Chứng minh rằng trong tổ ấy có ít nhất 3 bạn đã mắc một số lỗi bằng nhau... Chứng minh rằng trong tổ ấy có ít nhất 3 bạn đã mắc một số lỗi bằng nhau... Bài 5 2 điểm: Trên một vòng tròn
Trang 1Trờng THCS Thanh Xuân
Tổ KH Tự nhiên
-*** -đề thi câu lạc bộ em yêu thích
môn toán lớp 6 Năm học: 2012-2013
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ).
Bài 1 (6 điểm):
a) Tìm số nguyên tố p sao cho: p+6, p+12, p+18, p+24 cũng là các số
nguyên tố.
b) Cho B=2+22+23+…+2100 Tìm số tự nhiên x sao cho: B+2= 2x.
Bài 2 (4 điểm): So sánh:
a) 99100 và 100.9999;
b) A=1078 1
10 1
+ + và
8 9
10 1 B=
10 1
+ + .
Bài 3 (4 điểm):
a) Tìm số tự nhiên n thoả mãn 3n+7 chia hết cho n+1.
b) Chứng tỏ rằng: A= 1+1 1 1 2.3.4 .98
+ + +
Bài 4 (3 điểm): Phải vẽ bao nhiêu tia phân biệt chung gốc để số góc thu đợc
là 45 góc?
Bài 5 (3 điểm):
a) Tìm chữ số tận cùng của số 6
8
b) Tìm các số tự nhiên a và b (a<b), biết rằng:
BCNN(a,b) +ƯCLN(a,b)= 19
- Hết
-Họ và tên: ……… Lớp :
Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb môn Toán 6
1
6đ a Tìm số nguyên tố p sao cho: p+6, p+12, p+18,
Nếu p=2 thì p+6=8 là hợp số (loại)
Nếu p=3 thì p+12 là hợp số (loại)
Nếu p=5 thì p+6=11, p+12=17, p+18=23, p+24= 29 là các
số nguyên tố.
Nếu p > 5 thì p là 1 trong các dạng: 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4
0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ
Trang 2với k∈N Loại tất cả các trờng hợp này Vậy p=5.
b Cho B=2+22+23+ +2 … 100 Tìm số tự nhiên x sao cho:
B+2= 2x. 3 điểm
Ta có B=2B-B=(22+23+…+2100 +2101 )-(2+22+23+…+2100)
=2101-2
⇒ B+2= 2201
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
Ta có : 99100=9999.99<9999.100
Mà 9999.99<9999.100
Vậy 99100 < 100.9999
0,25đ 0,5đ 0,25đ b
So sánh: b) A=1078 1
10 1
+ + và
8 9
10 1 B=
10 1
+ + .
3điểm
10(10 1) 10 10 9
+ = + = +
10B=10(1098 1) 1099 10 1 99
+ = + = +
10 1 10> 1
+ + ⇒10A>10B Do đó A>B
1,0đ 1,0đ 1,0đ
3
4đ a Tìm số tự nhiên n thoả mãn 3n+7 chia hết cho n+1. 2điểm
3n+7 =(3n+3)+4Mn+1⇔4Mn+1
Do n∈Ơ nên n+1∈Ơ , bởi vậy n+1 phải là các ớc tự nhiên
của 4
Mà các ớc tự nhiên của 4 là: 1, 2, 4
Nên n+1=1⇒ n=0,
Vậy n∈{0;1;3}
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b
Chứng tỏ rằng: A= 1+1 1 1 2.3.4 .98
+ + +
số nguyên.
2điểm
+ + + = + ữ + + ữ+ + + ữ
1.98 2.97+ + +49.50
Do đó A= 1+1 1 1 2.3.4 .98
+ + +
là một số nguyên.
1,0đ 1.0đ
4
3đ Phải vẽ bao nhiêu tia phân biệt chung gốc để số góc
Gọi số tia chung gốc là n
Cứ một tia hợp với n-1 tia còn lại đợc n-1 góc
Nên n tia sẽ có: n(n-1) góc,
trong đó mỗi góc đã đợc tính hai lần Vậy số góc thực tế là :
n(n-1): 2
0,5đ 0,5đ 1,0đ
Trang 3=45 n(n-1)=90 n=10
Vậy phải vẽ 10 tia phân biệt chung gốc
1,0đ
5
3đ a Tìm chữ số tận cùng của số 6
8
2009 ; 1điểm
Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ
b) Tìm các số tự nhiên a và b (a<b), biết rằng:
BCNN(a,b) +ƯCLN(a,b)= 19 2điểm
Đặt ƯCLN(a,b) =d thì a=dm; b=dn và (m,n)=1
BCNN(a,b)=ab:d=dm.dn:d=dmn
Theo đề bài, dmn+d=19 nên d(mn+1)=19
Do mn+1>1 nên mn+1=19 và d=1 Ta có:
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trờng THCS Thanh Xuân
Tổ KH Tự nhiên
-*** -đề thi câu lạc bộ em yêu thích
môn toán lớp 7 Năm học: 2012-2013
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ).
