Đề và đáp án KSCL Toán 9 đợt 2

Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B, ngay sau đó ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ.. Tính vận tốc thực của ca nô.. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M M khác B và

UBND HUYỆN THẠCH THẤT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 2012-2013ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9

Môn: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)

1 Rút gọn các biểu thức sau:

2 3 + 4 3 + 3

b) x y y x x y

xy x y

− với x > 0 ; y > 0 ; x≠y

2 Giải phương trình: x 4 3

x 2

Câu 2: (2 điểm)

Giải bài toán bằng các lập phương trình

Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B, ngay sau đó ngược dòng

từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60 km

và vận tốc dòng nước là 5 km/h Tính vận tốc thực của ca nô

Câu 3: (2 điểm)

Cho hệ phương trình: (m 1 x y 2)

mx y m 1



 + = +

 (m là tham số).

1 Giải hệ phương trình khi m 2 = ;

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn: 2 x + y≤3

Câu 4: ( 3,5 điểm )

Cho đường tròn (O; R), BC là dây bất kì (BC< 2R) Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M khác B và C) rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB

1 Chứng minh tam giác ABC cân

2 Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH là tứ giác nội tiếp

3 Chứng minh MI2 = MH.MK

4 Gọi giao điểm của BM và IK là P, giao điểm của CM và IH là Q Chứng minh PQ ⊥ MI

Câu 5: (0,5 điểm)

Cho x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2y2 - 2xy + 2014

.Hết

UBND HUYỆN THẠCH THẤT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẤN CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9 HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN

1

(1,5đ) a)

3 13 6

2 3 + 4 3 + 3

= 3 2( 3) (13 4 3)

2 3

4 3 16 3

b) x y y x x y

xy x y

− với x > 0 ; y > 0 ; x≠y

= xy( x y) ( x y)( x y)

+

2

(0,5đ)

4

x 2

+ ĐK: x ≠−2 Quy đồng khử mẫu ta được phương trình:

x2 + 2x + 4 = 3(x + 2)

⇔ x2− x − 2 = 0

0,25

Do a − b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm:

x = −1; x = 2 (thoả mãn)

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = −1; x = 2

0,25

Câu 2

2 điểm

Gọi vận tốc thực của ca nô là x ( km/h) ( x>5)

0.25

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 5 (km/h) Vận tốc ngược dòng của ca nô là x - 5 (km/h) Thời gian ca nô đi xuôi dòng là : 60

5

x+ ( giờ)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là : 60

5

x− ( giờ)

0.5

Lập luận để ra PT: 60

5

x+ +

60 5

=> 60(x-5) +60(x+5) = 5(x2 – 25) <=> 5 x2 – 120 x – 125 = 0

x1 = -1 ( không TMĐK)

x2 = 25 ( TMĐK)

0.5

Câu 3

1

(1,0đ) Khi m = 2 ta có hệ phương trình:

x y 2 2x y 3

+ =



 + =

⇔  =x 1y 1= 0,25

Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x 1

y 1

=



 =

2

(1,0đ)

Ta có hệ: (m 1 x y 2)

mx y m 1





⇔ x m 1 2mx y m 1= + −+ = +



0,25

x m 1

y m m 1 m 1

= −





x m 1

y m 2m 1

= −





0,25

Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

2

x m 1

y m 2m 1

= −





Khi đó: 2x + y = −m2 + 4m − 1

= 3 − (m − 2)2 ≤ 3 đúng ∀m vì (m − 2)2≥ 0 Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;

y) thoả mãn 2x + y ≤ 3

0,50

Câu 4

3,5

điểm

Vẽ hình đến phần a)

1 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ∆ABC cân tại A

2 Theo giả thiết MI ⊥ BC => ∠MIB =

900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900

=> ∠MIB + ∠MKB = 1800 mà đây là hai

góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp

* ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp

tương tự tứ giác BIMK

0.25 0.5 1

3 Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tứ giác

CHMI nội tiếp => ∠HMI + ∠HCI = 1800 mà ∠KBI = ∠HCI ( vì

tam giác ABC cân tại A) => ∠KMI = ∠HMI (1)

Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => ∠B1 = ∠I1 ( góc nội tiếp cùng

chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => ∠H1 = ∠C1 ( góc nội tiếp

cùng chắn cung IM) Mà ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 sđ cung BM) => ∠I1 =

∠H1 (2)

Từ (1) và (2) => ∆MKI ∆MIH => MH MI =MK MI => MI2 = MH.MK

1

4 Theo trên ta có ∠I1 = ∠C1; cũng chứng minh tương tự ta có ∠I2 =

∠B2 mà ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800

hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội

tiếp => ∠Q1 = ∠I1 mà ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( vì có

hai góc đồng vị bằng nhau) Theo giả thiết MI ⊥BC nên suy ra IM ⊥

PQ

0.75

A=xy−  − xy+

 ÷

 

0,5

điểm

Với mọi x, y ta có:

2 1

0 4

xy

4

x − y ≥ ⇔ + x y ≥ xy ⇔ xy ≤ (2)

A ≥ +− + ⇔ ≥A

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cả (1) và (2) là đẳng thức nên x=y=0,5

0, 5 16

x A

y

=





0,25

0,25

(Chú ý: Các cách làm đúng khác vẫn cho điểm tối đa)