tuyen tap TP BPT tu 2002-2011

HD: Môt bài toán hay.

www.vnmath.com PT-BPT MŨ LÔGARIT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002-2011

***

1 ĐH-D-2011 Giải phương trình  2  

2 log 8x log 1 x 1x  2 0(x R )

2 ĐH-B-2010 Giải hệ phương trình 2  

2

log (3 1)

,

4x 2x 3

x y R y



 



3 ĐH-D-2010 Giải phương trình 42x x 2 2x3 4x x 2 2x3  4 4x x R 

4 ĐH-D-2010 Giải hệ phương trình

2

( , )

2 log ( 2) log 0

x y R

    



5 ĐH-A-2009 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

log ( ) 1 log ( )

3x y xy 81

 







6 *CĐ-2009 Cho 0<a<b<1 Chứng minh BĐT: a2lnb b 2lnalnalnb

7 ĐH-A-2008 Giải phương trình:log2x1(2x2  x 1) log (2x1 x1)2 4

8 ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:

2 0,7 6

4

x x x



9 ĐH-B-08 Giải bất phương trình: 1 2

2

3 2

0

x

   log

10 ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 3 1

3

2log (4x 3) log (2x  3) 2

11 *ĐH-B-07 Giải phương trình: 2 1  x 2 1 x2 2 0

12 *ĐH-D-07 Giải phương trình:

1

4.2 3

x x

x



13 *Tham khảo 2007 Giải BPT: 2

log 8 logx  x log 2x0

14 *Tham khảo 2007 Giải PT: 4 2

2 1

log x 4 2



15 Tham khảo 2007 Giải PT:log (3 x1)2 log (23 x 1) 2

16 *Tham khảo 2007 Giải PT: 3 9

3

4

1 log

x x

x



2

1 1 log 2

1 1 3 2

2

18 Tham khảo 2007 Giải BPT:23x 1 7.2 7.2 2x  x  2 0

19 *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8x4.12x18x2.27x  0

20 Tham khảo 2006 Giải PT 2

2

log 2 2log 4 logx  x  x8

21 ĐH-B-2006 Giải BPT  x   x 2 

log 4 144 4log 2 1 log 2     1

2

2 log x 1 log (3 x) log (x1) 0

www.vnmath.com

24 ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất e x e y ln(1 x) ln(1 y)

y x a



 



25 ĐH-D-2006 Giải PT2x2x 4.2x2x 22x   4 0

26 Tham khảo 2006 Giải PT  x   x 1 

log 3 1 log 3    3 6

27 ***Tham khảo 2006 Giải HPT

ln(1 ) ln(1 )

12 20 0

    







28 Tham khảo 2006 Giải  2  4 2

1

2 log x 1 log x log 0

4

29 *ĐH-B-2005 Giải hệ x y







30 ***ĐH-D-2005 CMR 12 15 20 3 4 5

x x x

        

31 Tham khảo-2005 Giải

x x

x x



 

 

2 2

2

3

32 ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0 CMR: 24x  24y  24z 3 3

33 ĐH-A-2004 Giải HPT: log (y x) log

y

4

1 1 25





  



34 Tham khảo-2004 Giải BPTlog log x x2 x

2 4

35 Tham khảo-2004 Giải BPT: 1 2 3 2

log log

2.x x2 x

36 ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất x x 1x1x (x 0)

37 ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: ln x

y

38 ***Tham khảo 2004 Giải BPT: 4

2

11 6

2 1











x

x

x

39 ***Tham khảo 2004

Cho hàm số

2 sin

2

y e  x Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm

40 *Tham khảo 2004 Giải BPT log x 3  log 3x

41 ***Tham khảo 2004 Giải HPT























x y y x

x y

2 2

2 2

42 Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2x 1   1 2x  1 2x 1

43 Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1): 4  0

2 1

2

2 x log xm log

44 ĐH-D-2003 Giải PT: 2 2 2

2x x2  x x  3

www.vnmath.com

45 Tham khảo 2003 Giải PT:  x 

5 log 5 4   1 x

46 ĐH-A-2002 Cho PT log23x log32x12m10

1) Giải PT khi m=2

2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3]

