Phương Pháp Giải Và Các Dạng Toán Bất Đẳng Thức

1 Chủ đề 1: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC .... KIẾN THỨC CẦN NHỚ.... Chủ đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIHỆ SỐ VÀ GIÁ TRỊ ĐA THỨC.... LỜI

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN HỌC - -

BÀI THU HOẠCH

HỌC PHẦN:

RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM 3

Đề tài: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ CÁC DẠNG

TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Sinh viên thực hiện:

Trần Ngọc Hiếu Lớp: Toán 3B

Huế, tháng 11/2013

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chủ đề 1: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 2

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2

a Khái niệm bất đẳng thức: 2

b Tính chất: 2

c Phương pháp: 2

2 VÍ DỤ MINH HỌA 3

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 6

Chủ đề 2:PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 7

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 7

2 VÍ DỤ MINH HỌA 7

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8

Chủ đề 3:PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 8

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 8

2 VÍ DỤ MINH HỌA 9

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9

Chủ đề 4:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 10

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 10

2 VÍ DỤ MINH HỌA 10

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 21

Chủ đề 5:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI 21

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 21

2 VÍ DỤ MINH HỌA 22

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26

Chủ đề 6:PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH LÀM TRỘI – ƯỚC LƯỢNG 27

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 27

2 VÍ DỤNG MINH HỌA 27

Chủ đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIHỆ SỐ VÀ GIÁ TRỊ

ĐA THỨC 31

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 31

2 VÍ DỤ MINH HỌA 31

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 33

Chủ đề 8:PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI 33

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 33

2 VÍ DỤ MINH HỌA 33

3 BÀI TẬP LỰ LUYỆN 37

Chủ đề 9:PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 37

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 37

2 VÍ DỤ MINH HỌA 38

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 40

Chủ đề 10: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH GIẢI TÍCH 41

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 41

2 VÍ DỤ MINH HỌA 41

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 44

Chủ đề 11:PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 45

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 45

2 VÍ DỤ MINH HỌA 45

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm giúp các bạn học sinh cấp 3 có thêm tài liệu để giải các bài toán bất đẳng thức trong các đề thi Đại học – Cao đẳng Tôi xin giới thiệu tài liệu Phương pháp giải và các dạng toán bất đẳng thức

Chủ đề 6: Phương pháp phân tích làm trội – ước lượng

Chủ đề 7: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối hệ số và giá trị đa thức

Chủ đề 8: Phương pháp dùng tam thức bậc hai

Chủ đề 9: Phương pháp lượng giác hóa

Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ - hình giải tích

kỹ năng ở cuối mỗi chủ đề

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức để tự tin giải quyết tốt các bài tập trong các kỳ thi quốc gia do Bộ Giáo dục

và Đào tạo tổ chức

Do thời gian biên soạn có hạn cho nên tài liệu có thể còn những khiếm khuyết Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn học sinh

Các mệnh đề dạng “A > B”, “A < B”, “A > B”, “ A < B” được gọi là BĐT

với A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số

một BĐT đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng BĐT đúng biến đổi dẫn đến BĐT cần chứng minh)

Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ABC với a < b < c

Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được: VT(**) > ab + bc + ca = abc

Vậy: BĐT (**) đã được chứng minh

Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)

Chủ đề 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Để chứng minh một bất đẳng thức (*) đúng với n  (với (*) phụ thuộc p

vào số tự nhiên n, p là hằng số và p N *) ta tiến hành các bước sau:

Bước 4: Kết luận bất đẳng thức (*) đúng với mọi n > p

Bài tập 1: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n > 3 có 2 n > 2n + 1

Ta có (1 )n    (BĐT bec-nu-li) 1 n Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu   hoặc n = 1 0

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Để chứng minh bài toán có dạng A => B Ta tiến hành như sau:

Giả sử điều trái với B, biến đổi dẫn đến điều mâu thuẫn với A hay dẫn đến một điều vô lí

2 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: cho ba số a, b, c thỏa

a b c 0 (1)

ab bc ca 0 (2)abc 0 (3)

Ví dụ 2: Cho a, b, c (0 ; 1) Chứng minh có ít nhất một trong các BĐT

sau là sai: a.(1 b) 1(1), b.(1 c) 1(2), c.(1 a) 1(3)

Bài tập 2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 Chứng minh: có ít nhất một BĐT sau là

sai: 2a(1 – b) > 1, 3b(1 – c) > 2, 8c(1 – d) > 1, 32d(1 – a) > 3

Chứng minh: x3 + y3 < x2 + y2 < x + y < 2 (2)

(Trích đề thi Đại học Ngoại thương TP.HCM khối A, D năm 2000)

Bài tập 4: Chứng minh: Có ít nhất một trong các BĐT sau là đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm

Nếu a1 > 0, a2 >0,an > 0 thì 1 2 n n

a a a

a a an

  



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an

Lưu ý: Khi sử dụng BĐT Cauchy từ 4 số không âm trở lên, bạn đọc nên

a b a b

 

     

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3

4

b Cách 1:

Gọi

a b cB

a Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ABC , p là nửa chu vi tam giác

Chứng minh: (p a)(p b)(p c) abc

8

   

b Cho ABCcó chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh là a, b, c

Chứng minh: 4(a3 + b3 + c3) + 15abc > 27

Giải:

a Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

2p a b c(p a)(p b)

4

2

b(p c)(p a)

Vì a + b + c = 3, nên (4) => abc > (3 – 2c)(3 – 2a)(3 – 2b)

=> 27 – 18(a + b + c) + 12(ab + bc + ca) – 9abc < 0

=> -27 + 12(ab + bc + ca) – 9abc < 0

=> -9 + 4(ab + bc + ca) – 3abc < 0

9(ab bc ca) abc 0

Mà: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

= 3[(a + b + c)2 – 3(ab + bc + ca)]

= 27 – 9(ab + bc + ca) (do a + b + c = 3)

=> -9(ab + bc + ca) = a3 + b3 + c3 – 3abc - 27 (6) Thế (6) và (5) => đpcm

27 27

        (1)

3

1 a 1 b 1 c 64VT(1) (1 a)(1 b)(1 c)

Ví dụ 15: Cho x, y, z > 1 thỏa x + y + z = xyz Tìm GTNN của:

y 2 z 2 x 2P

Bài tập 2: Cho a, b > 0 Chứng minh: 3a3 + 17b3 > 18ab2

Đẳng thức chỉ xảy ra khi tồn tại t: i i

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Ví dụ 5: Cho x > 0, y > 0 và xyz = 1 Chứng minh:

(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 3/2002)

2 10

1 3 5y

Bài tập 2: Cho a > -1, b > -1 và thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh:

Cho k = 1, 2, 3, …, n ta có như sau:

1 111.2 2

1 1 12.3 2 3

Cộng các đẳng thức trên lại vế theo vế, được: S 1 1 1, n

2

2

1 11

1

S 1 1, n N, n 2

n

     

Chủ đề 7 BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Lập bảng biến thiên của g(x) trên 1;0

Nhìn bảng biến thiên thấy: g(x) 5



00

54

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

4x51y5

Xét tam thức f(x) = 192 + 4(9y – 4z)x +54y2 + 16z2 – 24yz

Ta có:  'x 4(9y4z)219(54y216z224yz)

1 2 2 1 2 27y 2y 1 0 y

Giải:

(a b c) 2(ab bc ca) 2 (a b c) 4(*)

Vậy: BĐT đã được chứng minh

Ví dụ 4: Cho a > 1, b > 1 Chứng minh: a b 1 b a 1 ab.(*)

Giải:

Ta có: VT(*) 12 tan2 12 tan2 tan2 tan2

cos cos cos cos

Đặt: x3cos , y 3sin , z 4cos và t4sin

Ta có: xtyz 12 12(cos sin  sin cos ) 12  

sin( ) 1 sin( ) 1

k2 , k Z2

k2 , k Z2

Do đó: xz 12cos cos   12cos sin  6sin 2  6

Vậy: BĐT đã được chứng minh

Chủ đề 10 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH GIẢI TÍCH

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hay trong không gian Oxyz, ta chọn tọa độ các vectơ (hay tọa độ của điểm) sao cho thích hợp với đề đã cho rồi áp dụng công thức sau đây:

+ a b  a  b

Đẳng thức xảy ra khi a

cùng phương b+ a   b c  a  b  c

+ a.b   a b 

Đẳng thức xảy ra khi a

cùng phương b+ a.b   a b 

Đẳng thức xảy ra khi a

cùng hướng b+ AB + BC > AC, A , B, C nằm trong mặt phẳng tọa độ

O

I O

M

J N

+ Gọi M (a; b) thuộc đường tròn (C):x2 + y2 = 1 có tâm O(0;0)

Chủ đề 11 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

+ Định lí Lagrange: Cho hàm f liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)

thì tồn tại một số ca;b sao cho: '  f b  f a 

BĐT cần chứng minh viết lại:

sin 2cos sin 2cos

Ví dụ 7: Giả sử x, y, z là những số dương thỏa x y z 3

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Đại số - Giải tích cơ bản và nâng cao 10

2 Sách giáo khoa bài tập Đại số - Giải tích cơ bản và nâng cao 10

3 Các đề thi trong các kỳ tuyển sinh Đại học và Cao đẳng, Tạp chí toán học và tuổi trẻ, đề thi chuyên

4 Tài liệu Internet: hocmai.com, boxmath.vn…