b Số bàn thắng qua các trận đấu của một đội trong suốt mùa giải được ghi lại dưới đây : Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng.. b Số bàn thắng trong các trận đấu của toàn giải được ghi lại ở bảng sa
Trang 1Ôn tập toán 7 học kỳ II
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 7 HỌC KỲ II
PHẦN ĐẠI SỐ:
Dạng 1: Các bài tập về thống kê
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Bảng số liệu thống kê ban đầu
2/ Đơn vị điều tra
3/ Dấu hiệu ( kí hiệu là X )
4/ Giá trị của dấu hiệu ( kí hiệu là x )
5/ Dãy giá trị của dấu hiệu (số các giá trị của dấu hiệu kí hiệu là N)
6/ Tần số của giá trị (kí hiệu là n)
7/ Tần suất của một giá trị của dấu hiệu được tính theo công thức f = n
N Tần suất f thường được tính dưới dạng
tỉ lệ phần trăm
8/ Bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu)
9/ Biểu đồ ( biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt)
10/ Số trung bình cộng của dấu hiệu
11/ Mốt của dấu hiệu
B KĨ NĂNG:
- Biết được dấu hiệu cần tìm hiểu của mỗi bài toán và số các giá trị là bao nhiêu?
- Tìm được số các giá trị khác nhau và tần số tương ứng của chúng
- Biết lập bảng tần số, vẽ biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt và từ đó rút ra một số nhận xét
- Biết tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
HS xem và làm lại các bài tập 7 trang 11, bài 10 trang 14, bài 15, 17 trang 20 ở SGK và làm thêm hai bài tập sau:
Bài 1 : Thời gian làm một bài tập toán(tính bằng phút) của 30 h/s lớp 7 được ghi lại như sau:
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Lập bảng tần số và tính trung bình cộng của bảng số liệu trên
c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng
Bài 2 : Điểm kiểm tra học kỳ môn toán của một lớp 30 h/s 7 được ghi lại như sau:
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Lập bảng tần số và tính trung bình cộng của bảng số liệu trên
c) Nhận xét chung về chất lượng học của lớp đó
d)Vẽ biểu đồ đoạn thẳng
Bài 3: Có 10 đội bóng tham gia một giải bóng đá Mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác.
a) Mỗi đội phải đá bao nhiêu trận trong suốt giải ?
b) Số bàn thắng qua các trận đấu của một đội trong suốt mùa giải được ghi lại dưới đây :
Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng
c) Có bao nhiêu trận đội bóng đó không ghi được bàn thắng ? Có thể nói đội bóng này đã thắng 16 trận không ?
Trang 2Ôn tập toán 7 học kỳ II
Gợi ý:
a) Mỗi đội phải đá 18 trận
( Vì mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với 9 đội còn lại nên 9 2 = 18 trận )
c) Có 2 trận đội bóng đó không ghi được bàn thắng ( Vì N = 16 nghĩa là chỉ có 16 trận ghi bàn thắng, mà mỗi đội phải đá 18 trận nên có 2 trận đội bóng đó không ghi được bàn thắng )
Không thể nói đội này đã đá 16 trận ( Vì tổng số bàn thắng của đội này chỉ có 15 bàn thắng )
Bài 4: Có 10 đội bóng tham gia một giải bóng đá Mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác.
a) Có tất cả bao nhiêu trận trong toàn giải ?
b) Số bàn thắng trong các trận đấu của toàn giải được ghi lại ở bảng sau :
Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nhận xét
c) Có bao nhiêu trận không có bàn thắng ?
d) Tính số bàn thắng trung bình trong một trận của cả giải
e) Tìm mốt của dấu hiệu
Gợi ý:
a) Có tất cả 90 trận
( Nếu xếp 10 đội theo thứ tự từ 1 đến 10, thì đội 1 đá với 9 đội còn lại trong 18 trận, vì số trận của đội thứ 2
đá với đội thứ 1 là 2 trận đã được tính nên đội thứ hai chỉ còn đá 16 trận, tương tự đội thứ 3 chỉ còn đá 14 trận, đội thứ 4 )
b) Có 10 trận không có bàn thắng ( Vì N = 80 nghĩa là chỉ có 80 trận ghi bàn thắng, mà có tất cả 90 trận nên
có 10 trận không có bàn thắng )
90
Bài 5: Khối lượng mỗi học sinh lớp 7C được ghi ở bảng sau (đơn vị là kg) Tính số trung bình cộng.
