Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có
Trang 1ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An.
Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Vì vậy việc sử dụng đạo hàm thuần thục để giải toán là điều cần thiết đối với HS lớp 12 trung học phổ thông Bài viết này nhằm giới thiệu một số dạng toán cơ bản về ứng dụng của đạo hàm
A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ
1 Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số
Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu :
f (x) M, x D
x D,f (x ) M
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu :
f (x) m, x D
x D,f (x ) m
2 Các kĩ năng cơ bản
Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)
- Tính đạo hàm f’(x)
- Tìm các nghiệm x 1, x 2, …, x ncủa f’(x) trên (a;b)
- Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b)
Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]
- Tính đạo hàm f’(x)
- Tìm các nghiệm x 1, x 2, …, x ncủa f’(x) trên [a;b]
- Tính f (a), f (b), f (x ) 1 , …, f (x ) n
Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên ⇒ M max f (x)= x [a;b]∈ .
Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên ⇒ m min f (x)= x [a;b]∈ .
3 Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN của hàm số.
Trang 2Dạng 1 Khảo sát trực tiếp
Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số
đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số
Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:
- Tính f’(x) chính xác
- Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0
- Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số
y x = + 4 x −
Lời giải
TXĐ D=[-2,2]
2
x y' 1
4 x
= −
− ; y’=0 ⇔ 4 x− 2 =x ⇔ 2 2
x 0
4 x x
≥
y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y( 2)=2 2
Vậy
x D
max f (x) 2 2
∈ = ;
x D
min f (x) 2
∈ =−
Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số
y = x+12
x +1 trên đoạn [−1;2]
Lời giải
Ta có : ( )
,
3 2
- x+1
y =
x +1 ⇒ ,
y = 0 ⇔ x=1
Do y(-1) = 0, y(1) = 2 , y(2) =
5
3 nên
[ 1;2 ]
max y
− = y(1) = 2 , [min1 ; 2]y
− = y(-1) = 0
Bài 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số
2 2
x 8x 7 y
x 1
=
+ (x R)∈
Lời giải
2
2 2
8x 12x 8
y'
(x 1)
=
1 x 2
= −
Bảng biến thiên
t -∞ 1
2
− 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y
9 1
1 -1
Vậy min yx R∈ = −1 khi x 2= ;
x R
max y 9
∈ = khi x 1
2
= −
Trang 3Bài 4 Tìm GTNN, GTLN của hàm số
y 5cos x cos5x = − với x [- ; ]
4 4
π π
∈
Lời giải
y' = − 5sin x 5sin 5x +
k x
y' 0 sin 5x sin x
k 5x x k2
x
6 3
π
=
= + π
*) x k
2
π
=
4 2 4
*) x k
6 3
= +
4 6 3 4 4 6 3 4 6 12 3 12
x
k 1
k
k 0
x 6
π
= −
= −
y(0) 4 = ; y( ) y( ) 3 3
− = = ; y( ) y( ) 3 2
Vậy Miny=4 ; Maxy =3 3
y x = + 2x + 1 ( x R) ∈
Lời giải
2
2x y' 1
2x 1
= +
+ ;
2
≤
+ =
Bảng biến thiên
x
-∞ 1
2
− +∞
y’ - 0 +
y
+∞ +∞