Bài 1 (6 điểm):
a) Chứng minh rằng: nếu một trong hai số 2n -1 và 2n +1 (n ∈ N, n>2) là
số nguyên tố thì số thứ hai là hợp số.
b) Cho tỉ lệ thức:
c
b b
a = Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức
c
a c b
b
a = +
+ 2 2
2 2
Bài 2 ( 5điểm):
a) Cho đa thức f x( ) với các hệ số nguyên thoả mãn f(3). f(4)=5
Chứng minh rằng đa thức f x( ) 6− không có nghiệm nguyên.
b) Tìm x, y, z biết: x y 2012 y z 2013 z x 1 2
+ + = + − = + + =
+ +
(với x, y, z ≠0).
Trang 4Bài 3 (3 điểm):
a) Chứng minh rằng:
2 3 4 2013
2012 2011 2010 1
+ + + + + + + + >2014
1
b) Cho dãy số a1, a2, a3, … thoả mãn điều kiện a2=3; a50=300;
an+an+1=an+2 với mọi n≥1 Hãy tính tổng: S= a1+a2+a3+ … + a48
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 2AB Gọi M là trung điểm của
BC và D là trung điểm BM Chứng minh : AC = 2AD
Bài 5 (2 điểm):
Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết chính tả, cả tổ đều mắc lỗi, trong đó bạn Bình mắc nhiều lỗi nhất (mắc 5 lỗi ) Chứng minh rằng trong tổ
ấy có ít nhất 3 bạn đã mắc một số lỗi bằng nhau.
- Hết
-Họ và tên: ……… Lớp :
Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb môn Toán 7
điểm 1
6đ a Chứng minh rằng: nếu một trong hai số 2n -1 và 2n +1
(n ∈ N, n>2) là số nguyên tố thì số thứ hai là hợp số.
3điểm
Xét 3 số: 2n -1; 2n; 2n+1 Trong 3 số này luôn tồn tại 1 số chia
hết cho 3 mà 2n không chia hết cho 3
Nên nếu 1 trong 2 số 2n -1 và 2n +1 là nguyên tố thì số thứ 2
sẽ phải là hợp số.
1,5đ
1,5đ b
Cho tỉ lệ thức:
c
b b
a
= Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức
c
a c b
b
a =
+
+ 2 2
2 2
3điểm
2 2 2 2
2 2 2 2 (1)
a b a b a b
b c b c b c
+
+ 2
a b a a b a
b c b b c c
= ⇒ ữ = =
Từ (1) và (2) suy ra
c
a c b
b
a = +
+ 2 2
2 2
1,0đ 1,0đ 1,0đ
2
5đ a Cho đa thức f x( ) với các hệ số nguyên thoả mãn f(3).
(4)
f =5 Chứng minh rằng đa thức f x( )- 6 không có
nghiệm nguyên.
2điểm
Trang 5Giả sử f x( )- 6 có nghiệm nguyên a Khi đó
( )
f x - 6 =(x-a).Q(x) là đa thức có hệ số nguyên nào đó
Suy ra f(3) (3= −a Q) (3) 6; (4) (4+ f = −a Q) (4) 6 (1)+
Vì f(3). f(4)=5 nên:
((3−a Q) (3) 6).((4+ −a Q) (4) 6)+ =5
( )
(3 a)(4 a Q) (3) (4) 6(3Q a Q) (3) 6(4 a Q) (4) 36 5 2
Do 3-a và 4-a là 2 số nguyên liên tiếp nên (3-a)(4-a)là số chẵn
Do đó VT(2) là một số chẵn, nhng VP là số lẻ, điều này là mâu
thuẫn Vậy giả sử trên là sai Suy ra đa thức f x( )- 6 không có
nghiệm nguyên
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
b Tìm x, y, z biết:
x y y z z x
+ + = + − = + + =
+ + (với x, y, z ≠0).