Khối lượng (x) Tần số (n) Trên 24 – 28
Trên 28 – 32 Trên 32 – 36 Trên 36 – 40 Trên 40 – 44 Trên 44 – 48 Trên 48 - 52
2 8 12 9 5 3 1
Bài 6: Diện tích nhà ở của các hộ gia đình trong một khu dân cư được thống kê trong bảng sau (đơn vị : m2) Tính số trung bình cộng
Diện tích (x) Tần số (n) Trên 25 – 30
Trên 30 – 35 Trên 35 – 40 Trên 40 – 45 Trên 45 – 50 Trên 50 – 55 Trên 55 – 60 Trên 60 – 65 Trên 65 - 70
6 8 11 20 15 12 12 10 6
Trang 3Ôn tập toán 7 học kỳ II
Gợi ý: Bài 5 và 6.
- Tính số trung bình cộng của từng khoảng ( Ví dụ: Trung bình cộng của từng khoảng 24 -28 là 24 28
26 2
)
- Nhân các số trung bình vừa tìm được với các tần số tương ứng
- Thực hiện tiếp các bước theo quy tắc đã học
Dạng 2: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
- Ôn lại các công thức về luỹ thừa ở SGK tập 1 để áp dụng nhân hai đơn thức
- Xem lại và làm lại các bài tập 13 trang 32 ; 61 trang 50 SGK; bài 16, 17 trang 21; 54 trang 28 SBT( sách mới) Bài tập bổ sung : Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số
A= 3 5 4 ( )2 8 2 5
− −
÷ ÷
; B=
3
÷ ÷
Dạng 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng: Xem và làm lại các bài tập: 16, 17, 20,21 SGK trang 34
• Hiểu được thế nào là hai đơn thức đồng dạng
• Để cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến
Dạng 4: Thu gọn đa thưc, tìm bậc của đa thức
a) Phương pháp thu gọn đa thức:
Bước 1: Sắp xếp các hạng tử thành từng nhóm các hạng tử đồng dạng (làm ở nháp)
Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng, giữa các nhóm nên đặt dấu cộng
Bước 3: Tính cộng, trừ các hạng tử đồng dạng
b) Ví dụ: Thu gọn đa thức A=15x y2 3+7x2− −x 8x y3 2−12x2+11x y3 2−12x y2 3+13
Bước 1: 15x y2 3−12x y2 3 + 7x2−12x2 - 8x y3 2+11x y3 2 - x + 13 (làm ở nháp)
Bước 2:( 15x y2 3−12x y2 3) + (7x2−12x2 ) + ( −8x y3 2+11x y3 2 ) x− + 13
Bước 3: 3x y + 2 3 ( 5 )− x2 + 3x y x3 2 − + 13
c) Xem và làm lại các bài tập 25, 26 trang 38 SGK; 26,27 SBT trang 23 ( sách mới)
d) Thu gọn các đa thức sau:
B = xy + 2x2 – 3xyz + 5 – 5x2 – xyz
Dạng 5: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức một biến, tìm bậc của đa thức một biến
• Làm tương tự dạng 4, nên vừa sắp xếp vừa thu gọn
• Ví dụ: Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi tìm bậc
M = -5 x2 - 5x4 − 3x3 + x2 - 4x4 + 3x3 − x + 5
= ( - 5x4 - 4x4 ) + (- 3x3 + 3x3 ) + ( -5x2 + x2 ) - x + 5
= - 9x4 + ( -4x2 ) - x + 5 Đa thức M có bậc 4
• Xem và làm lại các bài tập sau: 39,40,43 trang 43 SGK; 35,36 SBT trang 24
Dạng 6: Cộng, trừ đa thức nhiều biến
a) Phương pháp :
Bước 1: viết phép tính cộng, trừ các đa thức
Bước 2: bỏ dấu ngoặc (nếu có dấu trừ đằng trước ngoặc phải bỏ dấu tất cả các hạng tử ở trong ngoặc )
Bước 3: thu gọn các hạng tử đồng dạng ( cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng)
b) Xem lại và làm lại các bài tập sau : 31,35, 38 trang 40 ở SGK
c) Bài tập bổ sung :
Bài 1: Cho các đa thức : A = x2 -2x-y+3y -1
B = - 2x2 + 3y2 - 5x + y + 3 Tính A + B; A – B
Bài 2 : Tìm đa thức M,N biết :
Trang 4Ôn tập toán 7 học kỳ II
a) M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b) (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
Dạng 7: Cộng trừ đa thức một biến:
a)Phương pháp: Làm tương tự như dạng 6, nên nhóm các hạng tử theo thứ tự giảm dần hoặc tăng dần của biến b) Ví dụ : P(x) - Q(x) = (3x2 – 5 + x4 – 3x3 – x6 – 2x2 – x3) – ( x3 + 2x5 – x4 + x2 – 2x3 + x – 1)
= 3x2 – 5 + x4 – 3x3 – x6 – 2x2 – x3 – x3 - 2x5+ x4 - x2 + 2x3 - x + 1 = – x6 - 2x5 + ( x4+ x4 ) + (– 3x3– x3 – x3 + 2x3 ) + ( 3 x2– 2x2- x2 ) - x + (-5 +1)
= – x6 - 2x5 + 2 x4 + (– 3x3 ) - x + (-4)
Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)], đối với phép trừ hai đa thức một biến em không nên làm theo cách 2
