BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu I... VD15.THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp Giải hệ phương trình:... PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ VD1... SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ VD1... MỘT
Trang 1BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu
I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ
VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
HD: Thay 4 y25x2 , hệ có 4 nghiệm 0; 2 , 1; 3 , 1;3
VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
8 12
2 12 0
HD: Thay 2 2
8 12
x y từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số: 2; 1 , 2;1 VD3 (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình
21 1
21 1
HD: Trừ từng vế, đáp số y 2
VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2
2
4 2 16 3 8
ĐS: 2;0 , 1; 3
VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1
2
2 2 2
2 1 1 2 log 2
x
x
17 17
1; 2 , ; 2 log
VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình:
HD: Từ phương trình thứ hai suy ray x 2, thay vào phương trình đầu, đáp số x2;y0 VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
3
Trang 2VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình:
2
x xy x
HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp ĐS 0;0 , 1;1
VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình:
2
8 3 4 0
HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho 2
x ĐS: 0;0 , 1;1 , 2;1 VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2
ĐS: 3; 2 , 3; 2
VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
2 2
1 0
x y x y
ĐS: 0;1 , 1; 2
VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình:
2
HD: Cộng vế với vế ĐS: 0;3 , 1;0
VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2
x
HD: Từ PT đầu có y 2x
ĐS: 3; 2 3
VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2 2
2 3
1
6
x
y
HD: Từ PT đầu có yx21, thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp ĐS: 2;3
VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
Trang 3
HD: Từ PT thứ hai có y 3;y x 1 ĐS: 1; 2 , 4;5
VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình:
2
3
HD: Đưa về PT đẳng cấp ĐS: 1 1
0; 0 , ; , 1;1
2 2
VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình:
2
3 0
x xy x
HD: Thế xy x2 x 3 vào PT thứ hai ĐS: 1;3
VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
3 3 3
x y y
ĐS: 3 7 319 3 7 3 26 3 7 3 215
; ; ; 2 ; 2 ; 2
VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình:
3
5
x y
x
ĐS: 2; 2
VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2
4 32
x y xy
HD: Từ PT đầu có xyx216, thay vào PT hai ĐS: 0;8 ; 2; 2 ; 6; 2
VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình:
2
HD: Từ PT hai có x2y ĐS: 3 3
0; 0 ; log 4; log 2
Trang 4HD: Từ PT đầu có y3 x39, kết hợp với PT hai ta có y 2 x 1 ĐS: 1; 2 ; 2; 1
VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình: 3 7 1 2 1
HD: Từ PT đầu có 3 1
2
ĐS: 17 76
2;1 ; ;
25 25
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
VD1 Giải hệ phương trình:
HD: Đặt ẩn phụ
2
2
3
3
x
u x y
v y
, đáp số: 1;1 ; 2 15 2 30;
2 15 15
VD2 (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình:
2
4 1
HD: Đặt 2
1
u x y
y v
x
, đáp số: 2;1 , 5; 2
VD3 (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình: 3 3
y x
HD: Đặt
3 5
v
y
, đáp số:
;5 , ;
VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
8 3 13 0
HD: Đặt
2 2
3 8
, ĐS 1;1 , 5; 7
VD5 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 2
1 3
x y xy y
x y x y
Trang 5HD: Đặt x y a
xy x b
3 5 1 5 3 5 1 5
VD6 (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 2 1 32
2
x y x y
HD: Đặt
1
y x
b y
1 2;1 2 , 2;1 , 1;
2
VD7 (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2 2
14 36
x y x y xy
HD: Đặt x y a
xy b
ĐS
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
VD8 (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2
7
x xy y
HD: Đặt x y a
x y b
ĐS 3; 2 , 1; 2
VD9 (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 12 3 4 16
4 5 5 6
HD: Đặt 4
4
x y a
xy b
ĐS 3; 2 , 1; 2
VD10 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
3 2 9 8 3
HD: Đặt
2
2
3 4
VD11 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
1
3
xy xy x
HD: Đặt
1
u x
y v
ĐS 1; 0
Trang 6VD12 (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
3
3 6.3 3 2.3
1 2 1 3 3 2
y
HD: Từ phương trình đầu có y2x1, thay vào PT thứ hai ĐS 11 9
1;1 , ;
4 2
VD13 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 1 1
3 2 4
VD14 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 5 2
15 5 22 4 15
HD: Đặt 3
5
x y v
1 58
;
7 7
VD15 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình:
3 2 2 3
3 1 0
8 3 1 0
x x y
y xy
HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt txy ĐS: 3
3
1 4;
4
III SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ
VD1 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2
2
1 3 2 4 1 1 8
2 0
x y x
HD: Từ PT đầu suy ra y0, nhân hai vế của PT đầu với 4y2 1 1 và thay 2 x x y2 ta
2
1 2y 4y 1 2y
x x x , đến đây sử dụng hàm số …
VD2 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 2
2
9
x
HD: Sử dụng hàm số khẳng định x y, thay vào PT hai ta có x y …ĐS: 1 7
3
x y
VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
2
1 2 1 4 2 6 3
1 2 4 8 4 4
Trang 7HD: Từ PT thứ nhất có 4x2y1, thay vào PT thứ hai ĐS: 1; 1
2 2
VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
3
1
9 6 3 15 3 6 2
x x y x x y
HD: Từ PT thứ nhất có x y 1 0, thay vào PT thứ hai xét hàm số 3
3
f t t t, biến đổi đến
3 3
1 2 1
x x ĐS:
3
2 1 2
;
2 1 2 1
VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình:
1 2 2
HD: Xét hàm số 3
3 , 1
f t t t t , từ PT thứ nhất suy ra x y 1 ĐS: 2;3 VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình:
2 2
3 6 3 4
6 10 5 4
HD: Xét hàm số 3
3
f t t t, từ PT thứ nhất suy ra y 1 x ĐS: 5; 4 VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình:
8 4 2 1 13 1 5 7
1
HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số 3
f t t t, suy ra 2x 1 y 2 ĐS: 2;1
IV MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau
1)
4 8
x xy y
x x y y
; 2)
3
x y xy
3)
3 3
10 0
1
x y
x xy y
; 4) 3 3 3 3
5 17
x xy y
x x y y
Trang 85)
1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy
6)
2 2
4
Bài 2 Giải các hệ phương trình
1)
2
2
1 2
1 2
y
x
; 2) 1 6 3
3)
4
3
4
3
y
x y
x x
y x
y
; 4)
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x x x y
Bài 3 Giải các hệ phương trình:
1)
2
2
2 4 2 14
x xy
; 2)
2 2
2 2
13 25
x y x y
x y x y
Bài 4 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
8
1 1
x y x y
Bài 5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
x y xy m
x y xy m m