3điểm
+ + = + − = + + ⇒
⇒x y 2012 y z 2013 z x 1 2(x y z) 2
+ + = + − = + + = + + =
các tỉ số bằng nhau
+ + = + − = + + =
+ +
Nên x+y+z=1⇒x+y=1-z; y+z=1-x; z+x=1-y
2013
2013 2 3 2013
3
z z z z
x= − y=
x=− y= z=
1,0đ
1,0đ
1,0đ
3
3đ a
Chứng minh rằng:
2 3 4 2013
2012 2011 2010 1
+ + + + + + + + >2014
1
2điểm
1 + 2 + 3 + +2013=
= + +ữ + +ữ + + +ữ + +ữ
2013 2013 2013 2013
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 61 1 1 1
2 3 4 2013
= + + + + ữ
Khi đó ta có:
2 3 4 2013
2 3 4 2013
+ + + +
=
+ + + +
> 1
2014Đpcm
0,5đ
b Cho dãy số a1, a2, a3, thoả mãn điều kiện a … 2=3;
a50=300; an+an+1=an+2 với mọi n≥1 Hãy tính tổng:
S= a1+a2+a3+ + a … 48
1điểm
Từ an+an+1=an+2⇒ an=an+2- an+1 với mọi n≥1
Do đó: S= a3-a2+a4-a3+ … +a50-a49= a50-a2=300-3=297
0,5đ 0,5đ
4
3đ Cho tam giác ABC có BC = 2AB Gọi M là trung điểm
của BC và D là trung điểm BM Chứng minh :
AC = 2AD
3điểm
Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE=DA Ta có:
∆ADB=∆EDM (c.g.c)
⇒AB=ME vàABD=EMDã ã
Mặt khác : EMA=EMD+DMAã ã ã
CMA=ABD+BAMã ã ã (góc ngoài của tam giác ABM)
DMA=BAMã ã (tam giác ABM cân)
⇒∆AME=∆AMC (c.g.c)
0,25đ
1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
5
2đ Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết chính tả,
cả tổ đều mắc lỗi, trong đó bạn Bình mắc nhiều lỗi
nhất (mắc 5 lỗi ) Chứng minh rằng trong tổ ấy có ít
nhất 3 bạn đã mắc một số lỗi bằng nhau.
2điểm
Trang 7Ta coi “thỏ” là học sinh (trừ bạn Bình) nên có 9 thỏ; “lồng” là
số lỗi chính tả học sinh mắc phải nên có 4 lồng:
Lồng i gồm những học sinh mắc i lỗi (i=1,2,3,4) Có 9 thỏ nhốt
vào 4 lồng, mà 9=4.2+1,
nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất một lồng chứa
không ít hơn 2+1=3 thỏ,
tức là có ít nhất 3 bạn mắc một số lỗi bằng nhau
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trờng THCS Thanh Xuân
Tổ KH Tự nhiên
-*** -đề thi câu lạc bộ em yêu thích
môn toán lớp 8 Năm học: 2011-2012
Thời gian: 120 phút.
Bài 1 (6 điểm):
a) Cho m là một số nguyên dơng Hãy tìm các chữ số x và y (x ≠ 0) sao cho số A=xy5 100m(m+5)+ là số chính phơng.
b) Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=14.Tính giá trị của biểu thức B=a4+b4+c4
Bài 2 (3 điểm): Cho biểu thức A= 4 2
3
2 1 1
x x x x
− + − +
Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (4 điểm): Một bể có hai vòi nớc Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba lần vòi tháo nớc ra Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không có nớc thì sau 2 giờ
bể đầy Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình vòi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?
Bài 4 (5 điểm): Cho hình thoi ABCD có cạnh a và A 60à = 0 Một đờng thẳng
bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.
a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD?
Bài 5 (2 điểm): Trên một vòng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một
đồng xu màu đen Biết rằng đối diện với một đồng xu màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu
đen đặt cạnh nhau.
Trang 8- Hết
-Họ và tên: ……… Lớp :
Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb môn Toán 8
điểm
1 a Cho m là một số nguyên dơng Hãy tìm các chữ số x và y
(x≠0) sao cho số A=xy5 100m(m+5)+ là số chính phơng.