c)Xem và làm lại các bài 44,47,51,53 SGK trang 45; 40,41,42 SBT trang 25
Dạng 8: Tính giá trị biểu thức đại số :
a) Phương pháp :
Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số (nếu cần)
Bước 2: Thay giá trị cho trước của các biến vào biểu thức đại số
Bước 3: Tính giá trị biểu thức số
b) Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại 1; 1
B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3
Bài 2 : Cho đa thức P(x) = x4 + 2x2 + 1; Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; Tính : P(–1); P(1
2); Q(–2); Q(-1);
Dạng 9: Nghiệm của đa thức 1 biến
1 Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không
a) Phương pháp :
Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó
Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức
b) Xem và làm lại các bài tập sau: 54 trang 48; 65 trang 51 SGK
2 Tìm nghiệm của đa thức một biến
a) Phương pháp :
Bước 1: Cho đa thức bằng 0
Bước 2:Giải bài toán tìm x
Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức
Chú ý :
– Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 áp dụng để làm bài 45 SBT trang 26
– Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại x2 = c/a Xem bài 46 SBT trang 26
– Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x2 = -c/a Xem bài 47 SBT trang 27
b) Xem và làm lại các bài 55 trang 48 SGK; 44, 48 ( áp dụng chú ý) SBT trang 27
Dạng 10: Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x 0 ) = a
Phương pháp :
Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức
Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a
Bước 3: Tính được hệ số chưa biết
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3 Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Giải: Vì P(–1) = 2 nên ta có : m (-1) – 3 = 2 => - m = 2 +3 => - m = 5 =>m =-5
Trang 5Ôn tập toán 7 học kỳ II
HÌNH HỌC
CHƯƠNG II: TAM GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Định lí tổng ba góc trong một tam giác Tính chất góc ngoài của tam giác
+V ABCcó µ A B ACB + + µ · = 1800(đ/I tổng ba góc trong một tam giác)
+ Tính chất của góc ngoài Acx:
· ACx A B = + µ µ
2/ Định nghĩa tính chất của tam giác cân
* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC ⇒ V ABC cân tại A
* Tính chất:
2
−
B C
+ B C µ = µ + µ A = 1800 − 2 B µ
3/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều:
* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC ⇒ V ABC là tam giác đều
* Tính chất:
+ AB = AC = BC + µ A B C = = = µ µ 600
4/ Tam giác vuông:
* Định nghĩa: Tam giác ABC có µ A = 900⇒ V ABC là tam giác vuông tại A
* Tính chất:
+ B C µ + = µ 900
* Định lí Pytago:
V ABCvuông tại A ⇒ BC2 = AB2 + AC2
* Định lí Pytago đảo:
V ABC có BC2 = AB2 + AC2 ⇒ V ABCvuông tại A 5/ Tam giác vuông cân:
* Định nghĩa:
Tam giác ABC có µ A = 900và AB = AC⇒ V ABC là vuông cân tại A
* Tính chất:
+ AB = AC = c + BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = c 2
+ B C µ = = µ 450 6/ Ba trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác:
+ Trưòng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh( c-c-c).
V ABC và V DEF có:
=
AB DE
AC DF
BC EF
⇒ V ABC= V DEF( c-c-c)
x C
B
A
C B
A
C B
A
C
B
A
C
B
A
D
C B
A
Trang 6Ôn tập toán 7 học kỳ II
+Trưòng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh ( c-g-c).
V ABC và V DEF có: µ µ
=
=
AB DE
B E
BC EF
⇒ V ABC= V DEF( c-g-c)
+Trưòng hợp 3: Góc - cạnh - góc ( g-c-g).
V ABC và V DEF có:
=
=
=
B E
BC EF
C F
⇒ V ABC= V DEF( g-c-g) 7/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
+ Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông.
V ABC( µ A = 900) và V DEF(µ D = 900)
có: =
AB DE
AC DF
⇒ V ABC= V DEF( Hai cạnh góc vuông )
+ Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn.