1
2 Vậy Miny 1
2
= khi x 1
2
= −
Dạng 2 Khảo sát gián tiếp
Trang 4Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x) Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:
- Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t)
- Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…)
- Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số
Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:
- Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t
- Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán
cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp…
S 2sin x cos 2x = + , x∈R
Lời giải
Do 2 1 cos 2x
sin x
2
−
= nên ta qui S về cos2x
S= 1 cos 2x 4 4
2( ) cos 2x
2
(1 cos 2x) cos 2x
Đặt t= cos2x , − ≤ ≤ 1 t 1
Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 1 4 4
S g(t) (1 t) t
8
với − ≤ ≤ 1 t 1
g '(t) (1 t) 4t
2
= − − + ; g’(t) = 0 ⇔ (1 t) − 3 = 8t 3 ⇔1-t =2t ⇔ t 1
3
=
g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g(1
3)= 1 27 Vậy MinS= 1
27 ; MaxS= 3
Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y= 1 sin x + + 1 cos x + ( x R) ∈
Lời giải
Hàm số xác định với ∀ xvà y>0 với∀ x, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với 2
y đạt GTNN, GTLN
Ta có: y2= 2 + sinx+ cosx+ 2 1+ sinx+ cosx+ sinxcosx
Đặt t= sinx+ cosx = 2 sin x+
4
π
= t (- 2 t ≤ ≤ 2)
Trang 5Thì y2= f(t) = 2 + t+ 2 1+ t+ t -12
2 = 2 + t+ 2 t + 2 t+12
2
= 2 + t+ 2 t+1
Vậy y2 f (t) 2 t 2(t 1)
2 t 2(t 1)
với
- 2 t -1 -1 t 2
≤ ≤
≤ ≤
1 2 , ( 2 t 1)
f '(t)
1 2 , ( 1 t 2 )
Bảng biến thiên:
t −∞ − 2 1 2 +∞
f’(t) - 0 +
f(t)
4 2 2 − 4 2 2+
1
Từ bảng biến thiên ta có
[ max f (t) 2 ; 2 ]
− = 4+2 2 ; [ min f (t) 2; 2 ]
− = 1
⇒
x R
max y 4 2 2
∈ = + ; min y 1x R
∈ =
Bài 8 Tìm GTNN của biểu thức S sin (x) cos (x) = 20 + 20
Lời giải
Nhận xét : Ta quy S về hết sin x 2
S (sin x) = + − (1 sin x) Đặt t sin x = 2 (0 t 1) ≤ ≤ Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
S f (t) t = = + − (1 t) với t [0;1] ∈
f '(t) 10t = − 10(1 t) −
f '(t) 0 = ⇔ = − t (1 t) ⇔ t 1
2
=
1 1
f (0) 1; f ( ) ; f (1) 1
2 512
512
= ; MaxS 1 =
Bài luyện tập 1 Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:
2012 2012
S sin = (x) cos + (x)
Bài 9 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Trang 6S = x 4 + + 4 x 4 (x 4)(4 x) 5 − − + − +
Lời giải
Điều kiện − ≤ ≤ 4 x 4
Đặt t = x 4 + + 4 x − 2
t x 4 4 x 2 (x 4)(4 x)
2
t 8 (x 4)(4 x)
2
−
Ta có
2
2
t 8
S t 4( ) 5 2t t 21
2
−
Tìm điều của t:
Xét hàm số g(x) = x 4 + + 4 x − với x [ 4;4] ∈ −
g '(x) 1 1
2 x 4 2 4 x
+ − ; g '(x) 0= ⇔x=0
g( 4) 2 2; g(0) 4; g(4) 2 2 − = = =
⇒
x [ 4;4]
min g(x) 2 2
∈ − = ;
x [ 4;4]
max g(x) 4
∈ − = ⇒ t [2 2;4]∈
S' = − + < ∀ ∈ 4t 1 0 t [2 2;4] ⇒ S là hàm nghịch biến trên [2 2;4]
MinS S(4) = = − 7 ; MaxS S(2 2) 5 2 2 = = +
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:
