Hai số phức có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau được gọi là hai số phức: A.. Số phức liên hợp.. Công thức nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực là: A.. Môđun của số
Trang 11 Biểu thức dạng a + bi được gọi là:
A Số phức(+); B Số i; D Phần thực; D Phần ảo 2.Số phức z = a + bi; ta nói a là:
A Số phức; B Số i; D Phần thực(+); D Phần ảo 3.Số phức z = a + bi; ta nói b là:
A Số phức; B Số i; D Phần thực ; D Phần ảo(+)
4 Hai số phức có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau được gọi là hai số phức:
A Bằng nhau(+); B Đơn vị ảo; C Số thuần ảo; D Số phức liên hợp
5 Điểm biểu diễn của số phức z = a + bi có tọa độ là:
A.(a;b); B (- a; b); C (a; -b); D (-a; -b)
6 Môđun của số phức z kí hiệu z bằng:
A a2 +b2 ; B - a2 +b2 ; C a2 −b2 ; D a + bi
7 Số phức z = - 2 + 3i có phần thực là:
A -2(+); B 3; C (-2;3); D (3; 2)
8 Số phức z = - 2 + 3i có phần ảo là:
A -2 ; B 3(+); C (-2;3); D (3; 2)
9 Điểm biểu diễn số phức z = - 2 + 3i có tọa độ là:
A -2 ; B 3 ; C (-2;3)(+); D (3; 2)
10 Môđun của số phức z = 4 + 3i là:
A 4 ; B 3 ; C 5(+); D (4; 3)
11 Số phức liên hợp của số phức z = 4 + 3i là:
A 4 + 3i; B 4 – 3i(+) C –(4 + 3i) D 3 – 4i
12 Điểm biểu diễn của số phức z = 4 + 3i là:
A 4 ; B 3 ; C 5; D (4; 3)(+)
170 Số phức z = 4 + 3i có phần thực là:
A 4 (+); B 3 ; C 5; D (4; 3)
13 Số phức z = 4 + 3i có phần ảo là:
A 4 ; B 3(+) ; C 5; D (4; 3)
14 Kết quả của phép tính (3 – 5i) + (2 + 4i) bằng:
A 5 – i(+); B 3 – 5i; C 2 + 4i; D 5 – 9i
15 Kết quả của phép tính (4 +3i) - (5 - 7i) bằng:
A 5 – i; B 5 – 7i; C -1 - 4i (+); D 5 – 9i
16 Kết quả của phép tính (3 - 2i) (2 - 3i) bằng:
A 5 – i; B 5 – 7i; C -13i (+); D 12 – 5i
17 Kết quả của phép tính 5 (4 + 3i) bằng:
A 20 + 15 i(+); B 5 – 7i; C -13i ; D 12 – 5i
18 Công thức nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực là:
A
2
b i
a
− + ∆ ; B
2
b i a
− − ∆ ; C Không có; D Cả A và
B
19 Số phức dạng 0 + bi được gọi là số:
A Thuần ảo(+); B Đơn vị ảo; C Môđun của số phức
20 Tìm số phức liên hợp của số phức sau: z= + 3 2i(z = − 3 2i)
21 Tìm số phức liên hợp của số phức sau:z= − 2 3i (z = + 2 3i)
22 Tìm số phức liên hợp của số phức sau:z= − − 3 2i (z = − + 3 2i)
Trang 223 Tìm số phức liên hợp của số phức sau:z= 3i( z = − 3i)
24 Tìm số phức liên hợp của số phức sau:z= 4 (z = 4)
25 Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4;-3) đến mặt phẳng (α) có phương trình 2x – y + 2z – 9 = 0
Giải
Với mặt phẳng (α):2x – y + 2z -9 = 0 ta có
d(A,(α)) = 2.2 4 2( 3) 9
4 1 4
− + − −
26 Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4;-3) đến mặt phẳng (β) có phương trình 12x -5z + 5 = 0
Giải
.Với mặt phẳng (β):12x -5z + 5 = 0
d(A,(β)) = 12.2 5( 3) 5 44
13
144 25
− − +
= +
27 Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4;-3) đến mặt phẳng ( )γ có phương trình x =
0
.Giải
Với mặt phẳng ( )γ : x = 0
d(A,( )γ ) = 2 2
1 0 0 =
+ +
28.Thực hiện phép tính: (3 +5i) + (1 + 7i) = ?
