b/ Rút gọn biểu thức A.. Một đường thẳng d quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho d cắt AB tại P, cắt AC tại Q... b/ Rút gọn biểu thức A... Một đường thẳng d quay xung qua
Trang 1Đề2
Bài 1: (5 đ)
Cho biểu thức A = 2 1 : x 1
x x x x x x
+
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b/ Rút gọn biểu thức A
Bài 2: ( 5 đ)
a/ Chứng minh rằng: M = 1110 – 1 chia hết cho 600
b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2n + 1 chia hết cho 3
Bài 3:( 5 đ)
a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy2 + 3y2 – x = 108
b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất:
B = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7
Bài 4:(5 đ)
Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM Một đường thẳng (d) quay xung quanh
trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q
a/ Chứng minh rằng: AB AC
AP+ AQ = 3.
b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÂP TỈNH
NĂM HỌC: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Bài1:
(5đ)
Cho biểu thức A = 2 1 : x 1
x x x x x x
+
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b/ Rút gọn biểu thức A
Điểm
a)
(2,5 đ)
Điều kiện của x để A có nghĩa là:
2
0 0 0
1 0
x
x x
x x x x
x
≥
⇔
3
0
1 0
x
x x
x x x x
≥
− ≠
0 1
x x
>
b)
(2,5đ)
Ta có: A = 4 3 2
a a a a a
+
2 3
a a a
+ +
A =
2
a a
⇒ A = 1
1
Bài 2:
(5đ)
a/ Chứng minh rằng: M = 1110 – 1 chia hết cho 600
b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2n + 1 chia hết cho 3
a)
(2,5đ)
Ta có: M = 1110 – 1 = 10(119 + 118 + 117 + 116 + + 112 + 11 + 1)
Vậy chỉ cần chứng minh biểu thức M/ = (119 + 118 + 117 + + 112 + 11 + 1) chia hết
cho 60
0,5đ
Thật vậy: M/ = (119 + 118 + 117 + 116 + 115 + 114 + 113 + 112 + 11 + 1)
= 118(11 + 1) + 116(11 + 1) + 114(11 + 1) + 112(11 + 1) + 12
= 118.12 + 116 12 + 114.12 + 112.12 + 12
= 12 (118 + 116 + 114 + 112 + 1)
1đ
Vì (118 + 116 + 114 + 112 + 1) M 5 ⇒ M/M 60 Vậy M = (1110 – 1)M 600 0,5đ
b)
(2,5đ)
Ta có: 2 ≡ - 1 (mod 3) ⇒ 2n ≡ ( - 1)n (mod 3) 1đ
⇒ 2n + 1 ≡ ( - 1)n + 1 (mod 3) (n là số tự nhiên) 1đ
Do đó: (2n + 1) M 3 ⇔ ( - 1)n + 1 chia hết cho 3 ⇔n là số tự nhiên lẻ. 0,5đ
Bài 3:
5đ
a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy2 + 3y2 – x = 108
b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất:
B = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7
a)
(2,5đ)
Trừ cả hai vế của phương trình cho 3, ta được phương trình:
(xy2 + 3y2) – (x + 3) = 105 ⇔(y2 – 1)(x + 3) = 105 ⇒ (y2 – 1) là ước của 105 0,5đ Các ước của 105 là: 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105
Vậy y2 phải là một trong các số sau: 2; 4; 6; 8; 16; 22; 36; 106
0,5đ
PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TOÁN 9 CÂP TINH NĂM HỌC: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi:
Trang 3Vì y ∈N ⇒ chỉ có 3 số là bình phương của y: 4; 16; 36.
Vậy thừa số thứ hai (x + 3) của phương trình thứ tự là: 35; 7; 3 0,5đ Với y2 = 4 ⇒ y2 – 1 = 3 ⇒ x + 3 = 35 hay y = 2, x = 32
Với y2 = 16⇒ y2 – 1 = 15⇒ x + 3 = 7 hay y = 4, x = 4
Với y2 = 36⇒ y2 – 1 = 35⇒ x + 3 = 3 hay y = 6, x = 0.
Phương trình có các cặp nghiệm: (x = 32, y = 2); (x = 4, y = 4); (x = 0, y = 6)
1đ
b)
(2,5đ)
Ta có: B = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7
= (x + 3)2 + (3x + 2y)2 – 2 ≥ - 2 Với mọi x, y 0,5đ
min B = - 2 ⇔ 3 0
x
x y
+ =
+ =
3 9 2
x y
= −
=−
Vậy với x = -3; y = -92 biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 2 0,5đ
Bài 4
(5đ)
Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q
a/ Chứng minh rằng: AB AC
AP+ AQ = 3
b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x
Vẽ
hình
(0,5đ)
G
M
F
C B
A
0,5đ
a)
(2.0đ)
Kẻ BE, CF song song với PQ (E, F ∈ AM)
⇒ BME =CMF (g.c.g) (Vì MB = MC, ·FCM =EBM· (so le), ·FMC EMB=·
(đối đỉnh)) ⇒ ME = MF
0.5đ
Vì BE // PQ, CF // PQ ⇒ theo hệ quả ĐL Ta-lét ta có:
;
AB AE
AP = AG AC AF
AQ = AG ⇒ AB AC AE AF
AP AQ AG
+ + = = (AM ME) (AM ME)
AG
= 2 2.3 3
2
AM
AG = = vậy AB AC 3
b)
(2,5đ)
Khi (d) đi qua B và G ⇒ điểm P trùng với điểm B ⇒ AP = AB = c ⇒ x = c 1đ Khi (d) đi qua C và G ⇒ điểm P trùng với điểm N là trung điểm của AB
⇒ AP = AN = 1
2AB =
1
2c ⇒ x = 1
2c
1đ
2c ≤ x ≤ c Vậy giá trị lớn nhất của x là c, giá trị nhỏ nhất của x là 1