S = x 1 + + 8 x 4 (x 1)(8 x) 5 − − + − + với x [ 1;8] ∈ −
Bài 10 Tìm GTNN, GTLN của 2010 2011
S sin = (x).cos (x) với x [0; ]
2
π
∈
Lời giải
Nhận xét:
i, S 0 ≥ với mọi x [0; ]
2
π
∈
ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của S 2(vì khi đó S 2 có thể quy hết về sin x 2 hoặc cos x 2 )
Ta có 2 4020 4022
S = sin (x).cos (x) = (sin x) 2 2010 (1 sin x) − 2 2011 Đặt t sin x = 2 (0≤t≤1) Khi đó 2 2010 2011
S = f (t) t = (1 t) −
2009 2011 2010 2010
f '(t) 2010t = (1 t) − − 2011.t (1 t) −
2009 2010
f '(t) t = (1 t) − [2010 4021t] −
Trang 7t 0
f '(t) 0 t 1
2010 t
4021
=
=
f (0) 0 ;f (1) 0 = = ; f (2010) (2010)2010.(2011)4021 2011
4021 = (4021) Vậy Min S =0 ;
2010 2011 4021
(2010) (2011) MaxS
(4021)
=
Bài luyện tập Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
15 20
S sin x.cos x = với x [0; ]
2
π
∈
Bài 11 Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
y sin x cos x 2cos 4x sin 2x 5 = + + + − , với x ∈R
Lời giải
Nhận xét : 6 6 3 2
sin x cos x 1 sin 2x
4
cos 4x 1 2sin 2x = − 2
Do đó ta đưa y về hết sin2x
Do đó y = 3 2
1 sin 2x
4
1 2sin 2x − )+sin2x-5
19 2
y sin 2x sin 2x 2
4
Đặt t sin 2x = ( 1 t 1) − ≤ ≤ Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
19
y t t 2
4
=− + − với − ≤ ≤ 1 t 1
y' t 1 ; y ' 0 t
Ta có y( 1) 31; y(1) 23; y( )2 37
Do đó
x R
31 min y
4
∈ = − ;
x R
37 max y
19
∈ = −
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
y sin x cos x 4(sin x cos x) 2cos 2x 2 = + − + − + , với x ∈R
Bài 12 Tìm GTNN, GTLN của hàm số
Trang 8y 2(1 sin 2x.cos 4x) (cos 4x cos8x)
2
Lời giải
Ta có y 2 2sin 2x.cos 4x sin 6x.sin 2x = + −
= + 2 sin 2x.(1 2sin 2x) (3sin 2x 4sin 2x).sin 2x − 2 − − 3
= 4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x 2sin 2x 2 4 − 3 − 2 + +
Đặt t sin 2x = ( 1 t 1) − ≤ ≤
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
y 4t = − 4t − 3t + + 2t 2 với t [ 1;1] ∈ −
3 2
y' 16t = − 12t − + 6t 2 ; y' 0 t 1; t 1; t 1
2 4
y( 1) 5 − = ; y( 1) 1
2
4 = 64 ; y(1) 1 =
Vậy min y 1= ; max y 5 =
Bài 13 Tìm GTNN của hàm số y x(x 2)(x 4)(x 6) 5 = + + + + với x ≥ − 4
Lời giải
Ta có y (x = 2 + 6x)(x 2 + 6x 8) 5 + +
Đặt 2
t x = + 6x
Khi đó y t = + + 2 8t 5
Xét hàm số 2
g(x) x = + 6x với x ≥ − 4
g '(x) 2x 6;g '(x) 0 = + = ⇔ = − x 3
x -∞ -4 -3 +∞
g’(x) - 0 +
g(x)
-8 +∞
-9
Suy ra t [ 9; ∈ − +∞ )
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số y t = + + 2 8t 5 với t [ 9; ∈ − +∞ )
Ta có y' 2t 8 ; y ' 0 = + = ⇔ = − t 4
Bảng biến thiên
t -∞ -9 -4 +∞
y’ - 0 +
14 +∞
Trang 9y
-11