Giải
Ta có:
(3 +5i) +(1 + 7i) = (3+1) + (5 + 7)i = 4 + 12i
29 Thực hiện phép tính: (3 +5i) – (5 + 7i) = ?
Giải
(3 +5i) – (5 + 7i) = (3 – 5)+(5 – 7)i = -2 - 2i
30 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1; 2;3 − ) và B(3;0;0)
Giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương uuurAB =(2; 2; 3 − ).
Phương trình tham số của AB đi qua A và vectơ chỉ phương uuurAB =(2; 2; 3 − )là:
1 2
2 2
3 3
= +
= − +
= −
31 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1; 2; 3 − − ) và B(3;0;0)
Giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương uuurAB =(2; 2;3)
Phương trình tham số của AB đi qua A và vectơ chỉ phương uuurAB =(2; 2;3) là:
1 2
2 2
3 3
= +
= − +
= − +
32 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(− − 1; 2;3) và B(3;0;0)
Trang 3Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương uuurAB =(4; 2; 3 − ).
Phương trình tham số của AB đi qua A và vectơ chỉ phương uuurAB =(4; 2; 3 − )là:
1 4
2 2
3 3
= − +
= − +
= −
33 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1; 2;3) và B(3;1;0)
Giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương uuurAB =(2; 1; 3 − − ) .
Phương trình tham số của AB đi qua A và vectơ chỉ phương uuurAB =(2; 1; 3 − − )là:
1 2 2
3 3
= +
= −
= −
34 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2; 2; 4 − ) và B(2; 3;3 − )
Giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương uuurAB =(0; 1; 1 − − ) .
Phương trình tham số của AB đi qua A và vectơ chỉ phương uuurAB =(0; 1; 1 − − ) là:
2 2 4
x
=
= − −
= −
35.Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau
d:
3
4
5 2
= −
= +
= −
và d’:
2 3 '
5 3 '
3 6 '
= −
= +
= −
Giải
Vì d có vectơ chỉ phương ar
= (-1;1;-2) và d’ có vectơ chỉ phương '
ar
= (-3;3;-6)
Ta có: ar
= 1
3
'
ar
; M(3;4;5)∉d’
Vậy hai đường thẳng đã cho không trùng nhau
36 Thực hiện các phép tính sau:
( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )
( ) ( )
) 3 2 2 3
3 2 2 3 3.2 2 3 2.2 3.3 13
) 1 3 7
1 3 7 1.3 1.7 1.3 1.7 10 4
37 Thực hiện phép chia 3 + 2i cho 4i
Giải
Ta có:
3 2 (3 2 ) ( )4 8 12 1 3
i
−
Trang 438 Thực hiện phép chia sau: 5 4
3 6
i i
+ +
Giải
Ta có: 5 4
3 6
i i
+
(5 4 )(3 6 ) (3 6 )(3 6 )
39 18 45
i
−
= 13 6
15 15− i
39 Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc
'
'
9 2 5
= +
= −
Giải:
1; 2; 4 à 2;3; 1
ar = − v aur = − Ta có:
'
'
a a
d d
= − + − =
⇒ ⊥
ur
r
40 Giải phương trình
(3 − 2i z) +(4 + 5i) = + 7 3i
Ta có:
3 2
1
3 2
i z
i
−
−
41 Giải phương trình
(1 3 + i z) − (2 + 5i) (= 2 +i z)
Ta có:
2 5
i z
i
i
+
−
42 Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc
'
'
9 2 5
= +
= −
Giải:
d và d ’ lần lượt có vectơ chỉ phương là ar = −( 1; 2; 4) v aà ur' = (2;3; 1 − ) Ta có:
'
'
a a
d d
= − + − =
⇒ ⊥
ur
r
Trang 543 Giải phương trình 2
1 0
x + + =x trên tập hợp số phức.