47 Tham khảo 2002 Giải PT

2

2 3 27

16log 3log x 0

x x x 

48 Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:

























1 1 3

1 2

1

0 3

1

3 2

2 2

3

x x

k x x

log log

49 ĐH-B-2002 Giải BPT log log 9 3 x 72  1

50 Tham khảo 2002 Giải HPT







51 Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 1 1 2   1 1 2

9 x  a2 3 x 2a 1 0

52 Tham khảo 2002 Giải PT:    8  

2

53 ĐH-D-2002 Giải HPT

1

x

x

y







54.Tham khảo 2002 Giải PT :  

x y







55 Tham khảo 2002 Giải BPT log 4 4 log 2 2 1 3 2 2.

2 1 2

1 x  x 

PT-BPT MŨ LÔGARIT

***

1

2

3 ĐH-A-2009 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

log ( ) 1 log ( )

3x y xy 81

 





 HD: HPT tương đương

2 2

2 2

0

2

4

xy





  



   

0

4

xy

 



   



4 *CĐ-2009 Cho 0<a<b<1 Chứng minh BĐT: a2lnb b 2lnalnalnb

HD: Đưa BĐT về dạng tương đương (1a2) lnbln (1a b2) ln 2 ln 2

www.vnmath.com

Xét hàm số ( ) ln 2

1

x

f x

x



 với 0<x<1  

2

2 2

1 (1 2ln )

1

f x

 vì lnx<0 và 0<x<1 Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b) Bài toán được chứng minh

5 ĐH-A-2008 Giải phương trình:

log x (2x   x 1) log (2x x1) 4

HD: Với điều kiện 1

2

x , PT tương đương:log2x1(2x1)(x 1) 2 log (2x1 x 1) 4

log x (x 1) 2 log (2x x 1) 3

Đặt t log2x1(x1) ta được: 2

3

t t

2

t t





  



 Với t=1 ta có: log2x1(x    1) 1 x 1 2x  1 x 2thỏa ĐK 1

2

x

 Với t=2 ta có:log2x1(x    1) 2 x 1 (2x1)2 2

0 5 4

x x









 



Do ĐK ta chỉ nhận 5

4

x ĐS: x=2, 5

4

x

6 ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:

2 0,7 6

4

x x x



HD:

2

6

4

4

4

x







2 2

0 4

4

6 4

x





 



2

6 4

x





4 x 3 x 8

      

7 ĐH-B-08 Giải bất phương trình:

2 1 2

3 2

0

x

   log

HD:

2

1

2

3 2

0

x

  

log

2

2

0

1

x

x





 



2

4 2

0

x

   





   





2

4 2

0

x

   





   





   



       

 2 2   x 1 2  x 2 2

8 ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 3 1

3

2log (4x 3) log (2x  3) 2

HD: BPT tương đương

2

3 4 log (4 3) log (2 3) 2

x

 







www.vnmath.com

2 3

3

4

(4 3)

2 3

x

x

x

 





2

3 4 (4 3)

9

2 3

x x x

 



  



2

3 4

8 21 9 0

x

 



 



3 4 3

3 8

x x

 



 

  



3

3

4 x

  

9 *ĐH-B-07 Giải phương trình: 2 1  x 2 1 x2 2 0

HD: Đặt t 2 1 xta được PT:

1

2 2

t

t

   t2 2 2t 1 0 t 2 1  t 2 1     x 1 x 1

10 *ĐH-D-07 Giải phương trình:

1

4.2 3

x x

x

 HD: Đặt t=2 x , t>0 ta được:

2

1

4 3

t

4 3

t

 



 

4 3

11 30 0

t

 



 

   

 Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x

11 *Tham khảo 2007 Giải BPT:  2

log 8 logx  x log 2x0

HD: ĐK: x>0, x≠1

3log 2 log log

2 2

x  x  x 6 2t 1 t (t log )2x

t

t t

        t 3 t 2 8 1

4

   