V ABC( µ A = 900) và V DEF(µ D = 900)
có: µ µ
=
=
AC DF
=
=
AB DE
B E
⇒ V ABC= V DEF( Cạnh góc vuông- góc nhọn )
+ Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn.
V ABC( µ A = 900) và V DEF(µ D = 900)
có: µ µ
=
=
BC EF
=
=
BC EF
B E
⇒ V ABC= V DEF( Cạnh huyền - góc nhọn )
+ Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông.
V ABC( µ A = 900) và V DEF(µ D = 900)
có: =
CB EF
AC DF hoặc
=
CB EF
AB DE
⇒ V ABC= V DEF( Cạnh huyền - cạnh góc vuông )
B KĨ NĂNG:
- Biết vận dụng các trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau
- Biết vận dụng định nghĩa, tính chất để chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân
- Biết vận dụng định lí Pytago để chứng minh và tính toán
D
C B
A
D
C B
A
D
E
F C
B
A
D
E
F C
B
A
D
E
F C
B
A
D
E
F C
B
A
Trang 7Ôn tập toán 7 học kỳ II
CHƯƠNG III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
Xét V ABC có
B C AC AB
B C AC AB
> ⇔ >
2 Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
A d B d AH d ∉ ∈ ⊥ Khi đó AB > AH hoặc AB = AH ( điều này xảy ra ⇔ ≡ B H )
A d B d C d AH d ∉ ∈ ∈ ⊥ Khi đó
AB AC HB HC
AB AC HB HC
> ⇔ >
3 Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
* Với ba điểm A,B,C bất kì, luôn có :
AB + AC > BC hoặc AB + AC = BC ( điều này xảy ra ⇔A nằm giữa B và C )
4 Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
* Trong V ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại điểm G
3
GA GB GC
AD = BE = CF =
* Điểm G là trọng tâm của V ABC
5 Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
* Trong V ABC, ba đường phân giác đồng quy tại điểm I và điểm I cách đều ba cạnh :
IK = IL = IM
* Điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp V ABC
6 Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
* Trong V ABC, ba đường trung trực đồng quy tại điểm O và điểm O cách đều ba đỉnh :
OA = OB = OC
* Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp V ABC
C B
A
d H
B
A
C
d H
B
A
C A
B
C B
A
G
B
A
I K
L M
C B
A
O
C B
A
Trang 8Ôn tập toán 7 học kỳ II
7 Nêu tính chất đường cao của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận
* Trong V ABC, ba đường cao AI, BK, CL đồng quy tại điểm H
* Điểm H là trực tâm của V ABC
8 Tam giác ABC cân tại A thì đường cao xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác
9 Tam giác ABC đều thì đường cao xuất phát từ mỗi đỉnh cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác Đồng thời giao điểm ba đường cao vừa cách đều ba đỉnh và ba cạnh của tam giác đều
B KĨ NĂNG:
- Vận dụng thành thạo các kiến thức đã học ở chương III vào giải toán
II Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III
1 Chứng minh hai tam giác bằng nhau, tam giác vuông bằng nhau: sử dụng các trường hợp bằng nhau c-c-c,
c-g-c, g –c –g, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông (xem SGK tập 1 trang 139)
2 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
- Cách1: chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Cách 2: chứng minh hai đoạn thẳng( hai góc) là hai cạnh ( hai góc) của một tam giác cân, đều, vuông cân
- Cách 3: sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau v v
3 Chứng minh tam giác cân:
- Cách1: chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau
- Cách 2: chứng minh một tam giác có hai trong bốn loại đường (trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao) trùng nhau
- Cách 3:chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v
4 Chứng minh tam giác đều:
- Cách 1: chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau
- Cách 2: chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 600
5 Chứng minh tam giác vuông:
- Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông hoặc có tổng hai góc bằng 900
- Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo
- Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”
6 Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy:
- Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz
- Cách 2: Chứng minh điểm M nằm trong góc xOy và cách đều 2 cạnh Ox và Oy
7 Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng AB
- Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng(kiến thức HK1)
- Dựa vào định lí 2(định lí đảo )ở SGK tập 2 trang 75, ta chứng minh 2 điểm thuộc đường trung trực của
đoạn thẳng AB (kiến thức HK2)
- Dựa vào tính chất của tam giác cân
8 Chứng minh bất đẳng thức, chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui (cùng đi qua một điểm), hai đường thẳng vuông góc v v (dựa vào các định lý tương ứng ).
H I
C B
A
Trang 9Ôn tập toán 7 học kỳ II
III Bài tập :
Bài 1 : Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH Biết AB=5cm, BC=6cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?
c) Chứng minh: ·ABG ACG ?=·
( Học sinh tự làm ) Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh : ∆ ABM = ∆ ACM
b) Từ M vẽ MH ⊥AB và MK ⊥AC Chứng minh BH = CK
c) Từ B vẽ BP ⊥AC, BP cắt MH tại I Chứng minh ∆ IBM cân
Hướng dẫn:
a) Chứng minh : ∆ ABM = ∆ ACM
( Theo trường hợp c-c-c hoặc c-g-c hoặc g-c-g )
b) Chứng minh BH = CK
Chứng minh V BHM = V CKM( Cạnh huyền – góc nhọn )
⇒BH = CK ( Hai cạnh tương ứng )
c) Chứng minh ∆ IBM cân
( ) ( )
IMB KMC IBM IMB
IBM KMC
=
Bài 3 : Cho ∆ ABC vuông tại A Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH ⊥ AC Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK Chứng minh :
a) AB // IK
b) ∆AKI cân
c) ·BAK = ·AIK
d) ∆ AIC = ∆ AKC
Hướng dẫn:
a) Chứng minh AB và IK cùng vuông góc với AC
b) Xét ∆AKI cần c/m AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao ⇒∆AKI cân tại A
hoặc c/m V AHI = V AHK( Hai cạnh góc vuông ) ⇒ AI = AK ⇒∆AKI cân tại A
c) C/m ·BAK v AIK cùng bằng với µ · ·AKI
d) C/m ∆ AIC = ∆ AKC ( c-g-c) (AI AK = ( ), · IAC KAC ACl c = · , µ ¹nh chung)
Bài 4 : Cho ∆ ABC cân tại A ( µA<900), vẽ BD ⊥AC và CE ⊥AB Gọi H là giao điểm của BD và CE
a) Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE
b) Chứng minh ∆ AED cân
c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED
d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB Chứng minh ·ECB DKC=·
Hướng dẫn:
a) Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE ( Cạnh huyền – góc nhọn ) b) Từ câu a ⇒ AE = AD ( hai cạnh tương ứng )
⇒∆ AED cân tại A
c) Cần c/m HE = HD ( C/m nhiều cách )
⇒H thuộc đường trung trực của ED.(1)
Và AE = AD ( cmt ) ⇒A thuộc đường trung trực của ED.(2)
I
P K H
B
A
B A
I
C
H
K
C B
A
Trang 10Ôn tập toán 7 học kỳ II
Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của ED
d) C/m ·ECB v DKCµ · cùng bằng với ·CBD ( C/m nhiều cách )
Bài 5 : Cho ∆ ABC cân tại A Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho
BD = CE Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC Chứng minh :
a) HB = CK
c) HK // DE
d) ∆ AHE = ∆ AKD
e) Gọi I là giao điểm của DK và EH Chứng minh AI ⊥DE
Hướng dẫn:
a) C/ m V BHD = V CKE( Cạnh huyền – góc nhọn)
( ) ( )
BD CE
HBD KCE
=
=
⇒HB = CK ( Hai cạnh tương ứng )
b) C/m V ABH = V ACK( c-g-c ) d) C/m ∆ AHE = ∆ AKD ( c-g-c )
c) C/ m : DH là khoảng cách từ D đến HK
EK là khoảng cách từ E đến HK
Mà DH = EK ( V BHD = V CKEở câu a )
⇒HK // DE ( D và E nằm cùng phía đối với HK )
Do đó: AI là đường trung trực của DE
⇒AI ⊥DE
Bài 6: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần
lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot Chứng minh:
a) MA = MB
b) OM là đường trung trực của AB
c) Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm Tính OH?
Hướng dẫn:
a) C/m V OAM = V OBM( c-g-c )
⇒ MA = MB ( hai cạnh tương ứng ) b) C/m tương tự như câu c bài 4 hoặc áp dụng tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên cũng là đường trung trực
c) Áp dụng định lí Pytago để tính OH
Bài 7: Cho tam giác ABC có B = 900, vẽ trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA Chứng minh:
a) ∆ABM = ∆ECM
b) EC ⊥ BC
c) AC > CE
E
K
A
( ) ( ) ( ©u a )
AB AC
HBA KCA
HB CK c
=
=
( ) ( ) ( )
AH AK HAE KAD
AE AD
=
=
e C m ID IE
I thu trung tr c DE
V AD AE Athu trung tr c DE
=
⇒
=
⇒
t M A
x
y B
O