Giải:
Ta có ∆ = − = − 1 4 3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là:
1,2 1 3
2
i
x = − ±
44 Giải phương trình sau trên tập số phức
− 3z2 + 2z − = 1 0
Giải
Ta có ∆ = − = − ' 1 3 2 Vậy phương trình đã cho các hai nghiệm phức là
45 Giải phương trình sau trên tập số phức
2
7z + 3z + = 2 0
Giải
Ta có ∆ = − 9 56 = − 47 Vậy phương trình có hai nghiệm phức
46 Giải phương trình sau trên tập số phức
5z2 − 7z + 11 0 =
Giải
Ta có ∆ = 49 − 220 = − 171 Vậy phương trình có hai nghiệm phức là
47 Tìm các số thực x, y sao cho:
3x + yi = 2y + + 1 (2 − x i)
48 Tìm các số thực x, y sao cho:
2x + − =y 1 x + 2y − 5 i
1
3
x
y
= −
49 Tìm m để hai số phức z1 = 2 + (m-3)i và z2 = 2 + (11-2m)i là hai số phức liên hợp của nhau Viết hai số phức đó
Giải
z1; z2 là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi
m-3 = - (11-2m) ⇔m – 3 = -11 + 2m
Trang 6⇔ -3 + 11 = 2m – m⇔ 8 = m
Khi đó hai số phức là: z1 = 2 + (8-3)i = 2 + 5i
z2 = 2 + (11-2.8)i = 2 -5i
50 Tìm các số thực x; y sao cho:
2x + (y – 1)i = 4 – y + (2x – 9)i
Giải
Từ đn của hai số phức bằng nhau ta có:
2x = 4 – y ⇔2x + y = 4
và y – 1 = 2x – 9 ⇔2x – y = 8
Vậy x = 3, y = - 2
51 Giải phương trình sau trên tập số phức
z4 + 3z2 - 10 = 0
Giải
Đặt t = z2 ta được t2 + 3t – 10 = 0,
∆ = 9 + 40 = 49>0
Phương trình có hai nghiệm t1 = 2 và t2 = -5
Do đó z2 = 2 suy ra z = 2hoặc z = - 2
z2 = -5 suy ra z = i 5hoặc z = - i 5
52 Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 7 Giải
Gọi hai số phức phải tìm là z1 , z2 , ta có: 1 2
1 2
5 7
z z
z z
+ =
Suy ra z1 , z2 là nghiệm của phương trình z2 – 5z + 7 = 0 Ta có ∆ = 25 -
28 = -3 < 0
Giải phương trình ta được: z1,2 = 5 3
2
i
±
53 Tìm m để hai số phức z1 = 2 + (m-3)i và z2 = 2 + (11-2m)i là hai số phức liên hợp của nhau Viết hai số phức đó
Giải
z1; z2 là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi m-3 = - (11-2m)
⇔m – 3 = -11 + 2m
⇔ -3 + 11 = 2m - m
⇔ 8 = m
Khi đó hai số phức là: z1 = 2 + (8-3)i = 2 + 5i
z2 = 2 + (11-2.8)i = 2 -5i
54 Tìm các số thực x; y sao cho:
2x + (y – 1)i = 4 – y + (2x – 9)i
Giải
Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau ta có:
2x = 4 – y ⇔2x + y = 4và y – 1 = 2x – 9 ⇔2x – y = 8
Vậy x = 3, y = - 2
55 Giải phương trình sau trên tập số phức
z4 + 3z2 - 10 = 0
Giải
Đặt t = z2 ta được t2 + 3t – 10 = 0 , ∆ = 9 + 40 = 49>0
Trang 7Phương trình có hai nghiệm
t1 = 2 và t2 = -5
Do đó z2 = 2 suy ra z = 2hoặc z = - 2
z2 = -5 suy ra z = i 5hoặc z = - i 5
56 Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 2x + 5 = 0 trên tập số phức Không giải phương trình hãy tính 2
1
2
x
Giải
2
1
2
x = (x1 + x2)2 -2 x1x2 =
2 2
−
= 4 -2.5 = -6
57 Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 7 Giải
Gọi hai số phức phải tìm là z1 , z2 , ta có: 1 2
1 2
5 7
z z
z z
+ =
Suy ra z1 , z2 là nghiệm của phương trình z2 – 5z + 7 = 0
Ta có ∆ = 25 - 28 = -3 < 0