12 *Tham khảo 2007 Giải PT: 4 2

2 1

log x 4 2



2 1

2 x 2log x 2  2 2 x

log (x 1) log (2x 1) 1 log (x 2)

       log (2 x1)(2x 1) log 2(2 x2)

2

2x 3x 5 0

2

     Do ĐK, chỉ nhận nghiệm 5

2

x

13 Tham khảo 2007 Giải PT:log (3 x1)2 log (23 x 1) 2

HD: ĐK x>1

Đưa về 2log (3 x 1) 2log (23 x 1) 2

3

log (x 1)(2x 1) 1

    (x1)(2x 1) 32x2 3x 2 0 2 1

2

    

Do ĐK chỉ nhận x=2

14 *Tham khảo 2007 Giải PT: 3 9

3

4

1 log

x x

x



HD: ĐK x>0, x≠1

9

www.vnmath.com

x

1

x



3

1 ( log )

t



(2 t)(1 t) 4(2 t) (2 t)(1 t)

t t

2

t 

2

1 1 log 2

1 1 3 2

2 2

2

HD: ĐK 1

1 2

x  x

1log ( 1)(2 1) 1log 1 1

2

1

( 1)(2 1)

x



1

2 ( 1)(2 1)

x



2

0 ( 1)(2 1)

( 1)( 3 1)

0 ( 1)(2 1)

  

3 1

0

2 1

x x

 



  

Kết hợp ĐK:

1

1 2

x

   





  



  

16 Tham khảo 2007 Giải BPT:23x 1  7.2 7.2 2x  x 2 0

HD: 2t37t2  7t 2 0 (t2 ,x t0)

2

( 1)(2t t 5t 2) 0

2

            x 0 x 1 x 1

17 *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8x4.12x18x2.27x  0

HD: 3.23x4.3 2x 2x3 22x x 2.33x 0

Chia 2 vế của PT cho 33x ta đươc:

        

     

      Đặt 2

3

x

t  

    , t>0 ta có: 3t34t2  t 2 0 1 2

3

    

Do ĐK ta chỉ nhận 2

3

t  x=1

18 Tham khảo 2006 Giải PT:log 2 2log 4 logx  2x  2x8

HD: ĐK x>0, x≠1, x≠1

2 PT tương đương với: 2 4

8

log x log 2x log 2x

log x 1 log x 1 log x

log x 1 log x

  1 log2x2log2x

2

2x x

   x 2

19 ĐH-B-2006 Giải BPT:  x   x 2 

log 4 144 4log 2 1 log 2     1 HD: Biến đổi BPT

www.vnmath.com

x

x 2

4 144

16



5.2 5 16





   4 -20.2x x64 0 2

t -20.t 64 0(t=2x 0)

     (t 4)( 16) 0t    4 t 16  2 x 4

2

2 log x 1 log (3 x) log (x1) 0

HD: ĐK 1<x<3 Biến đổi PT

log (x 1) log (3 x) log (x 1) 0 log2 ( 1)(3 ) 0

1

x

 



( 1)(3 )

1 1

x

 



x x

   

2

x 

21 *Tham khảo 2006: 2 1 2 2

9x  x 10.3x  x   1 0 HD: 19 2 10.32 1 0

x x x x  Đặt 2

3x x, 0

t  t

Ta được t210t 9 0    t 1 t 9 x2   x 0 x2  x 2 0         x 2 x 1 x 0 x 1

22 ***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất: e x e y ln(1 x) ln(1 y)

y x a



 



HD: Biến đổi e x a e x ln(1 x a) ln(1 x) 0

y x a





 



Xét hàm số

( ) x a x ln(1 ) ln(1 ), 1

f x e   e   x a x x 

(1 )(1 )

f x e e

   (vì a>0 và x>1)



1

lim ( ) , lim ( )

x

t

      , f(x) liên tục trên ( 1;  Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm x) 0

trên ( 1;  )

 Do ( ) 0,f x     nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm x 1

 Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x0 và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x0;y=x0+a)

23 ĐH-D-2006 Giải PT:2x2x 4.2x2x22x  4 0

HD: Đặt

2 2

2 2

x x

x x

u

v





 