Vậy Miny=-11 Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới Sau đây là các bài toán minh họa Bài 14 Tìm GTNN, GTLN của 2 2 2 2 2 2 x xy y S (x y 0) 2x y + + = + > + Lời giải Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và y≠0 để chia tử số và mẫu số của S cho y 2, sau đó chuyển về biến số t x y = TH1: y= 0 ⇒ S x22 1 2x 2 = = TH2: y 0 ≠ Chia cả tử số và mẫu số của S cho y 2 ta được : 2 2 2 2 x x 1 y y S x 2 1 y + + = + Đặt t x y = Khi đó S t2 2t 1 2t 1 + + = + 2 2 2 2t 2t 1 S' (2t 1) − − + = + ; 2 1 3 S' 0 2t 2t 1 0 t 2 − ± = ⇔ + − = ⇔ = Bảng biến thiên t -∞ 1 3 2 − − 1 3 2 − + +∞
S’ - 0 + 0 -
S 1 2 3
2 3 2 −
3
2 3 2 +
1 2 Kết hợp TH1 và TH2 ta có : 3
2 3 2 + ≤ S ≤
3
2 3 2 −
Vậy MinS = 3
2 3 2 + khi
x 1 3
− −
= ; Max S = 3
2 3 2 − khi
x 1 3
− +
=
Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
a,
2 2
2 2
x xy y
3x y
+
b,
2 2
2 2
x xy 2y
4x y
+
Trang 10Bài 15 Cho a.b 0 ≠ Tìm GTNN của
Lời giải
Đặt t a b
b a
= + Ta có | t | | a b| | | | | 2a b
b a b a
2 2
a b
t 2
b + a = − ⇒ 4 4 4 2
4 4
a b
t 4t 2
b + a = − +
y t = − 4t + − 2 (t − + 2) t= t 4 − 5t 2 + + t 4
y'(t) 4t = 3 − 10t 1 +
y''(t) 12t = − > 10 0 với mọi t≥2
Bảng biến thiên của y’(t)
t -∞ -2 2 +∞
y’’(t) + +
y’(t)
-11
-∞
+∞
13
Suy ra y'(t) 0 < với ∀ ≤ − t 2 ; y'(t) 0 > với ∀ ≥ − t 2
Bảng biến thiên của f(t)
t -∞ -2 2 +∞
y’(t) - +
y
-∞
-2
+∞
2 Vậy Miny=-2 ; Maxy=2
Nhận xét
i, Đặt t a b
b a
= + giúp ta chuyển y về hết biến t
ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng ( −∞ − ; 2] và [2; +∞ )
Bài 16 Cho x, y, z > 0 và x +y+z ≤1 Tìm GTNN của biểu thức
3 3 3
S x y z
x y z
Lời giải
Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Trang 112 2 2 2 2 2 2
(x + y + z )(1 + + 1 1 ) (x y z) ≥ + + ⇒ 2 2 2 1 2
x y z (x y z)
3
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:
3
3
3
x y z
x y z x y z xyz ( ) (x y z)
3
+ +
Vậy
2
3
(x y z) 81 S
3 (x y z)
+ +
+ +
Đặt t= x+y+z (0 t 1) < ≤
Khi đó
2 3
t 81
S f (t)
3 t
5
2t 243 2t 729
−
⇒ f(t) nghịch biến trên (0;1] ⇒
t (0;1]
244 minS min f (t) f (1)
3
∈
Bài 17 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của biểu thức
P sin sin sin cot cot cot
Lời giải
2 2 2 sin sin sin
Trong tam giác ABC ta có sinA sinB sinC 3
2 + 2 + 2 ≤ 2
Ta đánh giá các biểu thức theo t sinA sinB sinC
= + + với t (0; ]3
2
∈
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:
3
sin sin sin sin .sin .sin (sin sin sin )
Vậy P t 272 3 f (t)
t
3
54
f '(t) 1 0
t
= − < với mọi t (0; ]3
2
∈
Bảng biến thiên
t
0 3
2 f’(t)
-+∞
Trang 12P=f(t)
21
2 Vậy MinP 21
2
2
⇔ =
Bài 18: Cho x≥0,y ≥0 và x + y = 1 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P = 3 + 3 2 x y
Lời giải
Do x 0, y 0 ≥ ≥ và x + y = 1 ⇒y = 1- x và 0 x 1 ≤ ≤ Ta có P = 3 + 3 2 x y = 2 x
x
3
3 +
3 Đặt t = 3x ⇒1 t 3 ≤ ≤ Khi đó 2 3
P f (t) t
t
= = + với t ∈[ ]1;3 2
3
f '(t) 2t 0
t
t = 2
⇔
Bảng biến thiên
t
−∞ 1 3 3
2 3 +∞
f’(t) - 0 +
f(t)
4 10
3 9
3 4
Từ bảng biến thiên ta có maxP = 10 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1
y = 0
minP = 3
4
9
3 ⇔ 3x = 3
2
3 ⇔
3 3
3 3
3
x = log
2 3
y = 1- log