Giải phương trình ta được: z1,2 = 5 3
2
i
±
58 Tìm môđun của số phức z = (2 – 3i)2
Ta có:z = (2 – 3i)2 = 4 – 12i -9 = -5 – 12i
z = ( 5) − 2 + − ( 12) 2 = 169 = 13
59 Tìm số phức liên hợp của số phức z = 4 3
2
i i
+
−
Ta có: z = 4 3
2
i i
+
(4 3 ).(2 ) 5 10
1 2 (2 ).(2 ) 5
i
Suy ra z= 1 – 2i
60 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: (2 + i)z = (1 + i) (2 – 3i)
⇔(2 + i)z = 5 - i
⇔z = 5
2
i i
−
(5 )(2 ) 9 7
(2 )(2 ) 5
Vậy z = 9 7
5 5 − i
61 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì z = i2n + i2n+1 + i2n+2 + i2n+3 bằng 0
z = i2n + i2n+1 + i2n+2 + i2n+3 = i2n (1 + i +i2 + i3) = (i2)n (1 + i – 1 –i) = (-1)n 0 = 0
62 Tìm m để số phức z = m -2 + (m – 1)i có mođun bằng 5 , viết các số phức đó
Theo bài ra số m phải tìm là nghiệm của phương trình
(m− 2) 2 + (m− 1) 2 = 5
⇔2m2 -6m + 5 = 25
⇔ m2 -3m -10 = 0
⇔ 1
2
5 2
m m
=
= −
Trang 8Vậy các số phức đó là: z1 = 3+4i , z2 = - 4-3i
63 Cho số phức z = 4 + 3i Gọi z1 là số phức nghịch đảo của z , tìm môđun của z1
Ta có: z1 = 1 4 31 (4 3 )(4 3 )4 3i 25 254 3 i
−
64 Tìm số phức z = a + bi biết rằng z2 = -5 + 12i
Theo bài ra ta có: (a +bi)2 = -5 +12i ⇔(a2-b2) + 2abi = -5 +12i
⇔ 2 2 5
6
a b ab
− = −
Từ ab = 6 với a ≠0 ; b = 6
athay vào a2-b2 = -5 ta được a4 +5a2 -36 = 0 ⇔
2
2
4
a
=
= −
Với a = ±2 suy ra b = ±3
Ta tìm được hai số phức: z1 = 2+ 3i và z2 = 2 - 3i
65 Giải phương trình sau trên tập số phức: x2 – 6z + 34 = 0
∆’ = (-3)2 -34 = -25
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức
x1,2 = 3±5i
66 Giải phương trình sau trên tập số phức: ( 3 − 5i z) + 3i= 5 2 3 + i
⇔ ( 3 − 5i z) = 5 + 3i
1 8
z
67 Cho số phức z = 3 – 2i , tìm môdun của số phức z1 = z2 – z +3i
z1 = (3 – 2i )2 – ( 3 – 2i ) + 3i
= 5 – 12i - 3 + 2i +3i = 2 – 7i
2 2
1 2 ( 7) 53
68 Tìm hai số thực x, y thỏa mãn : (1+ 2i )x + (3-5i)y = 11 – 11i
⇔x + 3y + (2x -5y)i = 11 – 11i
Do đó x, y là nghiệm của hệ phương trình sau
69 Cho hai số phức z1 = (m - 2) + (m - 9)i , z2 = (m – 1) + (m – 8)i
Tìm m để hai số phức z1, z2 có mođun bằng nhau
1 2 ( 2) ( 9) ( 1) ( 8)
z = z ⇔ m− + m− = m− + m−
⇔-22m + 85 = -18m + 65
⇔ 20 = 4m ⇔m = 5
Vậy m = 5 thì ta có hai số phức có mođun bằng nhau
70 Cho số phức z = 3 + (4 – m) i Tìm m để z > 5
Trang 9z > ⇔ 5
2
25 3 (4 ) 25
> ⇔ + − >
⇔ − >
⇔m < 0 hoặc m > 8
71 Tìm mođun các nghiệm ccủa phương trình z2 – 4z + 13 = 0
Ta có: ∆ = 16-52 = -36,
suy ra phương trình có hai nghiệm phức: z1 = 2 + 3i và z2 = 2 - 3i
Vậy 2 2
1 2 2 3 13
72 Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình:
a (3 – 2i)x +(5 – 7i)y = 1 – 3i
b (1 +2i)2x – (4 – 5i)2y = 2i
73 Cho các số phức 2 – 4i, -1 + i; 2 + 0i
Biểu diễn các số phức đó trong mặt phẳng phức
Viết số phức liên hợp của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức
Viết số đối của mỗi số phức đóvà biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức