Một số định lí quan trọng về đường kính và dây cung: a Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.. b Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính gi
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II LỚP 9
A) Phần đại số:
1 Nội dung 1:
Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng :ax2+bx +c = 0(a≠0), trong đó x là ẩn,a,b,c là các số cho trước(hay còn gọi là hệ số)
Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
2
b 4ac
0
∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
' 0
∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0
∆ = : phương trình có nghiệm kép
1 2
b
2a
−
' 0
∆ = : phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
a
−
0
2 Nội dung 2:
a) * Phương trình trùng phương có dạng: ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* Cách giải: Đặt t = x2 với t ≥ 0, ta có phương trình bậc hai theo ẩn t: at2 + bt + c = 0
-> giải phương trình tìm t ≥ 0 => x
b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ
- Bước 2: Quy đồng và khử mẫu
- Bước 3: Giải PT vừa tìm được
- Bước 4: Kết luận.(Chú ý đối chiếu với ĐKXĐ)
c) * Phương trình tích có dạng: A.B.C = 0 * Cách giải: A.B.C = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0
3 Nội dung 3:
1 Định lí Vi – ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: 1 2
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
= + =−
*Chú ý: Để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm, ta kiểm tra một trong các cách sau:
1) a.c<0 thì PT có hai nghiệm phân biệt
2) ∆≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0 thì PT co nghiệm
3) Nếu PT có a + b + c = 0 thì PT có 2 nghiệm
4) Nếu PT có a - b + c = 0 thì PT có 2 nghiệm
*Một số bài toán áp dụng định lí Viét cần nhớ: a) x1+ x2 =
a
b
− , b) x1.x2 =
a
c
, c) x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2, d) x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2)
2 Định lí Vi – ét đảo: Nếu có hai số u và v sao cho u v S
uv P
+ =
=
(S2 ≥4P) thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0
3 Cách tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = c
a .
Trang 2- Nếu a – b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x1 = -1; x2 = c
a
4 Nội dung 4:
Để phương trỡnh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)
a) Cú nghiệm khi ∆ ≥ 0
b) Cú 2 nghiệm phõn biệt khi ∆ > 0
c) Vụ nghiệm khi Δ < 0
d) Cú 2 nghiệm cựng dấu khi 0
P 0
∆ ≥
>
5 Nội dung 5: Hệ phương trỡnh
- Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản: P2 thế, p2 cộng, p2 đặt ẩn phụ
- Cho hệ PT:
= +
=
+
' ' ' x b y c a
c by
ax
(I)
a) Để hệ pt (I) cú nghiệm duy nhất <=> ; ;
b
b a
a ≠ b) Để hệ pt (I) cú vụ số nghiệm <=> ; ; ;
c
c b
b a
a = = c) Để hệ pt (I) vụ nghiệm <=> ; ; ;
c
c b
b a
a = ≠
6 Nội dung 6: Parabol y = ax2 (a≠0)
- Vị trớ của đường thẳng (d): y = mx + b và parabol (P): y = ax 2
Phương trỡnh hoành độ giao điểm chung của chỳng là: ax2 = mx + b ⇔ ax2 - mx – b = 0 (*)
Điều kiện để (d) và (P)
a) Tiếp xỳc nhau khi pt(*) cú nghiệm kộp ⇔ Δ = 0
b) Cắt nhau tại hai điểm phõn biệt khi pt(*) cú hai nghiệm phõn biệt ⇔ Δ > 0
c) Cú điểm chung khi pt(*) cú nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
d) Khụng cú điểm chung khi pt(*) vụ nghiệm ⇔ Δ < 0
e) Nếu cũn nữa cứ lập luận pt(*) cú……
- Tớnh chất của hàm số y = ax 2 (a≠0)
+ a > 0 Hàm số đồng biến khi x>0, nghịch biến khi x<0
+ a < 0 Hàm số đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x>0
B) Phần hỡnh học:
1 Cỏc gúc đối với đường trũn:
Gúc ở tõm, gúc nội tiếp đường trũn, gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung, gúc cú đỉnh ở bờn trong đường trũn, gúc cú đỉnh ở bờn ngoài đường trũn ( Cỏc em ụn ở SGK)
2 Cỏc cụng thức tớnh:
- Độ dài đường trũn(chu vi ): C = 2πR trong đú π≈ 3,14; R là bỏn kớnh; C là độ dài đường trũn
e) Cú 2 nghiệm dương khi
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
>
f) Cú 2 nghiệm õm khi
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
<
g) Cú 2 nghiệm trỏi dấu ac < 0.
Trang 3B
O
A
D
x O
A B
- Độ dài cung tròn: l =
180
Rn
π
trong đó π≈ 3,14; R là bán kính; l là độ dài cung tròn; n là số đo cung
- Diên tích hình tròn: S = πR 2
- Diện tích hình quạt tròn: 2
360
R n
S =π =
2
lR
trong đó l là độ dài cung tròn, n là số đo cung.
3 Một số định lí quan trọng về đường kính và dây cung:
a) Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
b) Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa 1 cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy
c) Trong 1 đường tròn đường kính đi qua trung điểm 1 dây cung (không phải là đường kính)thì chia cung ấy thành 2 cung bằng nhau
d) Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung
ấy và ngược lại
4 Dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp
a) Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800
b) Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới 1 góc µ.
c) Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
Ví dụ:
a) Tứ giác ABCD có: ∠DAB và ∠BCD đối nhau
∠DAB+ ∠BCD = 1800
=> Tứ giác ABCD nội tiếp
b) Tứ giác ABCD có ∠DAC = ∠DBC = µ
Tứ giác có hai đỉnh A và B kề nhau cùng nhìn cạnh CD dưới 1 góc µ
=> Tứ giác ABCD nội tiếp
c) Tứ giác ABCD có: ∠DAC = ∠DBC = 900
=> A, B cùng thuộc đường tròn đường kính CD
=> Tứ giác ABCD nội tiếp
d) Tứ giác ABCD có: ∠xCB là góc ngoài của tứ giác tại đỉnh C
∠xCB = ∠A
= > Tứ giác ABCD nội tiếp
( Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.)
5 Hình học không gian:
a) Hình trụ: Quay hình chữ nhật quanh 1 vòng 1 cạnh cố định hình sinh ra là hình trụ.
- Diện tích xung quanh: S xq = 2πRl, trong đó: R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
- Diện tích toàn phần: S = S xq + 2S đay = 2πRl + 2πR 2
- Thể tích: V = Sh = πR 2 h, trong đó S là diện tích 1 đáy, h là chiều cao, R là bán kính đáy.
b) Hình nón: Quay tam giác vuông quanh 1 vòng cạnh cố định góc vuông hình sinh ra là hình nón.
- Diện tích xung quanh: S xq = πRl, trong đó: R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
- Diện tích toàn phần: S tp = S xq + S đay = πRl + πR 2
- Thể tích: V =
3
1
Sh =
3
1
πR2h , trong đó S là diện tích 1 đáy, h là chiều cao, R là bán kính đáy
c) Hình nón cụt:
Trang 4- Diện tích xung quanh: S xq = π(R 1 + R 2 )l, trong đó: R1, R2 là bán kính 2 đáy, l là độ dài đường sinh
- Thể tích: V =
3
1
π(R 1 2 + R 2 2 + R 1 R 2 )h , trong đó h là chiều cao, R1, R2 là bán kính 2 đáy
d) Hình cầu: Quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R 1 vòng quanh đường kính cố định hình sinh ra là hình cầu
- Diện tích mặt cầu(diện tích xung quanh): S = 4πR 2 = πd 2, trong đó r là bán kính, d là đường kính
- Thể tích hình cầu: V =
3
4
πR 3
Đề 1:(2007-2008) QUẢNG TRỊ Câu 1 (1,5 điểm): Cho phương trình : x2 + 3 x +1− 2= 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình Hãy tính tổng
x +x .
Câu 2 (2 điểm) Cho hàm số y = -2x2
a) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -16
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng tung độ
Câu 3 (2 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 105 thùng sách về thư viện của trường Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm không tham gia được, vì vậy mỗi bạn phải chuyển thêm 6 thùng nữa mới hết số sách cần chuyển Hỏi số học sinh của nhóm đó?
Câu 4 (1,5 điểm) Tam giác OAB vuông tại O; OB = 12 ; ∠OAB = 0
30 Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh góc vuông OA ta được một hình gì? Tính diện tích xung quanh của hình đó
Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A (AC > AB) Trên cạnh AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn
đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn tại D Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S Chứng minh rằng : a) ABCD là một tứ giác nội tiếp ;
b) Góc ABD = góc ACD
c) CA là tia phân giác của góc SCB
Đề 2:(2008-2009) QUẢNG TRỊ
A Lí thuyết: Chọn 1 trong hai câu sau:
Câu 1: a) phát biểu định lý Vi-ét về tổng và tích hai nghiệm của pt bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
b) Áp dụng: Cho pt 3.x−(1− 3).x−1=0 (1) Tính tổng và tích hai nghiệm của pt(1)
Câu 2: a) Hãy nêu công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình trụ(ghi rõ ký hiệu trong công
thức)
b) Áp dụng: Tính Sxq và V của một hình trụ có R = 2a và độ dài đường sinh bằng a
B Phần bắt buộc:
Câu 1: Cho PT bậc hai: x2 + mx – (m + 1) = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Giải PT (1) khi cho m = 3
Câu 2: Một đoàn xe dự định chở 28 tấn hàng Đến ngày chở hàng có hai xe bị hỏng nên mỗi xe còn lại phải
chở thêm 0,7 tấn hàng nữa mới hết số hàng cần chuyển Tìm số xe có ban đầu của đoàn
Câu 3: Cho dường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm A, B Từ một điểm M thuộc
đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), kẽ các tiếp tuyến MN và MP với đường tròn đã cho (N, P là các tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ∠NMO = ∠NPO
Trang 5d) Cho OM = 2R Tính số đo góc NOP.
ĐỀ 3 (2009-2010) QUẢNG TRỊ Câu1: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2 3.x+1=0 và gọi hai nghiệm của pt là x1 và x2 Không giải pt, tính giá trị của các biểu thức sau: a) x1 + x2 b) x1.x2 c) x12 + x22
Câu 2: a) Viết công thức tính thể tích của hình trụ(có ghi rõ các kí hiệu trong công thức)
b) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, BC = a 3 Tính thể tích hình sinh ra khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh AB
Câu 3: Cho hàm số y = -2x2
c) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -16
d) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số cách đều hai trục toạ độ
Câu 4: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó, biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4 m và giảm chiều cao tương ứng đi 1 m thì diện tích của nó không thay đổi
Câu 5: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC ( E≠B, E≠C) Qua B kẽ đường thẳng vuông góc với
DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
a) CMR: Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính số đo góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
ĐỀ 4 (2010-2011) QUẢNG TRỊ Câu 1 (2,0 điểm) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình : 1, 2 x2 + 3x- 1= 0
Hãy tính giá trị các biểu thức :
x + x
Câu 2 (2,0 điểm) 1 Giải phương trình : x4- 3x2 = 0
2 Giải hệ phương trình :
−
=
−
= +
1 3
5 3
1
y x
y x
Câu 3 (1,5 điểm)Cho hàm số y = ax2
a) Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 1)
b) Vẽ đồ thị (P) của hàm số với giá trị a tìm được
Câu 4 (1,5 điểm) Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 13cm Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7cm.Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó
Câu 5 (3,0 điểm)
1.Tam giác OAB vuông tại O; OB = a ; ∠OAB =300.Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh góc vuông OA ta được một hình gì ? Tính diện tích xung quanh của hình đó
2.Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho
OA=2R Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) (B,Clà các tiếp điểm ), AO cắt BC tại I
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp được một đường tròn
b) Tính OI và BC theo R
c) Gọi H là điểm nằm giữa I và B ( H khác B, I).Đường vuông góc với OH tại H cắt AB, AC lần lượt tại M và N Chứng minh H là trung điểm của MN
ĐỀ 5 (2010-2011) QUẢNG TRỊ Câu 1 : (2 điểm) Cho parabol (P):
2
2
x
y = và đường thẳng (d): y = + x 4
Trang 6a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình: x2+(m 3)x 3m 0− − = (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m
c) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình Tìm m để: 1 2 2 2
x +x −x x =9
Câu 3: (2 điểm) Quãng đường AB dài 270km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B Ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc mỗi xe
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, ∧
A = 450 Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác
ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp một đường tròn
b) Chứng minh HD = DC
c) Tính tỉ số
BC
DE
Câu 5: (1,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 12 cm và đường chéo BD = 13 cm Quay hình
chữ nhật 1 vòng quanh cạnh AB
a) Hình được sinh ra là hình gì ? Vẽ hình đó
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình được sinh ra ?