3điểm
Số A=xy5 100m(m+5)+ (m nguyên dơng) là số chính phơng
vàchia hết cho 5 nên có dạng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 với t
∈ Ơ
Từ đó suy ra : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m (1)
Do đó 10y+5-25 phải chia hết cho 100,
suy ra y=2, thay vào (1) ta đợc t2+t=m2+5m+x (2)
Đặt t=m+v, thay vào (2) ta đợc : (m+v)2+m+v= m2+5m+x
⇔2m(2-v)=v2+v-x Đẳng thức xảy ra với m bất kỳ khi và chỉ
khi v=2 và x=v2+v=6
Vậy các chữ phải tìm là : x=6; y=2
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ
b Cho a+b+c=0 và a 2 +b 2 +c 2 =14 Tính giá trị của biểu thức
B=a 4 +b 4 +c 4 3điểm
Ta có a2+b2+c2=14⇒( a2+b2+c2)2=142
⇒a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196
⇒ a4+b4+c4 =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)
Lại có: a+b+c=0⇒( a+b+c)2=0
⇒ a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0
⇒14+2(ab+bc+ac)=0 (vì a2+b2+c2=14)
⇒ ab+bc+ac=-7
⇒(ab+bc+ac)2=49
⇒ a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49
⇒ a2b2+a2c2+b2c2=49 (vì a+b+c=0)
Khi đó B=196-2 49=98
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
Cho biểu thức A= 4 23 2 1
1
x x x x
− + − +
Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
3 điiểm
4
4 2
1
2 1
x x x x
x x
x x x
+ − − +
− −
1,0đ
Trang 9= 2 1 1
x x
x
x+ − = −x
+ + (với x≠-1)
Do x nguyên nên để A nguyên thì x+1 phải là ớc của 1
Suy ra: x=0; x=-2 (tm)
1,0đ
3 Một bể có hai vòi nớc Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp
ba lần vòi tháo nớc ra Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không
có nớc thì sau 2 giờ bể đầy Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao
bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình
vòi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?
4 điiểm
Trong1h vòi thứ nhất chảy đợc vào bể: 2
3(bể) Vòi thứ hai chảy ra trong 1h đợc: 2
9(bể) Khi mức nớc đã ở trên độ cao đặt vòi chảy ra thì trong 1h hai
vòi mở cùng một lúc đợc : 2 2 4
3 9− =9 (bể) Gọi x(h) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình cho đến khi
nớc bắt đầu chảy ra đợc Trong thời gian này vòi thứ nhất chảy
đợc 2
3x(bể)
Sau x giờ đó hai vòi cùng mở trong thời gian là: 2-x (giờ)
Ta có phơng trình: 2 4(2 ) 1
3x+9 − =x
Giải đợc x=1/2 giờ
Vậy độ cao của vòi tháo nớc ra so với độ cao của bể nớc là :
1 3 1
:
2 2 =3
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
4 Cho hình thoi ABCD có cạnh a và A 60à = 0 Một đờng thẳng
bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.
a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD?
3điểm
a
0,5đ
Trang 10Xét ΔAMN có BC//AN nên: MB MC
AB = CN (theo ĐL Ta let)
Tơng tự ta có: MC AD=
CN DN
⇒MBAB = ADDN hay MB DN=AB.AD
Mà AB=AD =a (do ABCD là hình thoi)
Nên: MB DN=AB.AD=a2 có giá trị không đổi
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
b ΔABD có AB=AD (gt) ; A 60à = 0 ⇒ ΔABD đều
⇒ABD=ADB=60ã ã 0 ⇒DBM=BDN 120ã ã = 0(2 góc kề bù) (1)
Theo cmt ta có MB DN=a2, BD=a nên BM BD
BD =DN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔMBD và ΔBDN đồng dạng (c-g-c)
⇒ M =Bả 1 à1
1 1
M +D =60 (vì DBM 120ã = 0 cmt)
⇒à ả 0
1 1
B +D =60
⇒à ả ã 0
1 1
B +D +BKD 180= (ĐL tổng 3 góc của tam giác)
⇒BKD 120ã = 0
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
5 Trên một vòng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và
một đồng xu màu đen Biết rằng đối diện với một đồng xu
màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen.
Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.
2điểm
Giả sử không tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) thì
không có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, do đó các đồng xu
trắng phải xếp xen kẽ nên cũng có 20 đồng xu màu đen
Xét hai đồng xu trắng đen đối diện nhau trên vòng tròn, đồng
xu trắng đợc đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21 Do
các đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên các đồng xu đen mang
số 2, 4, 6, …, 20 lại xảy ra hai đồng xu đen số 20 và số 21 cạnh
nhau, điều này trái với (1) Vậy phải tồn tại hai đồng xu màu
đen đặt cạnh nhau
0,5đ
1,5đ