3,0 điểm Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn O.. Đường thẳng MC cắt BN tại F.. Chứng minh rằng tam giác ACN đồng dạng với tam giác MBA.. Tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.. C
Trang 1 ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 1 Bùi Văn Chi
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chuyên Tốn)
Ngày thi: 15/06/2013 Thời gian: 150 phút Bài 1 (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
1
x :
x
2 Chứng minh:
1 2 3 4 5 6 47 48 > 3
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho a 1 b 1
là một số nguyên dương Gọi d là ước của a, b Chứng minh bất đẳng thức d a b
Bài 3 (1,5 điểm)
Cho hai số a, b > 0, a b Chứng minh rằng:
2 2
a b
a b
ab
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn (O) Một đường thẳng () thay đổi nhưng luơn đi qua điểm A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường trịn (O) tương ứng tại M
và N Giả sử ( ) cắt đường trịn (O) tại E ( E A và E thuộc cung lớn BC) Đường thẳng MC cắt BN tại F
1 Chứng minh rằng tam giác ACN đồng dạng với tam giác MBA Tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN
2 Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp đường trịn
3 Chứng minh đường thẳng EF luơn đi qua điểm cố định khi () thay đổi nhưng luơn đi qua A
Bài 5 (1,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x2 + xy + y2) = x + 8y
Trang 2
ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 2 Bùi Văn Chi
GIẢI ĐỀ THI 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN BÌNH ĐỊNH
MƠN TỐN CHUYÊN Ngày thi: 15/06/2013 - Thời gian: 150 phút Bài 1 (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
1
x :
x
x x
:
=
x :
=
2
1
x
(ĐKXĐ: x 0, x 1)
2 Chứng minh:
1 2 3 4 5 6 47 48 > 3
Ta cĩ: A > B
Xét tổng A + B
= 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 48 47 49 48
= 49 1 = 6
Vì A > B nên A + B < 2A 6 < 2AA > 3
1 2 3 4 5 6 47 48 > 3
Bài 2 (2,0 điểm)
Chứng minh d a b
Đặt a 1 b 1
= k ( a, b, k N*) a2 + b2 + a + b = kab (1)
Vì d là ước nguyên dương của a và b nên a = xd, b = yd (a,b,x,y,d N*)
Thay vào (1), ta cĩ:
x2d2 + y2d2 + (x + y)d = kxyd2
(x + y)d = kxyd2 – (x2+ y2)d2 (x + y)d = (kxy – x2 – y2)d2 d2
(vì (x + y)d nguyên dương nên kxy – x2 – y2 nguyên dương)
Do đĩ: a + b d2 d a b
Trang 3 ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 3 Bùi Văn Chi
Bài 3 (1,5 điểm)
2 2
a b
a b
ab
(a, b > 0, a b)
Ta cĩ:
2 2
4 4
a b
4
a b ab
4
4
a b ab
<
2
a b
2 ab a b a b2> 0: BĐT đúng với a, b > 0, a b
2 2
a b
a b
ab
(a, b > 0, a b)
Bài 4 (3,0 điểm)
1) Chứng minh ACN MBA, MBC BCN
B C sdAB sdAC
= 600
B A = 600 MB // AC
M A (đồng vị)
Do đĩ ACN MBA (g.g)
Suy ra MB BA
AC CN
MB BC
BCCN, mặt khác
MBC BCN (= 1200), nên MBC BCN (c.g.c)
2) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp
Ta cĩ MBC BCN
M B
2
B MBF MBC = 1200, nên
2
M MBF= 1200
Từ đĩ trong tam giác BMF ta cĩ: 0
F M MBF = 600
Tứ giác AEBC nội tiếp nên
1
E ACB= 600 (cùng bù với AEB)
Do đĩ
F E = 600, suy ra tứ giác BMEF nội tiếp
3) Chứng minh EF đi qua điểm cố định
EF cắt BC tại I
Ta cĩ:
F F = 600 (đối đỉnh),
2
E ABC = 600, suy ra
F E = 600
A
E
M
F
I O
60 0
60 0
60 0
60 0
1 2
3
2
2
2 1
N 1
Trang 4 ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 4 Bùi Văn Chi
Do đĩ tứ giác EFCN nội tiếp
Mặt khác, MBC BCN
C N , tứ giác EFCN nội tiếp
E N Suy ra
E C , và EIC chung nênIEC ICF (g.g) IC2 = IE.IF (1)
Chứng minh tương tự, IBF IEB (g.g) IB2 = IE.IF (2)
Từ (1), (2) ta cĩ IB = IC
Vậy khi đường thẳng () thay đổi nhưng vẫn đi qua A, thì EF luơn đi qua điểm cố định I
là trung điểm của BC
Bài 5 (1,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x 2 + xy + y 2 ) = x + 8y (1)
Biến đổi phương trình:
(1) 3x2 + 3xy + 3y2 – x – 8y = 0
3x2 + (3y – 1)x + (3y2 – 8y) = 0 (2)
Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x
Ta cĩ : = (3y – 1)2 – 12(3y2 – 8y) = - 27y2 + 90y + 1 = 9y(- 3y + 10) + 1
Nhận xét :
Nếu y 4 hoặc y - 1 (y Z) thì < 0 : Pt (2) vơ nghiệm
Do đĩ 0 y 3 (y Z)
+) Nếu y = 0 thì = 1, Pt (2) 3x2 – x = 0 x1 = 0 (chọn), x2 = 1
3 (loại)
+) Nếu y = 1 thì = 64, Pt (2) 3x2 + 2x – 5 = 0 x1 = 1 (chọn), x2 = 5
3
(loại) +) Nếu y = 2 thì = 73 : khơng là số chính phương, Pt (2) khơng cĩ nghiệm nguyên +) Nếu y = 3 thì = 28 : khơng là số chính phương, Pt (2) khơng cĩ nghiệm nguyên Vậy Pt (1) cĩ hai nghiệm nguyên :
(x ; y) = (0 ; 0) , (1 ; 1)
A
E
M
F
I O
60 0
60 0
60 0
60 0
1 2
3
2
2
2 1
N 1