 



Suy ra u v 22x (u>0,v>0)

Phương trình thành:

u 4v uv 4 0    u(1-v)+4(1-v)=0 (u+4)(1-v)=0v=1x2 x 0    x 0 x 1

24 Tham khảo 2006 Giải PT:  x   x 1 

log 3 1 log 3    3 6 HD: Đưa về:

log 3 1 log 3(3 1)  6  x   x 

log 3 1 1+log 3 1  6

www.vnmath.com

8

3 (1 ) 6 log 3 1

        t2 t 6 0     t 2 t 3

log 3x 1 2 log 3x 1 3

27

      28

3 10 3

27

    log 103 log3 28

27

25 ***Tham khảo 2006 Giải HPT:

ln(1 ) ln(1 )

12 20 0





 HD:

 Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)y

Đặt f(t)=ln(1+t)t (t>1)

1

t

f t



   

Nếu 1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0

PT thành f(x)=f(y)

 Xét x212xy+20y2=0  x=10y V x=2y

Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT

Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0

Nếu 1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0

Vậy y>1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu của hàm số trên các khoảng 1;0 , (0; )làm cho

PT đầu thành f(x)=f(y)  x=y

Hệ đã cho thành

1, 0

  





 



vô nghiệm

 Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)

26 Tham khảo 2006 Giải:  2  4 2

1

2 log x 1 log x log 0

4

HD: Đưa về log x 1 log x 2 02   2   . Đặt t=log2x

2

t +t 2 0  t=1 t= 2  x=2 x=1

4

27 *ĐH-B-2005 Giải hệ: x y







HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương

log ( x) log y





x log

y





3 1

x y



 









 

Xét x 1 2 x 1 (1≤1≤2) ta có

Nghiệm của hệ là 1 2

 

   

www.vnmath.com

28 ***ĐH-D-2005 CMR: 12 15 20 3 4 5

x x x

        

HD: Dùng BĐT Côsi ta có:

x

         

x

         

x

         

Suy ra 12 15 20 3 4 5

x x x

        

29 Tham khảo-2005 Giải:

x x

x x



 

 

2 2

2

3

HD: Đặt t3x22x,t ta có t0 22t3≤0  1≤t≤3

BPT thành 3x22x 3 x22x0  0 x 2

30 ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0 CMR: 24x  24y  24z 3 3

HD: Môt bài toán hay Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4x=1

3

2 4 x   1 1 4x3 4x 2 4 323

x x

Tương tự với y,z ta có:

         

x y z  

3 3 23 3 3 3 (vì x+y+z=0)

31 ĐH-A-2004 Giải HPT: log (y x) log

y

4

1 1 25





  



HD:

log (y x) log

y

4

1 1 25





  



log (y x) log y



 



1 25

y log

y x









  



4

0

1 25

y

y x





  

0 4 25

x

y







0

4

3

25

x y x







0 4 3 9

x y





 



 3 4

www.vnmath.com

10

32 Tham khảo-2004 Giải BPT: log log x x2 x

2 4

HD:

log log x x2 x

2

4

log x x x log x x x



 



2 2

2 2

2 1 log x  x2x



 



2

2

  2 

2 2 x2  x x

x x





2 2

x x





       



2 2

4 1x   4 1 x

33 Tham khảo-2004 Giải BPT: 1log2 3log2

2.x x2 x

1log 3log

log 2. x x log 2 x

    1 log x2   0 x 2

34 ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất:x x 1 x1x (x 0)

HD: x x1x1x lnx x1lnx1x (x1) lnx x lnx1(x1) lnx x ln(x  1) 0

Đặt ( ) (f x  x1) lnx x ln(x 1)

1 1 ( ) ln ln( 1)

1

x x



2

1

( 1)

f x

x x

  