2
Bài 19: Cho x 0, y 0 ≥ ≥ và x + y = 1 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P = x + y
y+1 x+1
Lời giải
Ta có: P = x + y
y+1 x+1=( )2
x+ y - 2 xy+1
2 x+ xy =2 - 2 xy
2 + xy
Đặt xy = t , vì x+ y =1, x 0, y 0 ≥ ≥ ⇒ xy 0
1 2 xy
≥
1
0 xy
4
4
≤ ≤
Khi đó P = f(t) = 2 - 2 t
2 + t với 0 t 1
4
Trang 13Do ( )2
-6
f '(t) < 0
2 + t
4
∀ ∈ nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn
4
1
;
0 ⇒maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0 x = 0, y = 1
y = 0, x = 1
⇔
minP = f(
4
1 ) = 3
2 khi t =
4
1 ⇔x = y =
2
1
Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số…
Bài 20 Cho miền D ={(x, y) |0 x 1;0 y 2} ≤ ≤ ≤ ≤
Tìm GTNN của hàm số f (x, y) (1 x)(2 y)(4x 2y) = − − −
Lời giải
f (x, y) (1 x)(2 y)[2(2-y)-4(1-x)] = − −
Đặt u=1-x ; v=1-y ⇒ ∈u [0;1] ; v [0;2]∈
f (x, y) g(u, v) uv(2v 4u)
2uv 4u v
Coi u là ẩn , v là tham số Ta có
2
g '(u, v) = − 8uv 2v +
v
g '(u, v) 0 u
4
= ⇔ =
Bảng biến thiên
u
-∞ 0 v
4 1 +∞
g '(u, v) + 0
g(u, v)
3 v 4 0 2
2v − 4v
Vì 2
2v − 4v 2v(v 2) 0 v [0;2] = − ≤ ∀ ∈ nên g(u, v) 2v ≥ 2 − 4v 2(v 1) = − 2 − ≥ − 2 2
Vậy Ming(u, v)=-2 u 1
v 1
=
Suy ra Minf(x,y)=-2 x 0
y 1
=
Trang 14Bài 21 Cho hàm số f (x, y, z) xy yz zx 2xyz = + + − trên miền
D = (x, y, z) |0 x, y, z và x y z 1 ≤ + + =
Tìm GTNN, GTLN của f(x,y,z)
Lời giải
*) Tìm GTNN của f(x,y,z)
Giả sử z min{x, y, z} z [0; ]1
3
f (x, y, z) xy (x y)z 2xyz xy(1 2z) z(1 z) = + + − = − + −
2
3 2
(1 2z) z(1 z) (2z z 1)
−
Xét hàm số 1 3 2
F(z) (2z z 1)
4
= − − − với z [0; ]1
3
∈
2
F'(z) (6z 2z) 0 z [0; ]
−
z -∞ 0 1 +∞
F’(z) +
F(z)
7 27 1
4 Vậy Max f(x,y,z) = 7
27
1
x y z
3
⇔ = = =
*) Tìm Min f(x,y,z)
f (x, y, z) (1 y z)y yz z(1 y z) 2(1 y z)yz = − − + + − − − − −
= − y y 2 + − z zy z − − 2 2yz 2y z 2z y + 2 + 2 Xét G(z) z (2y 1) z(1 3y 2y ) y y = 2 − + − + 2 + − 2
2
G '(z) 2(2y 1)z 1 3y 2y
2(2y 1)z (2y 1)(y 1)
Giả sử y min{x, y, z} y [0; ]1
3
1 y
G '(z) 0 z
2
−
= ⇔ =
Bảng biến thiên
Trang 15z
-∞ 0 1 y
2
−
1 +∞
G’(z) + 0
G(z)
1 y G( ) 2
−
2
y y − 2
y
Vì y 2 − − (y y ) 2y 2 = 2 − = y y(2y 1) 0 − ≤
2 G(z) y 0
⇒ ≥ ≥ ; G(z) 0 y 0
z 1
=
Vậy Min f(x,y,z)=0 x y 0
z 1
= =
Bài luyện tập 1: Cho x, y, z 0 ≥ và x+y+z=1 Tìm GTLN của biểu thức:
S xyz[x( ) y( ) z( )]
Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn 0 x, y, z 1 ≤ ≤
Tìm GTLN của biểu thức 3 3 3 2 2 2
P 2(x = + + y z ) (x y y z z x) − + +
Bài 22 Cho x, y, z >0 thỏa mãn x y z 4
xyz 2
+ + =
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 4 4 4
S x = + y + z
( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 ) Lời giải
Đặt
1 2 3
S x y z 4
S xy yz zx
S xyz 2
= + + =
= + +
Ta biểu diễn S theo f (S ) 2 Căn cứ vào đề bài, tìm miền biến thiên của S 2 Sau đó ta khảo sát f (S ) 2 để tìm GTNN, GTLN của S
*) Ta biểu diễn S 2 theo z
2 2
S xy yz zx z(4 z) 4z z
