong giải PT-BPT-HPT

I.Sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT:

Định lớ 1:Nếu hàm số y=f(x) luụn đb (hoặc luụn ngb) và liờn tục trờn D thỡ số nghiệm của pt

trờn D : f(x)=k khụng nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.Chứng minh:

Giả sử phương trỡnh f(x)=k cú nghiệm x=a, tức là f(a)=k Do f đồng biến nờn

*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nờn pt f(x)=k vụ nghiệm

*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nờn pt f(x)=k vụ nghiệm

Vậy pt f(x)=k cú nhiều nhất là một nghiệm

Chỳ ý:* Từ định lớ trờn, ta cú thể ỏp dụng vào giải phương trỡnh như sau:

Bài toỏn yờu cầu giải pt: F(x)=0 Ta thực hiện cỏc phộp biến đổi tương đương đưa phương trỡnh về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đú u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luụn đồng biến (nghịch biến)

Nếu là pt: f(x)=k thỡ ta tỡm một nghiệm, rồi chứng minh đú là nghiệm duy nhất

Nếu là pt: f(u)=f(v) ta cú ngay u=v giải phương trỡnh này ta tỡm được nghiệm

* Ta cũng cú thể ỏp dụng định lớ trờn cho bài toỏn chứng minh phương trỡnh cú duy nhất nghiệm

Định lớ 2: Nếu hàm số y=f(x) luụn đb (hoặc luụn ngb) và hàm số y=g(x) luụn ngb (hoặc luụn

đb)và liờn tục trờn D thỡ số nghiệm trờn D của pt: f(x)=g(x) khụng nhiều hơn một

Chứng minh:

Tiêu đề	Một số vấn đề hay của toán học
Tác giả	Nguyễn Bá C
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài viết

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	1,82 MB