 Suy ra f’(x) nghịch biến trên R

+

Mà: lim ( ) lim ln 1 1 0

x

f x

   f’(x)>0 với mọi x>0  f(x) đồng biến trên R

+

0

lim ( )

x

f x





  f(e)=e+1eln(e+1)>0

Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 và x0 là nghiệm duy nhất

35 ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: ln x

y

y f (x)

f (x)

x



2

2

f(1)=0; 2

2

4 ( )

f e

e

 ; 3

3

9 ( )

f e

e

 GTNN là f(1)=0; GTLN là 2

2

4 ( )

f e

e



36 ***Tham khảo 2004 Giải BPT: 4

2

11 6

2 1











x

x

x

HD: 2 1 2 3 0

2

x



 x<1 thì

1

2 0

x x x



  

 suy ra x<1 thỏa BPT

 x=1 không thỏa BPT

www.vnmath.com

 1<x<2 thì

1

2 0

x x x





 

 suy ra 1<x<2 không thỏa BPT

 x>2 thì

1

2 0

x x x





 

 suy ra x>2 thỏa BPT

 Kết luận: nghiệm là x<1, x>2

37 Tham khảo 2004 Cho hàm số sin 2

2

y e  x Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm

HD:

2 ( ) sin

2

y f x e  x ( )f x e xcosx x ( )f x e xsinx  1 0

 Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0

 Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0

 Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0

 GTNN là f(0)=1



y f x e    x e  

 Mà

2

2

x x

x e



x f x

 Và

2

2

x x

x e



x f x

 Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt

38 *Tham khảo 2004 Giải BPT log x 3  log 3x

HD: Đưa về

3

0, 1

log

1

t

t



  









 



3 2

0, 1 log 1 0

t t



  



 

 



3

0, 1 log





 

    

0, 1





1

    

39.***Tham khảo 2004 Giải HPT























x y y x

x y

2 2

2 2 HD: Xét PT thứ nhất: (xy)(x+y1)=0

 Thay y=x vào PT thứ hai 22x2x 102x x    1 x 1 (y=1)

 Thay y=1x vào PT thứ hai 2x 12x  Hàm số 3 0 f x( ) 2 x 12x đồng biến trên R và f(1)=0 nên 3 f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)

 Kết luận (x=1;y=1), (x=1;y=0)

40 Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2x 1   1 2x  1 2x 1

HD: Đặt t=2x ta được 30t    1 t 1 2t

 t=1 thỏa BPT

 t>1 ta được 30t   1 3 1t

2

1

t





 

1

t





 

    1 t 4

www.vnmath.com

12

 t<1 ta được

30t   1 t 1

2

1

30

 



  

1

1

t t

  





     



1

1

30

t t

t

  





       

 1



      

 Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có 0 t 4  0 2x   4 x 2

41 Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) : 4  0

2 1

2

2 x log xm log

2 1

2

2 x log xm

log x log x m 0

 Với 0<x<1 thì 0  x 1 log2x 0

 PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f t( )  t2 t (t 0)

 Khảo sát hàm số cho kết quả 1

4

m

42 ĐH-D-2003 Giải PT: 2 2 2

2x x2  x x  3 HD:

2

2x x2  x x 3 2

2

4

2

x x

x x





2

2

2

3 4 0

x x t

t t



 

 

  



2

2x x 4

  x2  x 2 0     x 1 x 2

43.Tham khảo 2003 Giải PT:  x 

5 log 5 4   1 x HD: log 55 x4 1 x 5x 4 51 x

5 5 4

x t t

t

 



 

 

5

4 5 0

x t

t t

 



 

  



5 5

x

t t

 

 



44 ĐH-A-2002 Cho PT : log23x log23x12m10

1) Giải PT khi m=2

2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3]

HD:

1) 2 2

log x log x   1 5 0 23

2

6 0

t t



 

  



2 3

2

t



 





2 3

log x 3

   log3x  3  x 3  3

2) Xét 3

3

1 x 3  0 log x 3

0 1 2 1

2 3

2

3x log x  m 

log

2 3 2

1

2



 





 PT ban đầu có nghiệm x thỏa 1 x 3 3khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 t 2

 Khảo sát hàm số ta được 0 m 2

45 Tham khảo 2002 Giải PT:

2

2 3 27

16log 3log x 0

x x x 